专题27.1 反比例函数的概念（4大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题27.1 反比例函数的概念 知识点1：反比例函数的概念 　　1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 　　2.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数；函数值y也不等于0。 　　3.三种等价形式： 　　（1）（k≠0）； 　　（2）（k≠0）； 　　（3）（k≠0）。 　　4.k称为比例系数，无论形式如何，k始终为常数且k≠0。 　　5.判断反比例函数的关键：分母只含自变量本身，分子是非零常数，即能化为（k≠0）的形式。 知识点2：反比例关系与反比例函数 概念 说明 反比例关系 若（k为常数，k≠0），则a与b两个量成反比例关系，如与成反比例，则（k≠0） 反比例函数 形如（k≠0）的函数，是描述两变量成反比例关系的函数模型 联系 反比例函数是反比例关系的特殊形式；成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中两变量一定成反比例关系。如表示y与成反比例，但y不是关于x的反比例函数 知识点3：用待定系数法求反比例函数解析式 　　1.设：设所求反比例函数为（k≠0）； 　　2.代：把已知的一对x、y的值代入，得到关于k的方程； 　　3.解：解方程求出待定系数k的值； 　　4.写：把k代回所设解析式，写出函数关系式。 　　5.反比例函数只有一个待定系数k，因此只需知道一对x、y的对应值即可确定解析式。 知识点4：列实际问题中的反比例函数关系式 　　1.理解题意：找出实际问题中的已知量和变量（自变量、因变量），把文字或图形语言转化为数学语言； 　　2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 　　3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，写成用自变量表示函数的形式。 　　4.注意：实际问题中自变量的取值范围常受实际意义限制（如时间、距离、长度大于0）。 【基础必考题型】 【题型1】反比例函数的识别 1.核心知识点 　　反比例函数的定义；三种等价形式；判断y是否是x的反比例函数。 2.解题方法技巧 　　（1）把解析式尝试化为（k≠0）的形式； 　　（2）分母只能含自变量本身、分子是非零常数，符合才是反比例函数； （3）注意、等含“x的一次多项式”或“常数项”的式子不是反比例函数。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的三种表达形式（为常数，）、（为常数，）、（为常数，），逐一判断选项，选出符合定义的函数． 【详解】解：：是正比例函数，不是反比例函数； ：的分母为，不是的反比例函数； ：含常数项，不符合反比例函数形式； ：，是反比例函数． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是正比例函数，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】正比例函数：（2）（4）（6）；反比例函数：（1）（3）（5） 【分析】根据正比例函数和反比例函数的定义即可求解． 【详解】解：形如（）的函数是正比例函数，其中为常数；形如（）的函数是反比例函数，其中为常数； 所以正比例函数有（2）（4）（6）；反比例函数有（1）（3）（5）． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）和（2）是反比例函数. 【分析】根据反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，解答即可． 【详解】解：（1），符合， 故是反比例函数； （2），符合， 故是反比例函数； （3），不符合， 故不是反比例函数； （4），不符合， 故不是反比例函数． 【变式题1-3】.（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 【题型2】根据反比例函数的定义求参数 1.核心知识点 　　反比例函数的定义；待定系数的限制条件（k≠0，x的指数为-1）。 2.解题方法技巧 　　（1）根据是反比例函数，确定x的指数n=-1； 　　（2）同时保证比例系数k≠0，两类条件都要满足； （3）解出参数后回代检验，防止只满足指数而忽略k≠0。 【例题2】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）是反比例函数，那么____． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的定义．形如的式子为反比例函数，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：0 【变式题2-1】.（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）若函数是关于的反比例函数，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（）的函数称为反比例函数是解题的关键． 根据反比例函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵函数是关于的反比例函数， ∴， 解得 ． 故答案为：1 【变式题2-2】.（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，其一般形式为(且k为常数），可以变形为（且k为常数），因此函数 的指数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 当时，函数为，符合． 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 【详解】解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 【题型3】求反比例函数中自变量的取值范围 1.核心知识点 　　反比例函数自变量取值范围；实际问题中的实际意义限制。 2.解题方法技巧 　　（1）一般反比例函数自变量x≠0，即不等于0的一切实数； 　　（2）实际问题中还要结合具体情境（如时间、边长大于0）确定范围； （3）区分一般函数与实际问题中自变量的取值范围。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的标准形式确定比例系数，依据分式分母不为0的条件确定自变量的取值范围． 【详解】解：将给定的函数变形为，由此可得比例系数， 由于分式的分母不能为0，所以， 解得， 即自变量的取值范围是． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【答案】C 【详解】解：要使函数有意义，需，即自变量的取值范围是的一切实数． 【变式题3-2】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）是关于的反比例函数关系式，则________，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数，其一般形式为(为常数，)．在本题中是反比例函数，由此来确定的值，再根据反比例函数自变量的要求确定的取值范围． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：； 对于反比例函数，分母不能为， ∴在(此时，函数为)中， 自变量的取值范围； 故答案为：，． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，关键是根据反比例函数的一般形式确定函数表达式中参数的值，并明确自变量的取值范围，即可解答． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是反比例函数，则的值是______，反比例系数是______，自变量取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即有，反比例系数是，自变量取值范围是， 故答案为：，，． 【题型4】反比例函数的解析式与函数值 1.核心知识点 　　反比例函数解析式；代入求函数值；由函数值求自变量。 2.解题方法技巧 　　（1）已知解析式求函数值，把x的值代入计算； 　　（2）已知函数值求自变量，解关于x的方程； （3）点在双曲线上，点的横纵坐标之积等于k。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 【答案】 【分析】将已知的值代入反比例函数解析式，计算得到的值． 【详解】解：把代入，得． 【变式题4-1】.（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点 ∴ 将代入函数解析式得 【变式题4-2】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】列反比例函数关系式（几何图形类） 1.核心知识点 　　几何图形的面积、体积公式；把关系式化为反比例函数形式。 2.解题方法技巧 　　（1）回忆相关公式（三角形、矩形、菱形面积，圆柱、圆锥体积等）； 　　（2）把含变量的公式变形，用自变量表示函数； （3）判断是否为反比例函数并确定比例系数k。 【例题5】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【变式题5-1】.（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【答案】 【分析】已知与成反比例函数关系，先设反比例函数的一般形式，再代入已知的和的值求出待定系数，即可得到函数表达式. 【详解】解：因为与成反比例函数关系， 所以设， 将，代入得： ， 因此出水速度与水管横截面积的函数表达式为， 【变式题5-2】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 【变式题5-3】.（2025·湖北·三模）如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例关系，掌握反比例关系中的两个变量的积是不等于0的常数是解决问题的关键． 本题中根据题意判断出，由此得到底面积和水的高度成反比例，然后即可求解； 【详解】解：根据表格可得：， ∴底面积和水的高度成反比例， ∴， 故答案为：； 【题型6】列反比例函数关系式（物理公式类·跨学科） 1.核心知识点 　　杠杆平衡原理、压强公式、小孔成像等物理规律；建立反比例模型。 2.解题方法技巧 　　（1）把物理公式（动力×动力臂=阻力×阻力臂、等）转化为函数关系； 　　（2）确定自变量与因变量，写出形如的关系式； （3）注意物理量取值的实际意义。 【例题6】.（2025·湖北·一模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·广西贵港·期中）某闭合电路的电压，则其电流与电路的电阻之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可，因为电流等于电压除以电阻，所以设其电流与电路的电阻之间的函数表达式为，因为且某闭合电路的电压，则，即可作答． 【详解】解：∵电流等于电压除以电阻， ∴设其电流与电路的电阻之间的函数表达式为， 因为且某闭合电路的电压， 则， 故选：D 【变式题6-2】.（2025·海南·模拟预测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．求h关于的函数解析式__________． 【答案】 【分析】该题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为，坐在距离跷跷板支点的处，明明小朋友的体重为，距离跷跷板支点的距离为．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则与应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键要学会利用反比例函数解决实际问题． 根据妙妙的体重与妙妙到跷跷板支点的距离之积等于明明的体重与明明到跷跷板支点的距离之积求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ， 故选：C． 【题型7】列反比例函数关系式（图表信息类） 1.核心知识点 　　从表格数据识别反比例关系；利用对应数据确定k。 2.解题方法技巧 　　（1）观察表中x与y的对应值，检验各组是否为定值； 　　（2）若成反比例，取一组对应值求k； 　　（3）写出关系式后再验证其余数据是否满足。 【例题7】.（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法求出函数表达式即可； 【详解】解：由题意设：， 把时，，代入， 得； ∴关于的函数表达式为； 故选：C． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·浙江湖州·期末）在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据压强与容器体积的乘积是定值可以确定两变量之间成反比例关系，设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可． 【详解】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比， 设，把点代入， 得， ∴， 故这个函数的解析式为， 故选：C． 【变式题7-2】.（2025·山西临汾·三模）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流电压电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流电压电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，， 则电流与电阻的乘积恒为定值，即满足， 因此与的关系式为， 故选：B． 【变式题7-3】.（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：） t（单位：） 1 则最符合下与t之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合，判定与t是成反比例函数的，计算出定值即可． 本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 【详解】解：沪杭高铁的总里程是固定的． 由得， 由得，， 根据表格中的数据可以计算出最符合与t之间的关系式是， 故选：A． 易错点 1、判断反比例函数时忽略k≠0，把当k可为0。 2、误把、等含一次多项式或常数项的式子当作反比例函数。 3、求参数时只满足x的指数为-1，忘记检验比例系数k≠0，造成漏解或错解。 4、混淆反比例函数与正比例函数、二次函数，或把“y与某式成反比例”当成y是x的反比例函数。 5、求实际问题中自变量取值范围时，忽略实际意义（如时间、长度大于0）的限制。 重点 1、掌握反比例函数的概念及三种等价形式，能正确识别反比例函数。 2、掌握用待定系数法求反比例函数解析式，能由已知条件确定解析式并求值。 3、能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，写出函数关系式并确定自变量的取值范围。 难点 1、反比例函数与反比例关系的区别联系，以及含参数反比例函数的正确判定。 2、从几何、物理、生活、图表等实际问题中抽象出反比例函数模型并正确列式。 3、多结论辨析与综合探究中，正确处理参数限定、函数类型识别与分类讨论。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 反比例函数的概念 知识点1：反比例函数的概念 　　1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。 　　2.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数；函数值y也不等于0。 　　3.三种等价形式： 　　（1）（k≠0）； 　　（2）（k≠0）； 　　（3）（k≠0）。 　　4.k称为比例系数，无论形式如何，k始终为常数且k≠0。 　　5.判断反比例函数的关键：分母只含自变量本身，分子是非零常数，即能化为（k≠0）的形式。 知识点2：反比例关系与反比例函数 概念 说明 反比例关系 若（k为常数，k≠0），则a与b两个量成反比例关系，如与成反比例，则（k≠0） 反比例函数 形如（k≠0）的函数，是描述两变量成反比例关系的函数模型 联系 反比例函数是反比例关系的特殊形式；成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中两变量一定成反比例关系。如表示y与成反比例，但y不是关于x的反比例函数 知识点3：用待定系数法求反比例函数解析式 　　1.设：设所求反比例函数为（k≠0）； 　　2.代：把已知的一对x、y的值代入，得到关于k的方程； 　　3.解：解方程求出待定系数k的值； 　　4.写：把k代回所设解析式，写出函数关系式。 　　5.反比例函数只有一个待定系数k，因此只需知道一对x、y的对应值即可确定解析式。 知识点4：列实际问题中的反比例函数关系式 　　1.理解题意：找出实际问题中的已知量和变量（自变量、因变量），把文字或图形语言转化为数学语言； 　　2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 　　3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，写成用自变量表示函数的形式。 　　4.注意：实际问题中自变量的取值范围常受实际意义限制（如时间、距离、长度大于0）。 【基础必考题型】 【题型1】反比例函数的识别 1.核心知识点 　　反比例函数的定义；三种等价形式；判断y是否是x的反比例函数。 2.解题方法技巧 　　（1）把解析式尝试化为（k≠0）的形式； 　　（2）分母只能含自变量本身、分子是非零常数，符合才是反比例函数； （3）注意、等含“x的一次多项式”或“常数项”的式子不是反比例函数。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是正比例函数，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是反比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【变式题1-3】.（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【题型2】根据反比例函数的定义求参数 1.核心知识点 　　反比例函数的定义；待定系数的限制条件（k≠0，x的指数为-1）。 2.解题方法技巧 　　（1）根据是反比例函数，确定x的指数n=-1； 　　（2）同时保证比例系数k≠0，两类条件都要满足； （3）解出参数后回代检验，防止只满足指数而忽略k≠0。 【例题2】.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）是反比例函数，那么____． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）若函数是关于的反比例函数，则的值为______． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·甘肃白银·阶段检测）若函数是反比例函数，则m的值是______． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·四川达州·期中）函数 是反比例函数，则m的值是__________． 【题型3】求反比例函数中自变量的取值范围 1.核心知识点 　　反比例函数自变量取值范围；实际问题中的实际意义限制。 2.解题方法技巧 　　（1）一般反比例函数自变量x≠0，即不等于0的一切实数； 　　（2）实际问题中还要结合具体情境（如时间、边长大于0）确定范围； （3）区分一般函数与实际问题中自变量的取值范围。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在反比例函数中，比例系数_____________，自变量的取值范围是_____________． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【变式题3-2】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）是关于的反比例函数关系式，则________，自变量的取值范围是________． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是反比例函数，则的值是______，反比例系数是______，自变量取值范围是______． 【题型4】反比例函数的解析式与函数值 1.核心知识点 　　反比例函数解析式；代入求函数值；由函数值求自变量。 2.解题方法技巧 　　（1）已知解析式求函数值，把x的值代入计算； 　　（2）已知函数值求自变量，解关于x的方程； （3）点在双曲线上，点的横纵坐标之积等于k。 【例题4】.（26-27九年级上·全国·课后作业）对于反比例函数，当时，函数y的值是______． 【变式题4-1】.（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·上海嘉定·期末）已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【培优高频题型】 【题型5】列反比例函数关系式（几何图形类） 1.核心知识点 　　几何图形的面积、体积公式；把关系式化为反比例函数形式。 2.解题方法技巧 　　（1）回忆相关公式（三角形、矩形、菱形面积，圆柱、圆锥体积等）； 　　（2）把含变量的公式变形，用自变量表示函数； （3）判断是否为反比例函数并确定比例系数k。 【例题5】.（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在给农田灌溉时，水泵的出水流量v（立方米/分钟）与水管横截面积S（平方米）成反比例函数关系．当水管横截面积平方米时，出水流量立方米/分钟．则出水流量v与水管横截面积S的函数表达式为________． 【变式题5-2】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【变式题5-3】.（2025·湖北·三模）如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【题型6】列反比例函数关系式（物理公式类·跨学科） 1.核心知识点 　　杠杆平衡原理、压强公式、小孔成像等物理规律；建立反比例模型。 2.解题方法技巧 　　（1）把物理公式（动力×动力臂=阻力×阻力臂、等）转化为函数关系； 　　（2）确定自变量与因变量，写出形如的关系式； （3）注意物理量取值的实际意义。 【例题6】.（2025·湖北·一模）古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数表达式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25九年级上·广西贵港·期中）某闭合电路的电压，则其电流与电路的电阻之间的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2025·海南·模拟预测）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．求h关于的函数解析式__________． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，休闲广场上有两个小朋友在玩跷跷板．已知妙妙小朋友的体重为，坐在距离跷跷板支点的处，明明小朋友的体重为，距离跷跷板支点的距离为．根据杠杆平衡原理（动力×动力臂=阻力×阻力臂），若要使跷跷板保持水平，则与应满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型7】列反比例函数关系式（图表信息类） 1.核心知识点 　　从表格数据识别反比例关系；利用对应数据确定k。 2.解题方法技巧 　　（1）观察表中x与y的对应值，检验各组是否为定值； 　　（2）若成反比例，取一组对应值求k； 　　（3）写出关系式后再验证其余数据是否满足。 【例题7】.（25-26七年级上·河南信阳·期中）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）与物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：）成反比例关系，当时，，则y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（24-25八年级下·浙江湖州·期末）在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2025·山西临汾·三模）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【变式题7-3】.（2025·浙江·三模）某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：） t（单位：） 1 则最符合下与t之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 易错点 1、判断反比例函数时忽略k≠0，把当k可为0。 2、误把、等含一次多项式或常数项的式子当作反比例函数。 3、求参数时只满足x的指数为-1，忘记检验比例系数k≠0，造成漏解或错解。 4、混淆反比例函数与正比例函数、二次函数，或把“y与某式成反比例”当成y是x的反比例函数。 5、求实际问题中自变量取值范围时，忽略实际意义（如时间、长度大于0）的限制。 重点 1、掌握反比例函数的概念及三种等价形式，能正确识别反比例函数。 2、掌握用待定系数法求反比例函数解析式，能由已知条件确定解析式并求值。 3、能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型，写出函数关系式并确定自变量的取值范围。 难点 1、反比例函数与反比例关系的区别联系，以及含参数反比例函数的正确判定。 2、从几何、物理、生活、图表等实际问题中抽象出反比例函数模型并正确列式。 3、多结论辨析与综合探究中，正确处理参数限定、函数类型识别与分类讨论。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $