第27章 反比例函数 单元复习（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

第27章 反比例函数 知识点1：反比例函数的概念 　　1.定义：一般地，如果两个变量x、y之间的对应关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 　　2.自变量取值范围：；因变量取值范围：。 　　3.三种等价形式：、、（k为常数且k≠0）；k称为比例系数。 　　4.判断要点：反比例函数中x的指数必须是-1，且不含x²等其他项，比例系数k≠0。 知识点2：待定系数法求反比例函数表达式 　　1.步骤：设、代、解、写。 　　2.具体操作： 　　　　（1）设反比例函数表达式为（k≠0）； 　　　　（2）把已知的一组自变量与函数值的对应值代入，得到关于k的方程； 　　　　（3）解方程，求出待定系数k的值； 　　　　（4）写出函数表达式。 知识点3：反比例函数的图象与性质 　　1.图象：反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成；两支曲线无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 　　2.画法：列表、描点、连线；列表时自变量常取原点附近的相反数（如±1、±2、±3）。 　　3.图象的对称性：既是中心对称图形（关于原点对称），又是轴对称图形（关于直线和对称）。 k的符号 图象位置 增减性（每一象限内） 图象 k＞0 两支曲线分别位于第一、三象限 y随x的增大而减小 k＜0 两支曲线分别位于第二、四象限 y随x的增大而增大 　　注意：增减性只能在每一象限内讨论，不能跨象限直接比较函数值大小。 知识点4：比例系数k的几何意义 　　1.过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于。 　　2.连接图象上一点与原点，并向x轴、y轴作垂线所得的两个直角三角形面积都等于。 　　3.已知围成图形面积，可求，再结合象限确定k的正负，从而确定函数表达式。 　　4.注意：由面积求k时，k的符号要根据图象所在象限确定，且要取绝对值。 知识点5：反比例函数与一次函数图象的交点 　　1.与正比例函数（k₂≠0）的交点：时有两个关于原点对称的交点；时无交点。 　　2.与一般一次函数的交点：联立两函数表达式，转化为一元二次方程，由判别式判断交点个数。 　　3.利用图象解不等式：图象在上面的函数值大，图象在下面的函数值小，交点的横坐标是分界点，对应x的范围即不等式的解集。 知识点6：反比例函数的实际应用 　　1.实际问题中，自变量取值范围要根据具体情况与实际意义确定，不是单纯x≠0。 　　2.常见反比例关系：矩形面积一定时长与宽成反比、菱形面积一定时对角线成反比、物理中的压强、杠杆原理、电流与电阻等。 　　3.建模步骤：审题建模→求表达式→用图象性质求解→检验实际意义。 【基础必考题型】 【题型1】反比例函数的定义判定 1. 核心知识点： 　　反比例函数定义及三种等价形式；判断一个函数是否为反比例函数。 2. 解题方法技巧： 　　①看是否符合、或形式； 　　②x的指数必须为-1，且k≠0； ③含x²、或分子不是常数的不属于反比例函数。 【例题1】.（25-26八年级下·上海·期末）下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海静安·期末）下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限，求m的值． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是反比例函数，则的值为__________． 【题型2】反比例函数的解析式与坐标 1. 核心知识点： 　　图象上点的坐标满足；由点坐标求k；待定系数法求解析式。 2. 解题方法技巧： 　　①图象上的点代入满足，已知一点可求k； 　　②设表达式为，代入点坐标求k； ③写出完整解析式，必要时注明自变量范围。 【例题2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【题型3】反比例函数的图象性质 1. 核心知识点： 　　反比例函数图象（双曲线）所在象限由k的符号决定；每一象限内y随x的增减性由k的符号决定；比较图象上点函数值的大小。 2. 解题方法技巧： 　　①k＞0时图象在一、三象限且每象限内y随x增大而减小，k＜0时图象在二、四象限且每象限内y随x增大而增大； 　　②由已知点坐标代入判断k的符号，确定象限与增减性； 　　③比较函数值时先看各点所在象限再结合增减性，跨象限的点借助图象位置或代入比较。 【例题3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数和正比例函数的图象的一个交点为． (1)求a的值． (2)求反比例函数的表达式． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知反比例函数的图象经过，两点． (1)判断是正数还是负数． (2)比较与的大小． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 【题型4】反比例函数图象的对称性 1. 核心知识点： 　　反比例函数图象既是中心对称（关于原点），又是轴对称（关于、）。 2. 解题方法技巧： 　　①图象上一点关于原点的对称点也在图象上； 　　②利用对称性求点的坐标或找相等线段； ③两交点关于原点对称时横纵坐标互为相反数。 【例题4】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，M，N是函数图象上的两点，且线段过原点O，平行于y轴，平行于x轴，求的面积． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型5】反比例函数与一次函数图象分析 1. 核心知识点： 　　根据k、b等系数判断图象位置；两函数图象的位置关系。 2. 解题方法技巧： 　　①由一次函数的k、b判断其经过的象限； 　　②由反比例函数k符号判断双曲线位置； 　　③多图象选择题，用系数符号互相验证排除。 【例题5】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型6】利用反比例函数的图象解不等式 1. 核心知识点： 　　数形结合解不等式；图象在上方函数值大。 2. 解题方法技巧： 　　①先求两函数交点横坐标（分界点）； 　　②观察图象，确定哪段图象在上方； ③由上方图象对应x的范围写出不等式解集。 【例题6】.（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 【题型7】k的几何意义与图形面积 1. 核心知识点： 　　k的几何意义；矩形面积=|k|，直角三角形面积=；不规则图形与围成图形的面积转化。 2. 解题方法技巧： 　　①过图象上的点作坐标轴垂线，围成矩形的面积等于|k|； 　　②利用割补、面积不变性把不规则图形转化为|k|的倍数； 　　③多个反比例函数图象，用|k₁|、|k₂|之差表示夹层面积。 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式题7-2】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【题型8】与反比例函数有关的实际应用 1. 核心知识点： 　　反比例函数的实际应用（面积、物理压强、杠杆、电流电阻等）。 2. 解题方法技巧： 　　①把实际问题抽象成反比例函数关系； 　　②用待定系数法求表达式； ③注意自变量取值范围，结合图象性质求解实际问题。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）小明家买了1000千瓦·时电．设平均每天用电x千瓦·时，这些电能够使用y天． (1)写出y与x之间的函数关系式 (2)如果平均每天用电5千瓦·时，那么这些电可以用多少天？ (3)如果这些电用了250天，那么平均每天用电多少千瓦·时？ 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 【变式题8-3】.（26-27六年级上·上海·开学考试）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的． (1)王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表． 每分钟漏沙的体积/ 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有______立方厘米的沙子． ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成______比例关系． ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏______立方厘米的沙子． (2)如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 【压轴素养题型】 【题型9】反比例函数中的存在性问题 1. 核心知识点： 　　是否存在满足某条件的点；特殊三角形、平行四边形等存在性。 2. 解题方法技巧： 　　①设未知点坐标，代入反比例函数； 　　②按特殊图形（等腰、直角、平行四边形）的条件列方程； ③分类讨论，检验解是否符合实际范围。 【例题9】.（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； (3)在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，已知点，且，． (1)求k的值． (2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10】反比例函数新定义题型 1. 核心知识点： 　　新定义概念（如“美好点”等）；阅读理解并迁移到反比例函数。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂新定义，翻译成代数或几何条件； 　　②把定义条件与反比例函数结合； 　　③逐问推进，前一问结论用于后一问。 【例题10】.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求二次函数的解析式 (2)已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【变式题10-1】.（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【变式题10-2】.（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【变式题10-3】.（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 易错点 1. 忽略k≠0的条件，或把x的指数误判（含x²、x的指数不是-1）。 2. 判断图象所在象限时k的符号搞反。 3. 跨象限比较函数值大小时误用同一象限的增减性。 4. 用k的几何意义求k时，忘记取绝对值或忘记由象限定符号。 5. 实际问题中忽略自变量取值范围，把x≠0当作唯一限制。 6. 解不等式时交点横坐标求错或上方下方判断错误。 重点 1. 反比例函数的概念与三种等价形式，待定系数法求解析式。 2. 反比例函数的图象与性质，k的符号与象限、增减性的对应。 3. k的几何意义，利用面积求k或利用k求面积。 4. 反比例函数与一次函数的交点、不等式的数形结合应用。 难点 1. k的几何意义在不规则图形面积中的转化与综合。 2. 反比例函数中的动点、存在性、定值、最值问题。 3. 反比例函数与图形变换、新定义、角度的综合探究。 4. 跨学科（物理杠杆、压强、电学）情境题的建模与求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 3．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 5．若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 6．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 三、解答题 7．已知y是的反比例函数，当时，． (1)求出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 10．如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为，边所在直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，使成立的的取值范围为________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 反比例函数 知识点1：反比例函数的概念 　　1.定义：一般地，如果两个变量x、y之间的对应关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 　　2.自变量取值范围：；因变量取值范围：。 　　3.三种等价形式：、、（k为常数且k≠0）；k称为比例系数。 　　4.判断要点：反比例函数中x的指数必须是-1，且不含x²等其他项，比例系数k≠0。 知识点2：待定系数法求反比例函数表达式 　　1.步骤：设、代、解、写。 　　2.具体操作： 　　　　（1）设反比例函数表达式为（k≠0）； 　　　　（2）把已知的一组自变量与函数值的对应值代入，得到关于k的方程； 　　　　（3）解方程，求出待定系数k的值； 　　　　（4）写出函数表达式。 知识点3：反比例函数的图象与性质 　　1.图象：反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成；两支曲线无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 　　2.画法：列表、描点、连线；列表时自变量常取原点附近的相反数（如±1、±2、±3）。 　　3.图象的对称性：既是中心对称图形（关于原点对称），又是轴对称图形（关于直线和对称）。 k的符号 图象位置 增减性（每一象限内） 图象 k＞0 两支曲线分别位于第一、三象限 y随x的增大而减小 k＜0 两支曲线分别位于第二、四象限 y随x的增大而增大 　　注意：增减性只能在每一象限内讨论，不能跨象限直接比较函数值大小。 知识点4：比例系数k的几何意义 　　1.过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于。 　　2.连接图象上一点与原点，并向x轴、y轴作垂线所得的两个直角三角形面积都等于。 　　3.已知围成图形面积，可求，再结合象限确定k的正负，从而确定函数表达式。 　　4.注意：由面积求k时，k的符号要根据图象所在象限确定，且要取绝对值。 知识点5：反比例函数与一次函数图象的交点 　　1.与正比例函数（k₂≠0）的交点：时有两个关于原点对称的交点；时无交点。 　　2.与一般一次函数的交点：联立两函数表达式，转化为一元二次方程，由判别式判断交点个数。 　　3.利用图象解不等式：图象在上面的函数值大，图象在下面的函数值小，交点的横坐标是分界点，对应x的范围即不等式的解集。 知识点6：反比例函数的实际应用 　　1.实际问题中，自变量取值范围要根据具体情况与实际意义确定，不是单纯x≠0。 　　2.常见反比例关系：矩形面积一定时长与宽成反比、菱形面积一定时对角线成反比、物理中的压强、杠杆原理、电流与电阻等。 　　3.建模步骤：审题建模→求表达式→用图象性质求解→检验实际意义。 【基础必考题型】 【题型1】反比例函数的定义判定 1. 核心知识点： 　　反比例函数定义及三种等价形式；判断一个函数是否为反比例函数。 2. 解题方法技巧： 　　①看是否符合、或形式； 　　②x的指数必须为-1，且k≠0； ③含x²、或分子不是常数的不属于反比例函数。 【例题1】.（25-26八年级下·上海·期末）下列函数图像是双曲线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各选项的函数类型，根据反比例函数的图像是双曲线即可得到答案． 【详解】解：选项A、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求.； 选项B 、是常函数，图像为平行于轴的直线，不符合要求； 选项C、是正比例函数，图像为过原点的直线，不符合要求； 选项D、可变形为，属于反比例函数，反比例函数的图像是双曲线，符合要求． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·上海静安·期末）下列两个变量之间的关系属于反比例函数的关系是（  ）． A．圆的面积与半径的关系 B．正方形的周长与边长的关系 C．匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系 D．面积不变时，矩形的长与宽的关系 【答案】D 【分析】形如（为常数，，）的函数叫做反比例函数，两个变量的乘积为定值．依次写出每个选项的函数关系式，对照定义判断． 【详解】解：A、根据题意，得，所以圆的面积与半径的关系是二次函数关系，故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长与边长的关系是正比例函数关系，故本选项错误； C、根据题意，得，所以匀速行驶的汽车所行驶的路程与行驶的时间的关系是正比例函数关系，故本选项错误； D、根据题意，得，所以矩形的长与宽的关系是反比例函数关系，故本选项正确． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是关于x的反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第一、三象限，求m的值． 【答案】 【分析】先明确反比例函数的定义，因为反比例函数的一般形式为（），所以x的指数需等于，且x的系数不能为0，据此列方程和不等式求解m的可能取值．再结合函数图象的分布特征，因为反比例函数图象在第一、三象限时，比例系数大于0，所以针对第一步得到的m的可能值，验证系数的正负，筛选出符合条件的m值． 【详解】解：反比例函数的形式为（），也就是的次数必须为，同时比例系数不能为0： 令，解得，即或； 要求比例系数不为0： ，即，上述两个候选值都满足该条件． 反比例函数图象的两个分支分布在第一、三象限时，比例系数， 也就是：，解得． 在和中，只有符合的要求． ∴最终的值为2． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型2】反比例函数的解析式与坐标 1. 核心知识点： 　　图象上点的坐标满足；由点坐标求k；待定系数法求解析式。 2. 解题方法技巧： 　　①图象上的点代入满足，已知一点可求k； 　　②设表达式为，代入点坐标求k； ③写出完整解析式，必要时注明自变量范围。 【例题2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·重庆开州·阶段检测）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的图象对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图可知，该函数图象为过一、三象限的反比例函数，即， 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式为，然后把点代入求出的值即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：． 【题型3】反比例函数的图象性质 1. 核心知识点： 　　反比例函数图象（双曲线）所在象限由k的符号决定；每一象限内y随x的增减性由k的符号决定；比较图象上点函数值的大小。 2. 解题方法技巧： 　　①k＞0时图象在一、三象限且每象限内y随x增大而减小，k＜0时图象在二、四象限且每象限内y随x增大而增大； 　　②由已知点坐标代入判断k的符号，确定象限与增减性； 　　③比较函数值时先看各点所在象限再结合增减性，跨象限的点借助图象位置或代入比较。 【例题3】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数和正比例函数的图象的一个交点为． (1)求a的值． (2)求反比例函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将交点横坐标代入正比例函数解析式，计算得a的值； （2）将交点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值，得到反比例函数表达式． 【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上， 把代入，得； （2）点在反比例函数的图象上， 把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知反比例函数的图象经过，两点． (1)判断是正数还是负数． (2)比较与的大小． 【答案】(1)是负数 (2) 【分析】（1）根据图象所在象限即可得出答案； （2）根据图像性质即可得出结论. 【详解】（1）解：∵图象在二、四象限， ∴， 即：为负数； （2）解：∵， ∴在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴. 【变式题3-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， 解得 即m的取值范围为． 【题型4】反比例函数图象的对称性 1. 核心知识点： 　　反比例函数图象既是中心对称（关于原点），又是轴对称（关于、）。 2. 解题方法技巧： 　　①图象上一点关于原点的对称点也在图象上； 　　②利用对称性求点的坐标或找相等线段； ③两交点关于原点对称时横纵坐标互为相反数。 【例题4】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，M，N是函数图象上的两点，且线段过原点O，平行于y轴，平行于x轴，求的面积． 【答案】 【分析】由反比例函数的对称性可得点M与点N关于原点对称，设，则，求出点P的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵线段过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知点M与点N关于原点对称， 设，则， ∵平行于y轴，平行于x轴， ∴，， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点均在反比例函数的图象上，经过原点，延长交轴于点，且．若的面积为，则________． 【答案】 【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象和性质以及经过原点，得到点的坐标，根据为线段中点，得到点的坐标，以及，根据建立关于的等式，得到的值． 【详解】解：如图，连接， 设点， ∵均在反比例函数的图象上，且经过原点， ∴关于原点对称，且， ∴， ∵， ∴为线段中点， 设，则，且，即， 又∵均在上， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，点到线段和线段的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴解得：，即． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． 【题型5】反比例函数与一次函数图象分析 1. 核心知识点： 　　根据k、b等系数判断图象位置；两函数图象的位置关系。 2. 解题方法技巧： 　　①由一次函数的k、b判断其经过的象限； 　　②由反比例函数k符号判断双曲线位置； 　　③多图象选择题，用系数符号互相验证排除。 【例题5】.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）二次函数（）的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即，然后根据一次函数与反比例函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由二次函数图象可知开口向下，即，对称轴在y轴的右侧，则有，与x轴有两个交点，则有，与y轴的正半轴交于一点，即， ∴反比例函数中，图象经过第一、三象限； 一次函数中，所以该函数图象经过第一、二、三象限； ∴符合题意的只有C选项； 故选:C． 【变式题5-1】.（2025九年级上·山东·专题练习）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数及反比例函数的图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数：当时，图象在第一、三象限；当时，图象在第二、四象限． 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】A、从一次函数的图象知与反比例函数的图象一致，正确； B、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； C、从一次函数的图象从左向右上升知，而与y轴的负半轴相交知相矛盾，错误； D、因为，所以一次函数的图象不过原点，错误； 故选． 【变式题5-2】.（2026九年级上·全国·专题练习）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一三象限；D选项不符合； ②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二四象限．B、C选项不符合；A选项符合． 故选：A． 【变式题5-3】.（24-25九年级上·山东泰安·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 【培优高频题型】 【题型6】利用反比例函数的图象解不等式 1. 核心知识点： 　　数形结合解不等式；图象在上方函数值大。 2. 解题方法技巧： 　　①先求两函数交点横坐标（分界点）； 　　②观察图象，确定哪段图象在上方； ③由上方图象对应x的范围写出不等式解集。 【例题6】.（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2) 或 (3) 【分析】（1）先把点代入，求出m的值，再用待定系数法求出k的值即可； （2）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图像求解即可； （3）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，利用得到等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得， 解得或， 当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，， 解得， 当时，， ∴，， ∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴点P的坐标为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； （2）解：当时，解得， 即， ∴； （3）解：根据函数图象可知，当时，或． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，在第四象限交于点，过点B作轴于点C，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求的面积． (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，y1=－2x＋2 (2)3 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可确定反比例函数解析式，然后确定，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点A作交的延长线于点D，结合图形，求三角形面积即可； （3）结合图形得出当或时直线在双曲线的下方即可求解． 【详解】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵的图象过点， ∴， ∴， ∵直线的图象经过点，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）过点A作交的延长线于点D， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵，， 由函数图象可知，当或时直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集为或． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把代入，求出，可得反比例函数表达式，把代入，可求出，，利用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时，对应的的取值范围即可； （3）设与轴的交点为，根据的表达式求出，根据，结合、坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ， 把和分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， ∴由图象可知，不等式的解集为或． （3）解：如图，设与轴的交点为， 由（1）得直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵， ∴ ． 【题型7】k的几何意义与图形面积 1. 核心知识点： 　　k的几何意义；矩形面积=|k|，直角三角形面积=；不规则图形与围成图形的面积转化。 2. 解题方法技巧： 　　①过图象上的点作坐标轴垂线，围成矩形的面积等于|k|； 　　②利用割补、面积不变性把不规则图形转化为|k|的倍数； 　　③多个反比例函数图象，用|k₁|、|k₂|之差表示夹层面积。 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-1】.（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，反比例函数（）经过菱形的顶点，已知该菱形的周长为20，面积为20，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形周长求出边长，利用面积公式求出高，结合勾股定理确定点B的横坐标绝对值，根据图象所在象限确定点B坐标，代入反比例函数解析式求解. 【详解】解：过点B作轴于点， ∵菱形的周长为20， ∴， ∵菱形的面积为20， ∴， 解得， 在中，， 由图可知，点B在第二象限，A在轴负半轴，且点B在点A的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数（）经过点， ∴. 【变式题7-3】.（26-27九年级上·四川内江·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，，双曲线过点，交于点，连接，．若，，则的值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】延长，交轴于点，设，则，先求出，，，，的长，再根据列式计算即可． 【详解】解：如图，延长，交轴于点， ∵， ∴设，则， ∵轴，轴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 【题型8】与反比例函数有关的实际应用 1. 核心知识点： 　　反比例函数的实际应用（面积、物理压强、杠杆、电流电阻等）。 2. 解题方法技巧： 　　①把实际问题抽象成反比例函数关系； 　　②用待定系数法求表达式； ③注意自变量取值范围，结合图象性质求解实际问题。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 【答案】(1)； (2)每小时至少排水； (3)最少用可将满池水全部排空． 【分析】根据“排水总量排水速度排水时间”的等量关系，变形得到函数关系式； 结合反比例函数的增减性，代入求得最小排水速度； 结合反比例函数的增减性，代入求得最少排水时间． 【详解】（1）解：由题意得，蓄水池储水量为，即排水速度与排水时间的乘积为储水量，， 整理得， ∵排水时间为正数， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：要求内排空满池水，即排水时间， 将代入，得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴每小时至少排水； （3）解：∵已知最大排水速度为，即， ∴将代入，得，解得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴最少用可将满池水全部排空． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）小明家买了1000千瓦·时电．设平均每天用电x千瓦·时，这些电能够使用y天． (1)写出y与x之间的函数关系式 (2)如果平均每天用电5千瓦·时，那么这些电可以用多少天？ (3)如果这些电用了250天，那么平均每天用电多少千瓦·时？ 【答案】(1)； (2)200天； (3)4千瓦·时． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当时，， 答：这些电可以用200天； （3）解：当时，， 则， 答：平均每天用电4千瓦·时． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为（不计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积（单位：）与漏斗的深（单位：）有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗口的面积不超过，那么漏斗的深至少为多少？ 【答案】(1) (2)至少为 【分析】（1）直接由圆锥体积公式求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【详解】（1）解：由圆锥体积公式可得， 漏斗口的面积与漏斗的深的函数关系为； （2）解：把代入可得， 解得（）， 对于函数，当时，越大，越小， 当漏斗口的面积不超过时，那么漏斗的深至少为． 【变式题8-3】.（26-27六年级上·上海·开学考试）如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的． (1)王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表． 每分钟漏沙的体积/ 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有______立方厘米的沙子． ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成______比例关系． ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏______立方厘米的沙子． (2)如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)①13.5立方厘米；②反比例；③6.75立方厘米 (2)3.14立方厘米 【分析】（1）①先选取表格中一组每分钟漏沙体积与对应时间，二者相乘求出沙子总体积即可； ②先判断，再根据反比例定义判定比例关系即可； ③先利用①求出的沙子总体积，再用总体积除以规定时间2分钟，算出每分钟漏沙体积即可； （2）先确定上部剩余沙子为小圆锥，找出底面直径、高，再代入圆锥体积公式计算即可． 【详解】（1）解：①（立方厘米）， 这个沙漏里共有13.5立方厘米的沙子． ②∵，乘积一定， ∴在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系． ③（立方厘米）， 如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏6.75立方厘米的沙子． （2）解：（立方厘米）， 答：沙漏上部剩余的沙子的体积是3.14立方厘米． 【压轴素养题型】 【题型9】反比例函数中的存在性问题 1. 核心知识点： 　　是否存在满足某条件的点；特殊三角形、平行四边形等存在性。 2. 解题方法技巧： 　　①设未知点坐标，代入反比例函数； 　　②按特殊图形（等腰、直角、平行四边形）的条件列方程； ③分类讨论，检验解是否符合实际范围。 【例题9】.（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； (3)在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）将代入直线解析式求出，得出，再将代入反比例函数解析式即可求解； （2）首先求直线与轴交点，设点，则，表示出，根据，列方程求出，再求出，即可解答； （3）先求出直线向下平移4个单位后解析式为，求出，设点，分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点相同解答即可； 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将在代入直线解析式得：，即； 又∵在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：令，则， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（，舍去负根）， ∴， ∴为直线， 令，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线向下平移4个单位后解析式为：， 令，则，解得， ∴， ∵，设点，分三种情况讨论平行四边形： 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； ∴存在点，坐标为或或． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点P，使得，点P的坐标为或 【分析】（1）把代入，即可求解出反比例函数的表达式，根据点A，B关于原点对称，即可求出点B的坐标； （2）根据勾股定理得到，再有，并证得， 根据相似三角形的性质求得的长，再求矩形的面积，最后根据分类讨论即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：，， 反比例函数的表达式为， 点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， 点A，B关于原点对称， 点B的坐标为， （2）解：矩形的对角线垂直于x轴，点A的坐标为， ，， ，， 又， ， ，即，， ， 设点P的纵坐标为m， ①当点P在第一象限时，，解得，此时点P坐标为， ②当点P在第三象限时，，解得，此时点P坐标为， 存在点P，使得，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式,进而可得点 ，，再根据，即，由此列方程即可求出点D坐标； （3）根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， （2）解：把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； 点 ， ，， 设点坐标为 ∵， ∴， ∴，解得：， 故点D坐标为，． （3）结论：存在，点的坐标为或， 解：点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 【变式题9-3】.（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，反比例函数的图象经过点A，已知点，且，． (1)求k的值． (2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式． （1）过点作轴于点，由等腰三角形的性质得到，再结合三角形的面积求出，得到点，再由待定系数法求解即可； （2）反比例函数解析式为，则设，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵点，且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 将点代入，则； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴反比例函数解析式为 设， ∵， ∴， 解得， ∴ 【题型10】反比例函数新定义题型 1. 核心知识点： 　　新定义概念（如“美好点”等）；阅读理解并迁移到反比例函数。 2. 解题方法技巧： 　　①读懂新定义，翻译成代数或几何条件； 　　②把定义条件与反比例函数结合； 　　③逐问推进，前一问结论用于后一问。 【例题10】.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求二次函数的解析式 (2)已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点间距离公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”的坐标为． 二次函数的图象经过点，． ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为直线． 点在抛物线的对称轴上， ∴可设． 联立得， 解得， 二次函数与反比例函数的图象交于，（点的横坐标小于点的横坐标）两点， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为． 【变式题10-1】.（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． (1)一次函数的图像上的“亮点”是______； (2)若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； (3)若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】(1)； (2)或； (3) 解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． 【详解】（1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）略 【变式题10-2】.（2026·河南平顶山·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，为第一象限内的任意一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为．若四边形的周长与其面积相等，则称点为平面直角坐标系中的“等和积点”．已知“等和积点”在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)若为上一点，以为边作正方形，若点在反比例函数的图象上，试求出点的坐标，并判断点是否为“等和积点”． 【答案】(1) (2)点D的坐标为，点为“等和积点” 【分析】（）利用等和积点定义求点坐标，代入反比例函数求解析式； （）设纵坐标，利用正方形得坐标，代入反比例函数求值，验证等和积点条件． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设点的纵坐标为， 四边形为正方形， ． 点的横坐标为， ， 点在反比例函数的图象上， ， 解得 （负值已舍去）， 点的坐标为， ， 点为“等和积点”． 【变式题10-3】.（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式． 易错点 1. 忽略k≠0的条件，或把x的指数误判（含x²、x的指数不是-1）。 2. 判断图象所在象限时k的符号搞反。 3. 跨象限比较函数值大小时误用同一象限的增减性。 4. 用k的几何意义求k时，忘记取绝对值或忘记由象限定符号。 5. 实际问题中忽略自变量取值范围，把x≠0当作唯一限制。 6. 解不等式时交点横坐标求错或上方下方判断错误。 重点 1. 反比例函数的概念与三种等价形式，待定系数法求解析式。 2. 反比例函数的图象与性质，k的符号与象限、增减性的对应。 3. k的几何意义，利用面积求k或利用k求面积。 4. 反比例函数与一次函数的交点、不等式的数形结合应用。 难点 1. k的几何意义在不规则图形面积中的转化与综合。 2. 反比例函数中的动点、存在性、定值、最值问题。 3. 反比例函数与图形变换、新定义、角度的综合探究。 4. 跨学科（物理杠杆、压强、电学）情境题的建模与求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列函数中，y可以看作是x的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的一般形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项是分母为的二次式，不符合反比例函数形式； 选项，符合反比例函数形式； 选项，选项化简得，均含常数项，不符合反比例函数形式． 2．若反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值的性质，先求再判断各选项的点是否在图象上． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵函数图象经过点． ∴， ∴该函数解析式为， A、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； B、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； C、当时，，则此函数图象不经过该点，故本选项不符合题意； D、当时，，则此函数图象经过该点，故本选项符合题意． 3．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，， 都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 二、填空题 4．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 5．若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 6．如图，中，，点在轴正半轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为____________． 【答案】 【分析】设，根据为的中点，得到，则，再根据的面积为，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵为的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题 7．已知y是的反比例函数，当时，． (1)求出这个反比例函数的表达式． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的定义，设，进而代值求解即可； （2）将代入中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 将，代入，得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为． （2）解：当时，． 8．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线（）与x轴，轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． (1)求直线和双曲线的函数表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 9．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及点的坐标； (2)在轴上找一点，使的值最小，求线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点的坐标为 (2)线段与反比例函数图象的另一个交点的坐标为 (3) 【分析】（1）将A、B分别代入一次函数求出两点坐标，再把A代入反比例函数求得k，得到反比例解析式． （2）作B关于x轴对称点D，连接，与x轴交点即为P；求直线解析式，联立反比例方程，舍去A点，得另一交点． （3）求出P点坐标，利用对称转化面积，用算出面积． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为． 将点的坐标代入中，得 ， 解得， 反比例函数的解析式为． 由，知， 点的坐标为． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 分别将，代入中，得： ， 解得， 直线的函数解析式为． 联立，得方程组， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 当时，， 线段与反比例函数图象的另一个交点坐标为． （3）解：对于，令， 解得， 点的坐标为． 由（2）可得，． 10．如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为，边所在直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，使成立的的取值范围为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可求的长度，由菱形性质可知，则坐标可求，因为点在反比例函数的图象上，则解析式可求； （2）取在第二象限中一次函数不在反比例函数上方的图象所对应的的取值即可． 【详解】（1）解：点，， ，． 在中，由勾股定理，得． 四边形为菱形， ， 点的坐标为． 又点在反比例函数的图象上， ． （2）解：由图象知使成立的的取值范围为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $