第26章 二次函数 单元复习（7大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

第26章 二次函数 知识点 1：二次函数的概念   1. 定义：形如（为常数，）的函数叫做二次函数；自变量的一般取值范围是全体实数，实际问题受现实条件约束。   2. 成立三条件：解析式为整式；化简后自变量最高次数为 2；二次项系数；可以取 0。   3. 各项识别：为二次项，是二次项系数；为一次项，是一次项系数；是常数项，识别时要连带符号。 知识点 2：二次函数的三种解析式形式   1. 一般式：，适合已知图象上三个普通点求解析式。   2. 顶点式：，顶点坐标，对称轴直线；适合已知顶点、对称轴、最值条件。   3. 交点式：，是抛物线与轴交点横坐标；仅抛物线与 x 轴有交点时才可使用。 形式 已知条件 备注 一般式 图象上任意三点 所有二次函数都可以化成一般式 顶点式 顶点 / 对称轴 / 最值 由一般式配方转化得到 交点式 抛物线与轴两个交点 才能写成交点式 知识点 3：二次函数图象与基本性质   1. 图象：二次函数图象是抛物线；决定开口大小，越大，开口越窄。   2. 符号：开口向上，有最低点；开口向下，有最高点。   3. 对称轴：直线；顶点坐标。   4. 增减性：    当，对称轴左侧随增大而减小；对称轴右侧随增大而增大；   当，对称轴左侧随增大而增大；对称轴右侧随增大而减小。   5. 最值：   ，当时，；   ，当时，。 知识点 4：系数与图象的对应关系   1. ：决定开口方向、开口宽窄。   2. 共同决定对称轴位置：“左同右异”；对称轴在轴左侧，同号；对称轴在轴右侧，异号；对称轴是轴。   3. ：抛物线与轴交点纵坐标；交点在轴正半轴；交点在轴负半轴；过原点。   4. ，决定抛物线与轴交点个数：   ，抛物线与轴 2 个交点；   ，抛物线与轴 1 个交点（顶点在轴上）；   ，抛物线与轴无交点。 知识点 5：抛物线的几何变换   1. 平移：口诀左加右减，上加下减；操作对象是顶点式；平移只改变，保持不变。   2. 对称变换（会发生符号改变）   关于轴对称：顶点关于轴对称，变为相反数；   关于轴对称：顶点关于轴对称，不变；   绕顶点旋转：顶点不变，变为相反数。 知识点 6：二次函数与一元二次方程、不等式   1. 联系：当时，二次函数转化为一元二次方程；方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标。   2. 利用图象解不等式：   ：取抛物线在 x 轴上方部分对应的取值；   ：取抛物线在 x 轴下方部分对应的取值。   3. 近似求根：观察函数值正负交替的自变量区间，估算方程近似解。 知识点 7：二次函数的实际应用   1. 解题步骤：审、设、列、解、验、答；求出结果必须检验自变量取值范围以及实际意义，舍去不符合题意的解。   2. 常见模型：   ①销售利润：总利润单件利润销售量；   ②运动轨迹、拱桥喷泉：建立平面直角坐标系，利用抛物线模型；   ③面积最值：几何图形面积表达式转化成二次函数，结合自变量范围求最值。   3. 区间最值提醒：实际问题自变量有范围，最值不一定在顶点处取得，需要对比端点函数值。 【基础必考题型】 【题型 1】二次函数概念辨析 1. 核心知识点:   二次函数定义；成立三条件；一般形式；识别二次项、一次项、常数项；根据定义求参数。 2. 解题方法技巧:   ①判断二次函数，先化为整式，检查化简后最高次数为 2，二次项系数；   ②参数题目，是隐藏条件，不可遗漏；   ③各项系数识别，必须带上前面正负符号。 【例题1】.下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【变式题1-3】.已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【题型 2】待定系数法求二次函数解析式 1. 核心知识点:   一般式、顶点式、交点式的选用；解方程组求系数。 2. 解题方法技巧:   ①已知普通三点选一般式；已知顶点、最值选顶点式；已知与轴交点选交点式；   ②交点式使用前提：抛物线和轴存在交点；   ③求出解析式后，代入点回代检验正确性。 【例题2】.已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【变式题2-1】.已知二次函数 的图像经过点 ．求这个二次函数的解析式 【变式题2-2】.已知抛物线 的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【变式题2-3】.已知二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【题型 3】二次函数图象基础性质应用 1. 核心知识点:   开口方向、对称轴、顶点坐标；增减性；简单最值计算。 2. 解题方法技巧:   ①看到解析式优先算出对称轴；比较函数值可利用对称轴转化到同侧；   ②离对称轴越远函数值越大；离对称轴越远函数值越小；   ③注意区分全体实数范围和给定自变量区间求最值。 【例题3】.二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式题3-1】.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【变式题3-2】.已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【变式题3-3】.已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【题型 4】抛物线的平移变换 1. 核心知识点:   顶点式；平移规则 “左加右减，上加下减”；平移后不变。 2. 解题方法技巧:   ①平移问题优先把解析式化为顶点式，只对操作；   ②左右平移改变，上下平移改变；   ③逆向平移可以反向使用口诀。 【例题4】.把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.已知二次函数（m是常数）．把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上？ 【变式题4-3】.已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【题型 5】二次函数与方程基础综合 1. 核心知识点:   二次函数与一元二次方程的关系；判别式；求抛物线与坐标轴交点。 2. 解题方法技巧:   ①求与轴交点令；求与轴交点令，解一元二次方程；   ②符号直接判断与轴交点个数；   ③交点横坐标就是对应一元二次方程实数根。 【例题5】.已知二次函数，若该抛物线与轴有两个交点，求的取值范围． 【变式题5-1】.若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【变式题5-2】.已知二次函数． (1)求该抛物线与 轴的交点坐标； (2)求该抛物线与 轴的交点坐标； (3)在直角坐标系中画出该函数的大致图像． 【变式题5-3】.已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【题型 6】根据图象判断简单不等式解集 1. 核心知识点:   二次函数图象；二次函数与一元二次不等式；图象读图能力。 2. 解题方法技巧:   ①找到抛物线与轴交点，分清图象在轴上方、下方对应的自变量；   ②注意不等号是否包含等号，对应交点是否取等；   ③草图可以辅助快速判断，不需要精确绘图。 【例题6】.已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【变式题6-1】.已知二次函数． (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【变式题6-2】.已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 【变式题6-3】.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【培优高频题型】 【题型 7】二次函数图象与系数综合判断 1. 核心知识点:   符号；对称轴公式；特殊点代入（）；代数式符号判断。 2. 解题方法技巧:   ①利用 “左同右异” 快速判断符号；   ②遇到、等形式，代入对应函数值；   ③多项结论题，逐个推导，错误选项举反例排除。 【例题7】.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题7-1】.已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【变式题7-2】.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题7-3】.如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【题型 8】抛物线上点的函数值大小比较 1. 核心知识点:   二次函数增减性；对称轴；点到对称轴距离与函数值的关系。 2. 解题方法技巧:   ①计算各点到对称轴的距离；   ②：距离对称轴越远，函数值越大；：距离对称轴越远，函数值越小；   ③也可以把点转化到对称轴同一侧，利用增减性比较。 【例题8】.已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【变式题8-1】.已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【变式题8-2】.已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【变式题8-3】.已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【题型 9】给定自变量区间求二次函数最值 1. 核心知识点:   顶点最值；闭区间上函数最值；对称轴与区间的位置关系（对称轴在区间左侧、内部、右侧）。 2. 解题方法技巧:   ①第一步判断对称轴是否落在题目给定自变量范围之内；   ②对称轴在区间内部：顶点是一个候选，再比较区间两个端点；   ③对称轴不在区间内：最值直接出现在区间两个端点；   ④不要直接默认顶点就是答案，忽略自变量限制。 【例题9】.已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【变式题9-1】.当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【变式题9-2】.投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【变式题9-3】.一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 【题型 10】二次函数实际情境建模应用 1. 核心知识点:   销售利润模型；拱桥、运动轨迹模型；自变量实际取值范围；检验解的现实意义。 2. 解题方法技巧:   ①读懂情境，找准等量关系，正确列出函数表达式；   ②求最值一定要看清自变量取值，顶点不在范围内则取端点；   ③求出的解不符合现实条件直接舍去。 【例题10】.为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【变式题10-1】.大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【变式题10-2】.某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【变式题10-3】.下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 ①．去学校档案馆查阅校园平面图； ②．了解围成花圃的栅栏长度； ③．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【压轴素养题型】 【题型 11】二次函数与几何线段、面积综合 1. 核心知识点:   抛物线上动点；铅锤法求三角形面积；线段长度最值；坐标与线段互相转化。 2. 解题方法技巧:   ①设出动点横坐标，用解析式表示纵坐标；   ②铅锤法：面积水平宽铅垂高；   ③面积表达式整理成二次函数，在自变量范围求最值。 【例题11】.如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【变式题11-1】.已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题11-2】.如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式题11-3】.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【题型 12】二次函数中的存在性探究问题 1. 核心知识点:   特殊三角形、平行四边形、矩形存在性；抛物线上动点；分类讨论。 2. 解题方法技巧:   ①平行四边形存在性，利用中点坐标分类；   ②直角三角形存在性，分哪个角为直角多情况讨论；   ③求出解之后，检验动点自变量是否在允许范围内，舍去不合理解。 【例题12】.如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题12-1】.如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【变式题12-2】.如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题12-3】.抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 易错点 1. 求二次函数最值，忽略题目给定的自变量取值范围，直接套用顶点坐标，端点处的最值被漏掉。 2. 平移变换时，对顶点式使用口诀出错；对一般式直接给做加减，没有先化为顶点式。 3. 判断图象系数结论，特殊点代入（）符号看错；混淆 “左同右异” 符号规律。 4. 使用交点式，忽略前提条件，任意题目直接套用。 5. 实际应用问题，解方程得到结果，不检验自变量取值、现实意义，保留无实际意义解。 6. 题目只写 “函数”，不是明确写 “二次函数”，忘记讨论时退化为一次函数的情况。 7. 对称、旋转抛物线变换，只改变顶点坐标，忘记更改二次项系数的正负。 重点 1. 二次函数概念，三种解析式形式的互相转化，会根据条件选择合适形式，待定系数法求解析式。 2. 抛物线开口、对称轴、顶点、增减性、最值基础性质；与图象的对应解读。 3. 抛物线平移、对称几何变换，掌握顶点式处理变换的方法。 4. 二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的数形结合关系，会利用图象求解。 5. 二次函数实际应用，会建立函数模型，结合自变量范围求实际最值。 难点 1. 闭区间上二次函数求最值，分类讨论对称轴相对于区间的位置。 2. 图象与系数多结论综合题，特殊点代入、数形结合推理代数式符号。 3. 含参数二次函数，定点、公共点、参数取值范围，多条件联立不等式。 4. 二次函数几何综合：动点线段、铅锤法求面积，平行四边形、直角三角形存在性，多情况分类讨论。 5. 新定义探究题型，把陌生定义转化课本二次函数知识，完成迁移推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 二、填空题 4．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 5．已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 三、解答题 7．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 8．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 9．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 10．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 二次函数 知识点 1：二次函数的概念   1. 定义：形如（为常数，）的函数叫做二次函数；自变量的一般取值范围是全体实数，实际问题受现实条件约束。   2. 成立三条件：解析式为整式；化简后自变量最高次数为 2；二次项系数；可以取 0。   3. 各项识别：为二次项，是二次项系数；为一次项，是一次项系数；是常数项，识别时要连带符号。 知识点 2：二次函数的三种解析式形式   1. 一般式：，适合已知图象上三个普通点求解析式。   2. 顶点式：，顶点坐标，对称轴直线；适合已知顶点、对称轴、最值条件。   3. 交点式：，是抛物线与轴交点横坐标；仅抛物线与 x 轴有交点时才可使用。 形式 已知条件 备注 一般式 图象上任意三点 所有二次函数都可以化成一般式 顶点式 顶点 / 对称轴 / 最值 由一般式配方转化得到 交点式 抛物线与轴两个交点 才能写成交点式 知识点 3：二次函数图象与基本性质   1. 图象：二次函数图象是抛物线；决定开口大小，越大，开口越窄。   2. 符号：开口向上，有最低点；开口向下，有最高点。   3. 对称轴：直线；顶点坐标。   4. 增减性：    当，对称轴左侧随增大而减小；对称轴右侧随增大而增大；   当，对称轴左侧随增大而增大；对称轴右侧随增大而减小。   5. 最值：   ，当时，；   ，当时，。 知识点 4：系数与图象的对应关系   1. ：决定开口方向、开口宽窄。   2. 共同决定对称轴位置：“左同右异”；对称轴在轴左侧，同号；对称轴在轴右侧，异号；对称轴是轴。   3. ：抛物线与轴交点纵坐标；交点在轴正半轴；交点在轴负半轴；过原点。   4. ，决定抛物线与轴交点个数：   ，抛物线与轴 2 个交点；   ，抛物线与轴 1 个交点（顶点在轴上）；   ，抛物线与轴无交点。 知识点 5：抛物线的几何变换   1. 平移：口诀左加右减，上加下减；操作对象是顶点式；平移只改变，保持不变。   2. 对称变换（会发生符号改变）   关于轴对称：顶点关于轴对称，变为相反数；   关于轴对称：顶点关于轴对称，不变；   绕顶点旋转：顶点不变，变为相反数。 知识点 6：二次函数与一元二次方程、不等式   1. 联系：当时，二次函数转化为一元二次方程；方程的根就是抛物线与轴交点的横坐标。   2. 利用图象解不等式：   ：取抛物线在 x 轴上方部分对应的取值；   ：取抛物线在 x 轴下方部分对应的取值。   3. 近似求根：观察函数值正负交替的自变量区间，估算方程近似解。 知识点 7：二次函数的实际应用   1. 解题步骤：审、设、列、解、验、答；求出结果必须检验自变量取值范围以及实际意义，舍去不符合题意的解。   2. 常见模型：   ①销售利润：总利润单件利润销售量；   ②运动轨迹、拱桥喷泉：建立平面直角坐标系，利用抛物线模型；   ③面积最值：几何图形面积表达式转化成二次函数，结合自变量范围求最值。   3. 区间最值提醒：实际问题自变量有范围，最值不一定在顶点处取得，需要对比端点函数值。 【基础必考题型】 【题型 1】二次函数概念辨析 1. 核心知识点:   二次函数定义；成立三条件；一般形式；识别二次项、一次项、常数项；根据定义求参数。 2. 解题方法技巧:   ①判断二次函数，先化为整式，检查化简后最高次数为 2，二次项系数；   ②参数题目，是隐藏条件，不可遗漏；   ③各项系数识别，必须带上前面正负符号。 【例题1】.下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 【变式题1-1】.下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数； B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数； C、函数是二次函数，本选项符合题意； D、函数不是二次函数． 【变式题1-2】.若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________． 【答案】 【分析】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵ 是关于 的二次函数， ∴， ∴． 【变式题1-3】.已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 【题型 2】待定系数法求二次函数解析式 1. 核心知识点:   一般式、顶点式、交点式的选用；解方程组求系数。 2. 解题方法技巧:   ①已知普通三点选一般式；已知顶点、最值选顶点式；已知与轴交点选交点式；   ②交点式使用前提：抛物线和轴存在交点；   ③求出解析式后，代入点回代检验正确性。 【例题2】.已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点不在此抛物线上 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当时的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴此抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在此抛物线上． 【变式题2-1】.已知二次函数 的图像经过点 ．求这个二次函数的解析式 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【变式题2-2】.已知抛物线 的顶点坐标为，且经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法，将两个坐标代入抛物线求解即可． 【详解】解：将、代入抛物线 ， 得， 解得， ∴这个二次函数的解析式． 【变式题2-3】.已知二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【题型 3】二次函数图象基础性质应用 1. 核心知识点:   开口方向、对称轴、顶点坐标；增减性；简单最值计算。 2. 解题方法技巧:   ①看到解析式优先算出对称轴；比较函数值可利用对称轴转化到同侧；   ②离对称轴越远函数值越大；离对称轴越远函数值越小；   ③注意区分全体实数范围和给定自变量区间求最值。 【例题3】.二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解： . ∴ 该二次函数的对称轴是直线. 【变式题3-1】.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，对称轴为直线．图象上有点，，，则，，的大小关系是______．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据图象判断抛物线开口向上，结合对称轴，利用二次函数图象上点到对称轴的距离越远函数值越大这一性质进行比较即可． 【详解】解：如图，抛物线的开口向上， ， ． 【变式题3-2】.已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）把函数解析式化为，可得当，即时，，即可； （3）求出原函数的顶点的纵坐标，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 【变式题3-3】.已知抛物线的对称轴为． (1)求a的值； (2)若点都在此抛物线上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大， ， ， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 【分析】（1）根据抛物线的性质求解； （2）首先判断出抛物线开口向上，得到抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越大，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ∴； （2）略 【题型 4】抛物线的平移变换 1. 核心知识点:   顶点式；平移规则 “左加右减，上加下减”；平移后不变。 2. 解题方法技巧:   ①平移问题优先把解析式化为顶点式，只对操作；   ②左右平移改变，上下平移改变；   ③逆向平移可以反向使用口诀。 【例题4】.把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 【变式题4-1】.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 【变式题4-2】.已知二次函数（m是常数）．把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上？ 【答案】向下平移3个单位长度 【分析】先将给定二次函数的解析式通过配方法转化为顶点式，确定原函数的顶点坐标，通过顶点的纵坐标即可得到需要向下平移的单位长度． 【详解】解：， ∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，顶点在x轴上． 【变式题4-3】.已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 【题型 5】二次函数与方程基础综合 1. 核心知识点:   二次函数与一元二次方程的关系；判别式；求抛物线与坐标轴交点。 2. 解题方法技巧:   ①求与轴交点令；求与轴交点令，解一元二次方程；   ②符号直接判断与轴交点个数；   ③交点横坐标就是对应一元二次方程实数根。 【例题5】.已知二次函数，若该抛物线与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据二次函数与轴有两个交点得到，由二次项系数不为得，即可求解． 【详解】解：∵该抛物线与轴有两个交点， ∴，， ． 【变式题5-1】.若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 【变式题5-2】.已知二次函数． (1)求该抛物线与 轴的交点坐标； (2)求该抛物线与 轴的交点坐标； (3)在直角坐标系中画出该函数的大致图像． 【答案】(1) 该抛物线与轴的交点坐标为， (2) 该抛物线与轴的交点坐标为 (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，计算求解即可； （2）将代入函数解析式，计算求解即可； （3）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：令，解得或，则与轴的交点坐标为和． （2）解：令，得，则与轴的交点坐标为． （3）解：根据题意得，二次函数， 由（1）（2）知，该函数图象经过点、和，其对称轴为， 令，则，则顶点坐标为，描点画图即可． 【变式题5-3】.已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 【题型 6】根据图象判断简单不等式解集 1. 核心知识点:   二次函数图象；二次函数与一元二次不等式；图象读图能力。 2. 解题方法技巧:   ①找到抛物线与轴交点，分清图象在轴上方、下方对应的自变量；   ②注意不等号是否包含等号，对应交点是否取等；   ③草图可以辅助快速判断，不需要精确绘图。 【例题6】.已知抛物线的顶点坐标为，且图象经过点，交轴于、两点， (1)求此二次函数的解析式； (2)求、点坐标， (3)根据图象，当函数值时，写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求抛物线与坐标轴的交点，根据函数图象求不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）设抛物线解析式为，代入，求得的值，即可求解； （2）令，解方程即可求得、点坐标； （3）根据函数图象以及、点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，且图象经过点， ∴设抛物线解析式为 代入，得 解得： ∴ （2）解：当时， 解得： ∴， （3）解：∵， 根据函数图象可得，当函数值时，自变量的取值范围为． 【变式题6-1】.已知二次函数． (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先对二次函数配方，再求出顶点、坐标轴交点，最后描点画出抛物线； （2）利用二次函数图像，观察图像在轴上方对应的自变量范围，再在指定自变量区间找到顶点处最大值，看区间端点的函数值，判断能否取到，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象略 （2）由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，． 【变式题6-2】.已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】根据抛物线图象与x轴交于，利用图象法直接可得出当与时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图象与x轴交于 ，，又抛物线开口向上， ∴由图象可得，当时，x的取值范围是， 当时，x的取值范围是或． 【变式题6-3】.活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． 【培优高频题型】 【题型 7】二次函数图象与系数综合判断 1. 核心知识点:   符号；对称轴公式；特殊点代入（）；代数式符号判断。 2. 解题方法技巧:   ①利用 “左同右异” 快速判断符号；   ②遇到、等形式，代入对应函数值；   ③多项结论题，逐个推导，错误选项举反例排除。 【例题7】.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论． 【详解】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 【变式题7-1】.已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 【变式题7-2】.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 【变式题7-3】.如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 【题型 8】抛物线上点的函数值大小比较 1. 核心知识点:   二次函数增减性；对称轴；点到对称轴距离与函数值的关系。 2. 解题方法技巧:   ①计算各点到对称轴的距离；   ②：距离对称轴越远，函数值越大；：距离对称轴越远，函数值越小；   ③也可以把点转化到对称轴同一侧，利用增减性比较。 【例题8】.已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)当时，；当时，；当时，，理由： 是抛物线上的两点， ∴ 故当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，对称轴代入，由方程具有两个相等的实数根得到，从而得出关于参数的方程组，解方程组求出参数的值，即得到表达式； （2）根据题目条件代入计算，故可由的正负判断结论． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得： ①， 由函数的对称轴为，即  ②， 关于x的方程有两个相等的实数根，则  ③， 联立①②③，得 解得， 故抛物线的表达式为． （2）略． 【变式题8-1】.已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 【变式题8-2】.已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 【变式题8-3】.已知二次函数（k为常数且） (1)若函数图象的对称轴是直线． ①求该二次函数的表达式． ②二次函数的图象上有，两点，其中，且满足，试比较s，t的大小． (2)若抛物线的顶点在一次函数图象上，且当时，都有，求k的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)k的取值范围为 【分析】（1）①由题意易得，然后问题可求解；②由题意易得，则有，即，然后可得，，进而作差进行求解即可； （2）由题意易得抛物线的顶点坐标为，代入一次函数可得，则有，然后可得，令，则有，进而根据题意可分当时，当时，当时，最后分类求解即可． 【详解】（1）解：①由对称轴是直线可知：， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②∵， ∴， ∵， ∴，即， 由①可知：二次函数的表达式为，且，两点在该函数图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由可知：顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在一次函数图象上， ∴，解得：， ∴， ∴， 令，则有， ∴此函数的对称轴为直线， ∵当时，都有，即当时，都有， ∴当时，都有， 则可分：①当时，则需满足时，，即即可， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； ②当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴； ③当时，则需满足， 解得：， ∵， ∴不等式无解，故不符合题意； 综上所述：k的取值范围为． 【题型 9】给定自变量区间求二次函数最值 1. 核心知识点:   顶点最值；闭区间上函数最值；对称轴与区间的位置关系（对称轴在区间左侧、内部、右侧）。 2. 解题方法技巧:   ①第一步判断对称轴是否落在题目给定自变量范围之内；   ②对称轴在区间内部：顶点是一个候选，再比较区间两个端点；   ③对称轴不在区间内：最值直接出现在区间两个端点；   ④不要直接默认顶点就是答案，忽略自变量限制。 【例题9】.已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求抛物线的最大值和最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)当时，抛物线的最大值为，最小值为 【分析】（1）抛物线的平移法则：左加右减，上加下减； （2）由二次函数的性质可得在上，随着的增大而减小，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，为， 当时，取得最小值，为； 故当时，抛物线的最大值为，最小值为． 【变式题9-1】.当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 【变式题9-2】.投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出的值． （2）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得：， 解得． （2）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况：①当对称轴时，即， 当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， ②当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） ③当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得（舍）或（舍）． 综上：或． 【变式题9-3】.一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)证明：令，得， 整理得， ， 该方程是关于的一元二次方程， 其判别式， ， 该一元二次方程总有实数根，即与一定有交点； (3)线段的最大值为 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）令，得，整理得，由于，得到该方程是关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可求解； （3）由题意可得，，则，结合得到，令，根据二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入得 ， 解得； （2）略 （3）解：点与点分别在，上， ，， ， ， ， ， 令， 该函数开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为， ， ，，且， 当时，取最大值，最大值为， 线段的最大值为． 【题型 10】二次函数实际情境建模应用 1. 核心知识点:   销售利润模型；拱桥、运动轨迹模型；自变量实际取值范围；检验解的现实意义。 2. 解题方法技巧:   ①读懂情境，找准等量关系，正确列出函数表达式；   ②求最值一定要看清自变量取值，顶点不在范围内则取端点；   ③求出的解不符合现实条件直接舍去。 【例题10】.为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 【变式题10-1】.大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 【变式题10-2】.某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 【变式题10-3】.下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 ①．去学校档案馆查阅校园平面图； ②．了解围成花圃的栅栏长度； ③．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 【答案】(1) (2)栅栏与墙平行的边的长度为21米 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． （2）解：令， ，解得，， ∵墙的长度是， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 【压轴素养题型】 【题型 11】二次函数与几何线段、面积综合 1. 核心知识点:   抛物线上动点；铅锤法求三角形面积；线段长度最值；坐标与线段互相转化。 2. 解题方法技巧:   ①设出动点横坐标，用解析式表示纵坐标；   ②铅锤法：面积水平宽铅垂高；   ③面积表达式整理成二次函数，在自变量范围求最值。 【例题11】.如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3) 【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入，列方程组求解即可． （2）根据点P的位置（即t的取值范围）进行分类讨论，分别计算结果． （3）设点N的横坐标为n，用含m，n的式子分别表示出的长，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 【变式题11-1】.已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，， ，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 【变式题11-2】.如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式题11-3】.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，且经过点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)P是线段上方抛物线上的一动点，过点P作，垂足为D，E，F是线段上动点（E在F上方），且，连接，．当的长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点C的对应点为G，M是平移后抛物线上一点，射线交直线于点N，且．请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)符合条件的点M的横坐标为或； 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位， ∵ ， ∴， ∵点的对应点为G， ∴， 又，， ∴，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ 情形一：如图，当时， 由，可得直线的解析式为， 由，可得直线的解析式为． 设直线的解析式为， 代入得，，解得：， ∴直线的解析式为． 联立 ∴ 解得：或（舍去） 情形二：由情形一可得， 解得：，则 作关于的对称点， ∵，则点在直线上， ∴设， ∵ ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，符合条件的点M的横坐标为或 【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴于点，得出，设，当的长度取得最大值时，取得最大值，进而求得关于的解析式，根据二次函数的性质求得最值；作，则，， ，得出，作点关于的对称点，连接，则，，进而根据轴对称的性质求得最小值； （3）根据已知得出，进而得出求得其中一个解，再根据对称性即可求得另一个解，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得：， ∴． 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴交于点，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当的长度取得最大值时，取得最大值． 设， ∴， ∴， ∵, ∴当时，取得最大值为，则的最大值为， 此时，， ∴． 如图，作，则，， ， ∴， 过点分别作轴的平行线交于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 ∴， ∵， ∴，即最小值为． 作点关于的对称点，连接，，则，， 当与的交点即为点时取得最小值，最小值为的长， ∵的最大值为，且，又点关于的对称点， ∴， ∵， ∴ 在中， 即的最小值为； （3）略 【题型 12】二次函数中的存在性探究问题 1. 核心知识点:   特殊三角形、平行四边形、矩形存在性；抛物线上动点；分类讨论。 2. 解题方法技巧:   ①平行四边形存在性，利用中点坐标分类；   ②直角三角形存在性，分哪个角为直角多情况讨论；   ③求出解之后，检验动点自变量是否在允许范围内，舍去不合理解。 【例题12】.如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 【变式题12-1】.如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  【变式题12-2】.如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式题12-3】.抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 易错点 1. 求二次函数最值，忽略题目给定的自变量取值范围，直接套用顶点坐标，端点处的最值被漏掉。 2. 平移变换时，对顶点式使用口诀出错；对一般式直接给做加减，没有先化为顶点式。 3. 判断图象系数结论，特殊点代入（）符号看错；混淆 “左同右异” 符号规律。 4. 使用交点式，忽略前提条件，任意题目直接套用。 5. 实际应用问题，解方程得到结果，不检验自变量取值、现实意义，保留无实际意义解。 6. 题目只写 “函数”，不是明确写 “二次函数”，忘记讨论时退化为一次函数的情况。 7. 对称、旋转抛物线变换，只改变顶点坐标，忘记更改二次项系数的正负。 重点 1. 二次函数概念，三种解析式形式的互相转化，会根据条件选择合适形式，待定系数法求解析式。 2. 抛物线开口、对称轴、顶点、增减性、最值基础性质；与图象的对应解读。 3. 抛物线平移、对称几何变换，掌握顶点式处理变换的方法。 4. 二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的数形结合关系，会利用图象求解。 5. 二次函数实际应用，会建立函数模型，结合自变量范围求实际最值。 难点 1. 闭区间上二次函数求最值，分类讨论对称轴相对于区间的位置。 2. 图象与系数多结论综合题，特殊点代入、数形结合推理代数式符号。 3. 含参数二次函数，定点、公共点、参数取值范围，多条件联立不等式。 4. 二次函数几何综合：动点线段、铅锤法求面积，平行四边形、直角三角形存在性，多情况分类讨论。 5. 新定义探究题型，把陌生定义转化课本二次函数知识，完成迁移推理。 【对应练习题】 一、单选题 1．已知二次函数的图象如图，其中，的值可能是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】观察抛物线开口方向、对称轴位置及与轴交点位置. 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 综上，，. 2．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项. 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴A、B选项错误； 令，则，解得， ∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确. 二、填空题 4．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】点和点纵坐标相等，可知两点关于抛物线对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 5．已知点都在抛物线 上，则 的大小关系为___________． 【答案】 【分析】分别将、、代入函数表达式计算，再比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故 6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 【答案】 【分析】利用对称轴公式得到与的关系判断①，根据二次函数与x轴交点位置判断处的函数值符号判断②，根据开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小判断③，将方程的根转化为抛物线与直线的交点位置判断④． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式可得， ， 整理得，故①正确； 抛物线过点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点横坐标为， 即另一个交点为，且抛物线开口向下， 当时，， ，移项得，故②错误； 计算三个点到对称轴的距离： 点的距离， 点的距离， 点的距离， 可得， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ，故③正确； 方程的根是抛物线与直线交点的横坐标， 抛物线过和，开口向下，， 两个交点分别在和的范围内， ，，故④正确； 综上，正确结论为． 三、解答题 7．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 【答案】(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 8．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为，面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)矩形场地的总面积为，求出的值． (3)当为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)的值为12 (3)当时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 【分析】（1）先表示出矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式化简即可； （2）把代入表达式，得到一元二次方程，解方程，注意舍去不合题意的解； （3）把表达式先配方，写成顶点式，根据二次函数的性质，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，垂直于墙的篱笆共有4段，总长为，所以矩形的宽为， 则S关于x的函数表达式为：； （2）当时，， 解这个方程得：， ， 不合题意，舍去， 的值为12； （3）由（1）得， 配方得：， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，S有最大值，最大值为64． 9．某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 10．如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $