第25章 一元二次方程 单元复习（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年人教版数学九年级上册易错题重难点培优讲义

第25章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的概念 　　1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 　　2.必须同时满足：是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2。 　　3.如是一元二次方程；（二元）等不是。 知识点2：一般形式与特殊形式 　　1.一般形式：（），其中是二次项、是二次项系数，是一次项、是一次项系数，是常数项。 　　2.强调：是必要条件，但可以为0。 　　3.各项都包含它前面的符号；任何一个一元二次方程都可化为一般形式。 知识点3：一元二次方程的根（解） 　　1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的根。 　　2.若是方程的根，则，可用于求字母参数。 　　3.一元二次方程可能无实数根、有两个相等实数根、有两个不相等实数根。 知识点4：直接开平方法 　　1.依据平方根的意义直接开平方降次。 　　2.对：时两根；时两根相等；时无实数根。 　　3.步骤：化为→开平方→解两个一元一次方程。 知识点5：配方法 　　1.将方程配成完全平方式，再直接开平方。 　　2.步骤口诀：一移（移常数项）、二化（二次项系数化为1）、三配（两边加一次项系数一半的平方）、四开（开平方）、五解（得两根）。 　　3.配方依据：。 知识点6：公式法与根的判别式 判别式 方程（）的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 　　1.判别式：。 　　2.求根公式：当时，。 　　3.应用：不解方程判断根的情况；由根的情况求字母范围。 知识点7：因式分解法 　　1.先把方程化为一边为0，另一边因式分解成两个一次式乘积的形式，再令每个因式为0（依据：若，则或）实现降次。 　　2.步骤：一移、二分、三化、四解。 知识点8：四种解法的对比 方法 适用类型 特点 直接开平方法 最简单，无一次项或可直接化平方 配方法 二次项系数为1，易配方 通用，体现配方思想 公式法 任意一元二次方程 最通用，先判判别式 因式分解法 一边为0、另一边易分解 最快捷，注意不约分 知识点9：根与系数的关系（韦达定理） 　　1.若是方程（，）的两根，则，。 　　2.应用：不解方程求两根代数式值；已知一根求另一根及字母；由两根关系求字母；与判别式综合。 知识点10：实际应用与易错警示 　　1.平均增长（降低）率：基数、每轮平均增长率、经过次后为，（降低率用负）。 　　2.销售利润：总利润=每件利润×销售量；利润=售价－进价。 　　3.几何与动点：列线段代数式，用面积公式、勾股定理列方程。 　　4.列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答，检验解是否符合实际，不合实际舍去。 易错点 错误做法 正确做法 漏根 约去含未知数的因式 移项后因式分解，不约分 二次项系数 忘记 由求字母范围 配方 只给左边加 两边同加"一次项系数一半的平方" 根的取舍 两解都取 结合实际舍去不合题意的解 【易错题型】 【题型1】解一元二次方程时的漏根与约分 　　1.易错点总结 　　（1）两边同时除以含未知数的式子，漏掉"0"这个根； 　　（2）因式分解后少写一组解； 　　（3）用判别式求参时忘记二次项系数不为0； 　　（4）配方时忘记两边同加一次项系数一半的平方。 　　2.纠错技巧 　　（1）移项后用因式分解，避免约分； 　　（2）写出完整两组解； 　　（3）二次项系数； （4）配方时两边同加，保持等式平衡。 【例题1】.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）用因式分解法解方程：． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·四川达州·期中）解方程： (1) ； (2) ． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·河南开封·期中）解下列方程： (1)； (2) 【基础题型】 【题型2】一元二次方程的概念与一般形式 　　解题技巧： 　　（1）判断是否一元二次方程：整式、一元、最高次数2； 　　（2）化为一般形式，找准各项系数； 　　（3）系数含符号； （4）由概念求字母取值（二次项系数不为0）。 【例题2】.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·云南昆明·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·新疆巴州·期中）整理方程，化为一元二次方程的一般形式为____________． 【题型3】根的判别式与根的情况 　　解题技巧： 　　（1）计算； 　　（2）两不等根、两等根、无实数根； 　　（3）由根的情况求字母范围； （4）注意二次项系数不为0。 【例题3】.（26-27九年级上·河南开封·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式题3-1】.（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式题3-2】.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）若方程有实数根，则的取值范围为__________． 【题型4】利用根与系数的关系求值 　　解题技巧： 　　（1）、； 　　（2）先判再用韦达定理； 　　（3）化简两根代数式（如）； （4）已知一根求另一根及字母。 【例题4】.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）已知一元二次方程有两个根，则的值为（     ） A．6 B．5 C． D． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）若方程的两个实数根分别记作和，若满足则k的值为__________． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）若是方程的两个实数根，则的值为 _________ ． 【变式题4-3】.（甘肃兰州市部分学校2026-2027学年度九年级第一学期期中数学试卷）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【提升题型】 【题型5】配方法的应用 　　解题技巧： 　　（1）二次项系数化为1； 　　（2）两边同加一次项系数一半的平方； 　　（3）配成再开平方； （4）用配方求代数式最值（完全平方式≥0）。 【例题5】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（     ） A．0 B．8 C．16 D．24 【变式题5-1】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次三项式的最小值为________． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，可以求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． (1)试说明：无论为何实数，二次三项式的值均不小于； (2)直接写出多项式的最大值． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 【题型6】判别式与根和系数的综合 　　解题技巧： 　　（1）先保证有实数根（）再列关系式； 　　（2）利用韦达定理列方程求参； 　　（3）根的符号、大小关系与判别式联立； （4）取舍使范围满足题意。 【例题6】.（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程有一个正根和一个负根，求k的取值范围． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【题型7】换元法解高次或复杂方程 　　解题技巧： 　　（1）设整体换元降次； 　　（2）解出中间元后代回求原未知数； 　　（3）注意换元的取值范围（如）； （4）舍去不符的中间值。 【例题7】.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，，所以原方程的解为，，，． 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 解答问题： (1)请利用上述这种方法解方程：； (2)应用求值：已知实数a，b满足，求的值． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 (1)通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） (2)请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 【变式题7-2】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． (2)求方程的解． (3)若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 【变式题7-3】.（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【题型8】根据实际问题列方程 　　解题技巧： 　　（1）增长率：； 　　（2）销售利润：总利润=每件利润×销售量； 　　（3）几何面积、传播、计数问题找等量； （4）设未知数，列方程并检验。 【例题8】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． (1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； (2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 【变式题8-1】.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 【变式题8-2】.（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）为推动江西校园足球发展，2026年江西赣超中小学足球联赛采用规范赛制开展比赛，初中组联赛采用单循环制（每两个球队之间只比赛一场），已知本次初中组常规赛一共进行了45场比赛． (1)求本次参赛的球队数量． (2)为了扩大赛事影响力，主办方决定连续两年增加参赛队伍数量，每年参赛队伍的平均增长率相同，若第一年有（1）中求出的队伍数量参赛，两年后参赛队伍达到40支，求参赛队伍每年的平均增长率． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人感染几人？ (2)若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【题型9】一元二次方程与几何图形 　　解题技巧： 　　（1）动点问题：用表示路程与线段长； 　　（2）用面积公式、勾股定理列方程； 　　（3）等腰、面积等条件分类讨论； （4）检验解符合几何实际。 【例题9】.（26-27九年级上·广东惠州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． (1)填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______． (2)当为何值时，的面积为？ 【变式题9-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有_______个矩形； (2)图中共有_______个矩形（用含的式子表示）； (3)图中矩形的个数为270，求的值． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． (1)若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； (2)若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； (3)矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【变式题9-3】.（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上，也可能在线段的延长线上． (1)如图1，如果把墙全部利用上，则“日”字形的饲养场的面积是 ． (2)如图2，当点F在线段上时， ①设的长为x米，则 （用含x的代数式表示）米； ②若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； (3)如图3，当点F在线段延长线上，所围成的饲养场的面积能否为156平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由． 【培优题型】 【题型10】构造一元二次方程 　解题技巧： 　　（1）实际问题构造：审题设未知数，找出等量关系列方程，再整理为一般形式。 　　（2）已知两根构造：当方程的两根为、时，可直接构造。 （3）利用根的定义：若某数是方程的根，代入方程即可得到关于系数的关系式，据此构造新方程。 【例题10】.（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)已知，为方程的两根，求的值． (2)阅读材料：已知，，且．求的值． 解：由可知，∴．∴． 又，且，即， ∴m，是方程的两根．∴________．∴________． (3)根据阅读材料所提供的方法及（2）的方法完成下题的解答． 已知，且，求的值． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对关于x的一元二次方程开展深入探究 (1)学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； (2)若实数a，b满足，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【变式题10-3】.（2026七年级下·山西太原·专题练习）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【题型11】数学文化中的几何法解方程 　　解题技巧： 　　（1）赵爽图解法：用矩形拼成大正方形求正数解； 　　（2）花拉子米配方几何过程与配方法对应； 　　（3）由图形列面积等式化为一元二次方程； （4）数形结合求正数解。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·单元测试）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，只要开平方得，则可求出方程得两个实数根． (1)【理解应用】参照上述图的方法，请在图2三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择） (2)【类比迁移】利用上述方法，画出能够求出方程的解的示意图（要标注必要数据），并求解该方程． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图3是由四个面积为12的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16，那么此方程的系数________，________，求得方程的解为________． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·北京昌平·阶段检测）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： 用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： (1)仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 (2)根据（1）中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为_______的小正方形切拼成了一个面积为_______，且边长是_______的正方形．显然该正方形的边长为_______，故_______，得_______． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）探究： 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔•花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形．    材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：．    解决问题： (1)在材料一中，大正方形面积可以表示为______（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程______． (2)根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解为______． 【题型12】探究与新定义问题 　　解题技巧： 　　（1）理解新定义（倍根方程、牵手方程、不动值等）； 　　（2）把新定义转化为判别式、韦达定理； 　　（3）探究规律（计算器迭代、图形割补）列方程； 　　（4）验证结论并回归实际问题。 【例题12】.（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程 的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． (2)【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； (3)【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：；； 例题2：；． 同样我们也可以化简； 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：________，________； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 同步练习 一、单选题 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况为（     ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3．2026年大同黄花产业高质量发展大会如期举办，会议期间，每家商户都给其他每家参会商户各赠送一份礼品，一共送出90份礼品，求参会商户数．设参会商户数为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 5．已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 6．若关于的一元二次方程（为常数，）有两个相等的实数根，则的值等于______． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 8．2026年是中国工农红军长征胜利90周年．某文化墙要制作一块红色主题喷绘展板，正中央印制长征主题主画面，四周空白，要求主画面的长是厘米，宽是厘米，且主画面到展板四周的宽度相同，主画面的面积是这个展板面积的，求展板空白部分的宽度． 9．新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． (1)根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号） ①与；②与；③与． (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 10．关于x的一元二次方程有两个实根． (1)若方程有两个根，，满足，求的值； (2)若方程有一个根不小于2，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程 知识点1：一元二次方程的概念 　　1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 　　2.必须同时满足：是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2。 　　3.如是一元二次方程；（二元）等不是。 知识点2：一般形式与特殊形式 　　1.一般形式：（），其中是二次项、是二次项系数，是一次项、是一次项系数，是常数项。 　　2.强调：是必要条件，但可以为0。 　　3.各项都包含它前面的符号；任何一个一元二次方程都可化为一般形式。 知识点3：一元二次方程的根（解） 　　1.使方程左右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的根。 　　2.若是方程的根，则，可用于求字母参数。 　　3.一元二次方程可能无实数根、有两个相等实数根、有两个不相等实数根。 知识点4：直接开平方法 　　1.依据平方根的意义直接开平方降次。 　　2.对：时两根；时两根相等；时无实数根。 　　3.步骤：化为→开平方→解两个一元一次方程。 知识点5：配方法 　　1.将方程配成完全平方式，再直接开平方。 　　2.步骤口诀：一移（移常数项）、二化（二次项系数化为1）、三配（两边加一次项系数一半的平方）、四开（开平方）、五解（得两根）。 　　3.配方依据：。 知识点6：公式法与根的判别式 判别式 方程（）的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 　　1.判别式：。 　　2.求根公式：当时，。 　　3.应用：不解方程判断根的情况；由根的情况求字母范围。 知识点7：因式分解法 　　1.先把方程化为一边为0，另一边因式分解成两个一次式乘积的形式，再令每个因式为0（依据：若，则或）实现降次。 　　2.步骤：一移、二分、三化、四解。 知识点8：四种解法的对比 方法 适用类型 特点 直接开平方法 最简单，无一次项或可直接化平方 配方法 二次项系数为1，易配方 通用，体现配方思想 公式法 任意一元二次方程 最通用，先判判别式 因式分解法 一边为0、另一边易分解 最快捷，注意不约分 知识点9：根与系数的关系（韦达定理） 　　1.若是方程（，）的两根，则，。 　　2.应用：不解方程求两根代数式值；已知一根求另一根及字母；由两根关系求字母；与判别式综合。 知识点10：实际应用与易错警示 　　1.平均增长（降低）率：基数、每轮平均增长率、经过次后为，（降低率用负）。 　　2.销售利润：总利润=每件利润×销售量；利润=售价－进价。 　　3.几何与动点：列线段代数式，用面积公式、勾股定理列方程。 　　4.列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答，检验解是否符合实际，不合实际舍去。 易错点 错误做法 正确做法 漏根 约去含未知数的因式 移项后因式分解，不约分 二次项系数 忘记 由求字母范围 配方 只给左边加 两边同加"一次项系数一半的平方" 根的取舍 两解都取 结合实际舍去不合题意的解 【易错题型】 【题型1】解一元二次方程时的漏根与约分 　　1.易错点总结 　　（1）两边同时除以含未知数的式子，漏掉"0"这个根； 　　（2）因式分解后少写一组解； 　　（3）用判别式求参时忘记二次项系数不为0； 　　（4）配方时忘记两边同加一次项系数一半的平方。 　　2.纠错技巧 　　（1）移项后用因式分解，避免约分； 　　（2）写出完整两组解； 　　（3）二次项系数； （4）配方时两边同加，保持等式平衡。 【例题1】.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）用因式分解法解方程：． 【答案】， 【详解】解： 移项，得 或 解得，． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·四川达州·期中）解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法，即可求解； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·河南开封·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）将方程整理为一元二次方程一般形式，代入求根公式计算根． （2）通过变形构造公因式，采用因式分解法求解方程． 【详解】（1）解：对， 移项整理得 ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ． 即， ． （2）解：， ， ， ， 即 ， ∴． 解得，． 【基础题型】 【题型2】一元二次方程的概念与一般形式 　　解题技巧： 　　（1）判断是否一元二次方程：整式、一元、最高次数2； 　　（2）化为一般形式，找准各项系数； 　　（3）系数含符号； （4）由概念求字母取值（二次项系数不为0）。 【例题2】.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：只含1个未知数， 未知数最高次数为2， 是整式方程；先将各选项方程化为最简形式， 再结合一元二次方程的定义逐一判断. 【详解】解：∵选项A的方程含2个未知数， ∴不是一元二次方程； 选项B的方程只含未知数， 最高次数为2， 且是整式方程， ∴是一元二次方程； 选项C的方程整理后为， 最高次数为1，∴不是一元二次方程； 选项D的方程是分式方程， ∴不是一元二次方程． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·期中）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】2 【分析】需同时满足两个条件，一是方程为一元二次方程，二次项系数不为0．二是方程的常数项为0．联立两个条件求解m的取值即可． 【详解】解：∵给定方程是关于的一元二次方程 ∴二次项系数，即 ∵方程的常数项为0 ∴ 解得 ∴． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·云南昆明·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 【变式题2-3】.（26-27九年级上·新疆巴州·期中）整理方程，化为一元二次方程的一般形式为____________． 【答案】 【分析】一元二次方程的一般形式为（，，，为常数），通过去括号、移项整理方程即可得到对应一般形式． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：． 【题型3】根的判别式与根的情况 　　解题技巧： 　　（1）计算； 　　（2）两不等根、两等根、无实数根； 　　（3）由根的情况求字母范围； （4）注意二次项系数不为0。 【例题3】.（26-27九年级上·河南开封·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵中， ，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断方程根的情况． 【详解】解：方程中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·甘肃兰州·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】分二次项系数为0和不为0两类讨论，分别求解后合并范围． 【详解】解：当，即时，方程为，是一元一次方程，有实数根，符合条件． 当，即时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 此时的取值范围为且． 综上，的取值范围是． 【变式题3-3】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）若方程有实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】因二次项系数含参数，需分方程为一元一次方程、一元二次方程两类讨论，分别结合对应方程有实数根的条件求解，再合并结果． 【详解】解：当，即时， 原方程化为， 解：； 当，即时， 原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ， 整理得：， 解得：； 的取值范围为且， 综上所述，的取值范围为． 【题型4】利用根与系数的关系求值 　　解题技巧： 　　（1）、； 　　（2）先判再用韦达定理； 　　（3）化简两根代数式（如）； （4）已知一根求另一根及字母。 【例题4】.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）已知一元二次方程有两个根，则的值为（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系定理，求代数式的值，解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为， ∴ 由根与系数的关系得，， ∴ ． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）若方程的两个实数根分别记作和，若满足则k的值为__________． 【答案】 【分析】将给定的根的关系式变形为两根和与两根积的等式，结合一元二次方程根与系数的关系建立关于的方程，再通过判别式验证解的合理性，舍去无实根的情况． 【详解】解：∵， ∴，移项整理得， 对于一元二次方程， 根据根与系数的关系，可得，， ∴， 移项化简得， 因式分解得， 解得或， ∵一元二次方程存在两个实根的前提是判别式， ∴ 解得， ∴的值为． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）若是方程的两个实数根，则的值为 _________ ． 【答案】 【分析】利用方程根的定义得到的取值，结合根与系数的关系得到的取值，拆分所求代数式后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴将代入方程可得，即； ∵、是方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系，两根之和， ∴． 【变式题4-3】.（甘肃兰州市部分学校2026-2027学年度九年级第一学期期中数学试卷）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】利用方程根的定义对代数式中的高次项降次，结合根与系数的关系及完全平方公式化简后代入求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，且，， ， ． 【提升题型】 【题型5】配方法的应用 　　解题技巧： 　　（1）二次项系数化为1； 　　（2）两边同加一次项系数一半的平方； 　　（3）配成再开平方； （4）用配方求代数式最值（完全平方式≥0）。 【例题5】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（     ） A．0 B．8 C．16 D．24 【答案】C 【分析】将方程的解代入原方程，建立m与n的数量关系，再转化为二次式配方求最值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入原方程得， ， 将代入得， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）二次三项式的最小值为________． 【答案】 【分析】将二次三项式配方，利用平方数的非负性即可求出最小值． 【详解】解：对二次三项式配方得 ∵ 任意实数的平方都大于等于 ∴ ∴ 因此二次三项式的最小值为． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·吉林长春·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，可以求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，求代数式的最小值． 解：原式 可知，当时，有最小值，最小值是． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． (1)试说明：无论为何实数，二次三项式的值均不小于； (2)直接写出多项式的最大值． 【答案】(1)证明：， ， ， 故无论为何实数，二次三项式的值均不小于； (2)多项式的最大值为 【分析】（1）用配方法化为，根据平方的非负性，即可求解； （2）用配方法化为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： ， 当时，有最大值，最大值是． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值． 例题：求的最小值． 解： ． ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为5． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：__________． (2)求的最小值． (3)若一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，另一个长方形的长和宽分别为和，面积记为，则__________，__________，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)36；6 (2) (3)解：，，，理由如下： 由题意得，， ， ∴ ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴， ∴． 【分析】（1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式对原式进行整理，根据完全平方公式的非负性求值即可； （3）根据长方形的面积公式表示出，再求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次项系数为， ∴常数项为， ∴； （2）解： ， ∵无论取何值，总是非负数，即， ∴． ∴当时，有最小值，最小值为． （3）略 【题型6】判别式与根和系数的综合 　　解题技巧： 　　（1）先保证有实数根（）再列关系式； 　　（2）利用韦达定理列方程求参； 　　（3）根的符号、大小关系与判别式联立； （4）取舍使范围满足题意。 【例题6】.（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程有一个正根和一个负根，求k的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的取值范围是 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式与根的个数的关系列不等式求解． （2）利用根与系数的关系结合方程有一个正根和一个负根的条件列不等式，再根据方程有两个不相等的实根的条件得出结果即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， ，，． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 代入得 ， 整理得：， 解得：． （2）解：设方程的两个实数根为，． ∵方程有一个正根和一个负根， ∴． 根据根与系数的关系，， ∴， ∴， 解得：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 综上，k的取值范围为． 【变式题6-1】.（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用判别式大于0，算出的取值范围； （2）用韦达定理得到两根和与两根积，展开式子代入求值；最后检验是否符合范围． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ，即 解得， 所以的取值范围为． （2）解：由题意得． ， 解得， 所以的值为1． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，由完全平方公式可得，再代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 【变式题6-3】.（26-27九年级上·山东滨州·阶段检测）已知关于的方程有实数根． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)设，是方程的两个实数根，是否存在实数使得成立？如果存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为或. (2)存在，的值为. 【分析】（1）将代入方程求解，结合方程有实根的判别式条件验证结果； （2）利用根与系数的关系变形所求代数式，列方程求解，结合判别式筛选符合条件的值． 【详解】（1）解：∵方程的一个根为， ∴将代入，得，即， 解得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∵和均满足， ∴的值为或. （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得：，， ∵， ∴代入得， 整理得， 解得，. ∵方程有实数根， ∴， ∴不符合条件，舍去， ∴. 综上所述，存在实数使得成立． 【题型7】换元法解高次或复杂方程 　　解题技巧： 　　（1）设整体换元降次； 　　（2）解出中间元后代回求原未知数； 　　（3）注意换元的取值范围（如）； （4）舍去不符的中间值。 【例题7】.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，，所以原方程的解为，，，． 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． 解答问题： (1)请利用上述这种方法解方程：； (2)应用求值：已知实数a，b满足，求的值． 【答案】(1)原方程的解为， (2)的值为 【分析】（1）设，原方程化为，求出y的值，进而即可求解； （2）设，则原方程可化为，求出y的值，结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 当时，，解得，； 当时，，即， ∵， ∴该方程无实数根． 综上所述，原方程的解为，． （2）解：设， 则原方程可化为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． ∵，， ∴， ∴， 即． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，令，则原方程可化为．① 解方程①可得：， ∴当时，即，则，故 当时，即，则，故 ∴原方程的解为，，， 【解决问题】 (1)通过阅读材料，由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到________的目的．（填“降次”或“消元”） (2)请仿照材料中的方法并结合现有知识，解下列方程： ① ② 【答案】(1)降次 (2)①或；②或或或 【详解】（1）由原方程到方程①的过程中，是利用换元法以达到降次的目的； （2）解：①设，则原方程可化为， ∴， 解得或（舍去）， 当时，则， 解得或； ②设，则原方程可化为， ∴， 解得或， 当时，则， ∴， 解得或； 当时，则， ∴， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或或． 【变式题7-2】.（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无实数根，舍去；当时，，解得；原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)用换元法解方程时，新字母设为，则________，原方程化为________，解得________． (2)求方程的解． (3)若三边是，，．若两直角边，满足，斜边，求的周长． 【答案】(1)，，6或 (2)， (3)9 【分析】（1）观察方程可得，则，利用因式分解法解方程即可； （2）结合（1）的结论，可得两个关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先利用换元法求出的值，再结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】（1）解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或． （2）解：新字母设为，则， 原方程化为， ∴， 解得或， 当时，则，解得，； 当时，则，即， 这个方程根的判别式，没有实数根； 综上，原方程的解为，． （3）解：令，则， 整理得：， 解得或， ∵的斜边， ∴当时，，不满足三角形的三边关系，舍去； 当时，，满足三角形的三边关系，则此时的周长为； 综上，的周长为9． 【变式题7-3】.（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【题型8】根据实际问题列方程 　　解题技巧： 　　（1）增长率：； 　　（2）销售利润：总利润=每件利润×销售量； 　　（3）几何面积、传播、计数问题找等量； （4）设未知数，列方程并检验。 【例题8】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·期中）为弘扬地方文化，让更多游客了解沈阳，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为30元，当售价为40元时，每天可以售出60件；经调查发现，售价每降价1元，每天可多售出10件，设该款文创产品降价元． (1)降价销售后，每件该款文创产品的利润为__________元，每天售出该款文创产品的数量为__________件（用含的代数式表示）； (2)为让利于游客，当该款文创产品应该定价多少元时，这个文旅公司每天的利润为630元？ 【答案】(1)； (2)该款文创产品应该定价37元 【分析】（1）根据单件利润=现售价−成本，销售量=原销量+增加销量，列出代数式； （2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程，结合“让利于游客”，选择售价更低的解． 【详解】（1）解：每件利润为元， 每天销售量为件． （2）解：根据题意，得 整理，得 因式分解，得 要让利于游客，定价尽可能低， 取． （元） 答：该款文创产品应该定价37元． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）2023年11月，第一届全国学生(青年)运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在今年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月份数量持续增高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个． (1)求 10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率． (2)若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月销量的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当毛绒玩具每个降价多少元时，出售毛绒玩具在 12月份可获利4200元？ 【答案】(1)10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为 (2)当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据9月销量乘的平方等于11月销量列方程求解； （2）设降价m元，以11月销量为基础表示12月销量，结合单个利润与总利润的关系列一元二次方程求解． 【详解】（1）解：设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为； （2）解：设毛绒玩具每个降价m元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当毛绒玩具每个降价5元时，12月份可获利4200元． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）为推动江西校园足球发展，2026年江西赣超中小学足球联赛采用规范赛制开展比赛，初中组联赛采用单循环制（每两个球队之间只比赛一场），已知本次初中组常规赛一共进行了45场比赛． (1)求本次参赛的球队数量． (2)为了扩大赛事影响力，主办方决定连续两年增加参赛队伍数量，每年参赛队伍的平均增长率相同，若第一年有（1）中求出的队伍数量参赛，两年后参赛队伍达到40支，求参赛队伍每年的平均增长率． 【答案】(1)本次参赛的球队数量为支 (2)参赛队伍每年的平均增长率为 【分析】（1）设本次参赛的球队数量为支，根据单循环制可得，解方程即可； （2）设参赛队伍每年的平均增长率为，由增长率模型可得，解方程即可． 【详解】（1）解：设本次参赛的球队数量为支， 由题意可知，， 整理，得， 解得或（负根舍去）， ∴． 答：本次参赛的球队数量为支． （2）解：设参赛队伍每年的平均增长率为， 由题意可知，， 解得或（负根舍去）， ∴． 答：参赛队伍每年的平均增长率为． 【变式题8-3】.（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮传染中平均一个人感染几人？ (2)若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮感染中平均一个人感染人 (2)216人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮传染中平均一个人感染人； （2）解：经过三轮传染后患甲流的人数为：（人）， 答：三轮传染后患病的共有216人． 【题型9】一元二次方程与几何图形 　　解题技巧： 　　（1）动点问题：用表示路程与线段长； 　　（2）用面积公式、勾股定理列方程； 　　（3）等腰、面积等条件分类讨论； （4）检验解符合几何实际。 【例题9】.（26-27九年级上·广东惠州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一点也同时停止，设运动的时间为． (1)填空：________，________（用含的代数式表示），的取值范围为_______． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，线段的和差表示解答即可． （2）根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得，运动的时间为后，，， ，， ，， ， 运动都停止运动， ． （2）解：根据矩形，得， ， ， 整理，得， 解得， ， 不满足范围，舍去， ， 当时，的面积为． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·安徽合肥·期中）某商业街的人行道由3块矩形地砖组成的基本图形排列而成，图1表示此基本图形中的地砖排列方式．将图1这个基本图形不断复制（即向前铺地砖），得到图2，图3，…（如图所示）． 显然，图1中共有6个矩形，图2中共有18个矩形，图3中共有36个矩形，…，按照以上规律，解决下列问题： (1)图4中共有_______个矩形； (2)图中共有_______个矩形（用含的式子表示）； (3)图中矩形的个数为270，求的值． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】本题考查图形变化规律的探究．这里的“矩形”指图中所有由线段围成的长方形，包括由地砖拼合而成的大小长方形，这是本题最容易漏数的关键．任一矩形都由左右两条竖线和上下两条横线唯一确定，所以数矩形的关键在于“横线取2条、竖线取2条，再两两搭配”：图n排成n列3行，横线始终是4条，取2条有6种；竖线的条数等于列数加1，取2条的种数随n增大而增大．两者相乘就是图n中矩形的总数，这样数既不重复也不遗漏．求出一般规律后，可回代n取的情形检验；已知总数反求n时，把规律看作方程来解，最后要结合n为正整数（列数）的实际意义取舍． （1）图4有4列3行，按照“先取上下边、再取左右边”的方法直接计数即可． （2）仿照（1），用含n的式子表示图n中矩形上下边、左右边的取法数，相乘即得一般规律，可由n取1、2、3的情形检验． （3）由（2）的规律，将270代入列方程求解，注意n的实际意义（列数为正整数）． 【详解】（1）解：图4有4列3行：矩形的上下边须从4条横线中取2条，有6种取法；左右边须从5条竖线中取2条，有10种取法．所以图4中共有矩形（个）． （2）解：图n有n列3行：矩形的上下边仍须从4条横线中取2条，有6种取法；左右边须从条竖线中取2条，有种取法． 所以图n中矩形个数为（个）． 检验：当n取1、2、3时，上式分别给出6、18、36，与题设相符． （3）解：由（2）知，图n中矩形个数为．由题意得，两边同除以3，得． 因为n为正整数，且，所以（方程的另一解为负数，不符合实际意义，舍去）．故n的值为9． 【变式题9-2】.（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某农场要建一个矩形饲养场，两面靠墙（位置的墙最大可用长度为25米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． (1)若矩形饲养场的一边长为8米，则______米； (2)若矩形饲养场的面积为189平方米，求边的长； (3)矩形饲养场的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】(1)24 (2)9米 (3)解：矩形饲养场的面积不能达到240平方米，理由如下： 设米，则米， 假设矩形饲养场的面积能达到240平方米，则， 整理得， 此时， ∴原方程无解， ∴假设不成立， ∴矩形饲养场的面积不能达到240平方米； 【分析】（1）的长度等于木栏总长减去长度的3倍，再加上3个门的长度，据此列式求解即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）设米，则米，根据矩形的面积公式建立方程，看方程是否有正实数根即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，（米）； （2）解：设米，则米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：边的长为9米； （3）略 【变式题9-3】.（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上，也可能在线段的延长线上． (1)如图1，如果把墙全部利用上，则“日”字形的饲养场的面积是 ． (2)如图2，当点F在线段上时， ①设的长为x米，则 （用含x的代数式表示）米； ②若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； (3)如图3，当点F在线段延长线上，所围成的饲养场的面积能否为156平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②11米 (3)解：不能达到，理由如下： 设的长为y米，则米， 依题意得：，整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根，即当点F在线段延长线上时，所围成的饲养场的面积不能达到156平方米． 【分析】（1）先列式求出的长，再利用矩形的面积公式求解即可； （2）①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长；②先根据点F在线段上确定x的取值范围，再利用矩形的面积计算公式列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据点F在线段的延长线上列出一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：如图1：，则“日”字形的饲养场的面积是． （2）解：①设的长为x米，则． ②∵点F在线段上， ∴，即，解得：． 由题意得：， 整理得∶，解得：（不合题意舍去）． 答：饲养场的宽的长为11米． （3）略 【培优题型】 【题型10】构造一元二次方程 　解题技巧： 　　（1）实际问题构造：审题设未知数，找出等量关系列方程，再整理为一般形式。 　　（2）已知两根构造：当方程的两根为、时，可直接构造。 （3）利用根的定义：若某数是方程的根，代入方程即可得到关于系数的关系式，据此构造新方程。 【例题10】.（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)已知，为方程的两根，求的值． (2)阅读材料：已知，，且．求的值． 解：由可知，∴．∴． 又，且，即， ∴m，是方程的两根．∴________．∴________． (3)根据阅读材料所提供的方法及（2）的方法完成下题的解答． 已知，且，求的值． 【答案】(1)6 (2)1，1 (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系得到，，进而根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到；对代数式变形即可； （3）同（2）可得，是方程的两个根，则，，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之和为1，因此； 对代数式变形可得； （3）解：∵，且， ∴，，，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对关于x的一元二次方程开展深入探究 (1)学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； (2)若实数a，b满足，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1)3 (2) (3)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）设基地的宽为x米，则基地的长为米．围成基地的面积为12平方米，根据矩形面积=长×宽，列一个关于x的一元二次方程，解方程，舍去不符合题意的负值，即可求出x的值； （2）由可得，即，设，则有，再由已知条件及可得，a和c是方程的两个不同的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合，求出； （3）先将已知的两个等式作差，并进行因式分解，整理得到，再将已知的两式相加，整理得到，根据完全平方公式变形得 ，将其代入，整理后得到 ，将代入该式，整理后可证得结论． 【详解】（1）解：设基地的宽为x米，则基地的长为米． ∵围成基地的面积为m平方米，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， 答：当时，x的值为3． （2）解：∵， ∴， 即， 设， 则， ∵， ∴a和c是方程的两个实数根， ∵， ∴， ∴a和c是方程的两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴， 即． （3）略 【变式题10-3】.（2026七年级下·山西太原·专题练习）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程展开探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金数”，求“黄金数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵①，②, ∴，得， ∴ ∵， ∴， ∴③，④， 将④代入①，得， ∴， ∴ ， 将③代入②，得， ∴， ∴， ∴p，q是一元二次方程的两个根， ∴． 【分析】（1）将代入，得，解方程求出正根即可. （2）将变形为，结合，得出a，是一元二次方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数关系即可解答. （3）根据①，②，得出，结合得出③，④，将④代入①，得,将③代入②，得，得出p，q是一元二次方程的两个根，即可求得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴“黄金数”为； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴a，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． （3）略 【题型11】数学文化中的几何法解方程 　　解题技巧： 　　（1）赵爽图解法：用矩形拼成大正方形求正数解； 　　（2）花拉子米配方几何过程与配方法对应； 　　（3）由图形列面积等式化为一元二次方程； （4）数形结合求正数解。 【例题11】.（26-27九年级上·全国·单元测试）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【深入探究】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． (2)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)， 【分析】（1）先把方程变形为，确定长方形长、宽，再利用面积关系列出，开方求解得到方程的两个根． （2）先把方程变形为，设，得到，套用得到，开方算出的值． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解得，． （2）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 【变式题11-1】.（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．虽然在几何图形中的值不能取负数，但事实上，只要开平方得，则可求出方程得两个实数根． (1)【理解应用】参照上述图的方法，请在图2三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是________．（从序号①②③中选择） (2)【类比迁移】利用上述方法，画出能够求出方程的解的示意图（要标注必要数据），并求解该方程． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图3是由四个面积为12的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16，那么此方程的系数________，________，求得方程的解为________． 【答案】(1)② (2)解：将方程，变为，即， 如图，画4个长为、宽为的相同矩形，拼成“空心”大正方形， 则外围大正方形的边长为，中间围成的小正方形边长为， 大正方形的面积既可以表示为，也可以表示为4个矩形面积加中间小正方形面积， 故， 开平方得： 当时，解得， 当时，解得， 因此方程的根为，； (3)，或， 【分析】（1）将原方程整理为，可看作一个长为，宽为，面积为21的矩形，可得答案； （2）将原方程变为，可看作一个长为，宽为，面积为10的矩形，可得答案； （3）原方程变为，可知四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，再由条件可知，进而得，则此题可解． 【详解】（1）解：， ， 将看作长为，宽为的4个矩形拼成空心大正方形，中间小正方形的边长为，符合该拼接特征的只有构图②； （2）略 （3）解：由条件可知， ， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知， 解得：， 当时，， ∴，解得：或， 当时，， ∴，解得：或， 综上所述，方程的解为，或，． 【变式题11-2】.（26-27九年级上·北京昌平·阶段检测）数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明用几何法解一元二次方程的过程： 分析：由于，因此．如图（1）所示分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（2）所示再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形，将分割后的图形重新拼接成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36． 通过以上图形变化将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为10，故，得． 注：用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根． 请根据上述材料解决以下问题： 用几何方法求方程的正数根．具体过程如下： (1)仿照图（1）（2）（3）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度 (2)根据（1）中所画图形求出方程的正数根．（填空） 通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为_______的小正方形切拼成了一个面积为_______，且边长是_______的正方形．显然该正方形的边长为_______，故_______，得_______． 【答案】(1)根据题意作图如下： (2)；；；6；； 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据所画图形并结合题意解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：通过以上图形变化将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形切拼成了一个面积为，且边长是的正方形．显然该正方形的边长为6，故，解得． 【变式题11-3】.（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）探究： 项目背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔•花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料一 赵爽发现可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形．    材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：．    解决问题： (1)在材料一中，大正方形面积可以表示为______（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于______，故可得到方程______． (2)根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解为______． 【答案】(1)；； (2)； 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）由，可得，仿照材料二构图可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：在材料一中，大正方形面积可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程． （2）解：由，可得， 仿照材料二构图见答案， 由图形面积关系，可得，即， ， 解得，（舍去）， 方程的解为． 【题型12】探究与新定义问题 　　解题技巧： 　　（1）理解新定义（倍根方程、牵手方程、不动值等）； 　　（2）把新定义转化为判别式、韦达定理； 　　（3）探究规律（计算器迭代、图形割补）列方程； 　　（4）验证结论并回归实际问题。 【例题12】.（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）定义：若关于x的一元二次方程 的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”．例如：已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”，则该方程的“关爱码”为． (1)已知关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”， ①当时，该全整根方程的“关爱码”为______； ②若该全整根方程的“关爱码”为，则m的值为______； (2)已知关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”，求该方程的“关爱码”； (3)若关于x的一元二次方程与都是“全整根方程”．当其“关爱码”相等时，求代数式的值． 【答案】(1)①0；②5或 (2)或 (3)4 【分析】（1）①当时，方程为，再根据“全整根方程”的“关爱码”的定义求解即可；②根据“全整根方程”的“关爱码”的定义以及该全整根方程的“关爱码”为列关于m的方程求解即可； （2）先根据“全整根方程”的定义可得是完全平方数，再结合确定m的值，再根据“关爱码”的定义求解即可； （3）先分别求出两个方程的“关爱码”，再根据“关爱码”相等得到，然后代入所求代数式化简即可． 【详解】（1）解：①当时，方程为，则该全整根方程的“关爱码”为； ②关于x的一元二次方程的“关爱码”为， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵关于x的一元二次方程（m为整数，且）是一个“全整根方程”， ∴根的判别式是完全平方数， ∵， ∴当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，是完全平方数，符合题意； 当时，不是完全平方数，不符合题意； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 当时，原方程为，此时“关爱码”为； 综上，该方程的“关爱码”为或． （3）解：关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 关于x的一元二次方程的“关爱码”为； 所以，整理得， ． 【变式题12-1】.（26-27九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）【学习研究】定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)【初步思考】若一元二次方程为，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 ． (2)【尝试应用】若关于x的一元二次方程为，求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标； (3)【拓展提高】已知不论为何值，关于x的方程：的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)证明：， ∴， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； 该方程的衍生点M的坐标为； (3)， 【分析】（1）先利用因式分解法得出一元二次方程的根，然后根据题中新定义即可得出结果； （2）利用一元二次方程根的判别式即可证明；再由求根公式得出方程的解即可确定衍生点M的坐标； （3）将一次函数变形得出直线过定点，确定的两个实数根为，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∵ ∴， ∴根据题意得该方程的衍生点M的坐标为； （2）证明见答案； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； （3）解：∵， 当时，， ∴直线过定点， ∵的衍生点G始终在直线上， ∴的衍生点G为， ∴的两个实数根为， ∴，， ∴，． 【变式题12-2】.（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知是关于x的“黄金方程”，若是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 【答案】(1)该一元二次方程是“黄金方程”，理由如下： ∵方程中，，，， ∴，满足“黄金方程”的定义． (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据“黄金方程”的定义即可判断； （2）先根据“黄金方程”的定义可得，再根据是此方程的一个根得出，然后求解即可； （3）先根据“黄金方程”的定义可得，再根据m是此方程的一个根得出，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∵是此方程的一个根， ∴， 即，解得：， ∴此方程是． （3）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴，即， ∵m是此方程的一个根， ∴，即， ∴，解得：或． 【变式题12-3】.（26-27九年级上·辽宁阜新·阶段检测）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a，b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：；； 例题2：；． 同样我们也可以化简； 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：________，________； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则，计算； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据计算即可； （3）根据和配方法得到方程的解． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： ， 解得． 同步练习 一、单选题 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的二次项系数不能等于0求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ． 2．一元二次方程的根的情况为（     ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 3．2026年大同黄花产业高质量发展大会如期举办，会议期间，每家商户都给其他每家参会商户各赠送一份礼品，一共送出90份礼品，求参会商户数．设参会商户数为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据礼品赠送规则，推导总礼品数与商户数的等量关系. 【详解】解：设参会商户数为， ∵每家商户需向除自身外的家商户各赠送1份礼品， ∴总赠送礼品份数为， 由题意得. 二、填空题 4．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】1 【详解】解：把代入： ， 1． 5．已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，将根代入原方程得到对应代数式的值，通过整体代入法计算目标式，无需单独求解的具体值． 【详解】解：是一元二次方程的根， 将代入原方程， 可得：， 移项可得：， 将整体代入， 可得：． 6．若关于的一元二次方程（为常数，）有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式为列出关于的一元二次方程并结合解答即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， ∵， ∴． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）可运用公式法求解，先确定方程各项系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算结果； （2）首先移项使方程右侧为0，然后提取公因式进行因式分解，再求解方程即可． 【详解】（1）解： ，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， （2） 或 ， 8．2026年是中国工农红军长征胜利90周年．某文化墙要制作一块红色主题喷绘展板，正中央印制长征主题主画面，四周空白，要求主画面的长是厘米，宽是厘米，且主画面到展板四周的宽度相同，主画面的面积是这个展板面积的，求展板空白部分的宽度． 【答案】展板空白部分的宽度是5厘米 【分析】设展板空白部分的宽度是x厘米，根据题意列方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：设展板空白部分的宽度是厘米，由题意得， 解得，（不合题意，舍去）, 答：展板空白部分的宽度是5厘米． 9．新定义：关于x的一元二次方程与互为“沉潜方程”． (1)根据上述定义，以下三组方程互为“沉潜方程”的是______（写序号） ①与；②与；③与． (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“沉潜方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程的“沉潜方程”有两个不相等实数根，，且，求m的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3) 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）①两实数根相等情况下，根的判别式，利用求解后，将的值代入检验即可． ②将的值代入中，求解的根即可． （3）先求出“沉潜方程”为，根据沉潜方程”有两个不相等实数根，，得到，解得且，由于，得到，那么，再由一元二次方程根与系数的关系建立不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，互为“沉潜方程”的两个一元二次方程满足相同，相反，相同， 故①③符合题意； （2）解：关于的一元二次方程的两实数根， ， 由于 ； 则， ， 解得，． 时，，不符合题意，故舍去； 将代入原方程，得 ， 此时方程成立， 故的值为． ②解：将代入，得 ， 整理，得， 解得， ∴关于的一元二次方程的根 由题意，得：， 将代入，得 ， 整理，得， 解得， 用判别式验算，， 为的解， 则关于的一元二次方程的根 ． ∴； （3）解：将方程整理得，， ∴“沉潜方程”为 ∵沉潜方程”有两个不相等实数根，， ∴ 解得且 ∵ ∴ ∴ ∴ 对于方程可得， ∴ 整理得，， ∴ ∴ 解得 ∴ 而且 ∴m的取值范围是． 10．关于x的一元二次方程有两个实根． (1)若方程有两个根，，满足，求的值； (2)若方程有一个根不小于2，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根与系数的关系变形已知等式，代入求解m； （2）因式分解得方程两根，根据一根恒小于2列不等式求范围． 【详解】（1）解：∵方程有两个根，， ∴， ∴方程总有两个实数根； 根据题意有：，， 即：， 解得：； （2） ， ∴方程的根为，， ∵方程有一个根不小于2， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $