专题26.1 二次函数的概念（2大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版九年级数学上学期

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理定义与一般形式、判定三条件（整式、最高次2、二次项系数非0）、特殊形式及自变量取值范围，搭建从概念理解到实际情境建模（几何面积、增长率等）的学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题型强化概念识别与系数判断，培优题型结合几何、利润等实际情境，培养抽象能力与模型意识。易错点与重难点总结助力学生规避错误，课中辅助教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

专题26.1 二次函数的概念 知识点 1：二次函数的定义与一般形式 1、定义：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 2、判定二次函数的三个必备条件： （1）函数的表达式必须是整式； （2）化简之后，自变量的最高次数等于 2； （3）二次项的系数不等于 0。 3、二次函数的几种特殊形式 特殊形式 解析式 条件说明 最简形式 ， 缺一次项 ，， 缺常数项 ，， 4、自变量取值范围：纯代数表达式，自变量取值为全体实数；实际问题中，自变量取值必须符合实际意义。 知识点 2：实际情境中构建二次函数模型 1、建模基本步骤：审题找已知量、变量；找出题目中等量关系；设出自变量、因变量；列出关系式，整理成的形式；标注自变量实际取值范围。 2、常见实际模型类别：几何面积模型、增长率 / 下降率模型、销售利润模型、循环比赛传播模型。 3、注意：列完解析式之后，一定要结合现实约束条件限定自变量取值，不能直接照搬全体实数。 【基础必考题型】 【题型 1】二次函数的识别与判断 1、核心知识点   二次函数定义的三要素（整式、自变量最高次数为 2、二次项系数不为 0）；区分二次函数、一次函数、分式函数。 2、解题方法技巧   ①拿到解析式优先做化简，展开合并同类项之后再进行判断，不要直接看原式表面；   ②含有未说明时，不能直接判定是二次函数；   ③分式、根号内含有自变量，一定不是二次函数。 【例题1】.下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【题型 2】二次函数一般形式转化，识别各项系数 1、核心知识点   多项式展开运算；二次函数一般形式；二次项系数、一次项系数、常数项概念。 2、解题方法技巧   ①遇到乘积形式、完全平方形式，先去括号、合并同类项化为；   ②系数包含符号，负号需要一并带上；常数项可以为 0，一次项系数也可以为 0；   ③看清提问，区分 “二次项” 和 “二次项系数”，不要混淆。 【例题2】.已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题2-2】.关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 【变式题2-3】.二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（   ） A． B． C． D． 【题型 3】依据二次函数定义求参数的值或取值范围 1、 核心知识点   二次函数概念：最高次数为 2，二次项系数不等于 0；解方程与不等式。 2、解题方法技巧   ①两个条件同时满足：自变量指数等于 2；二次项系数整体不等于 0；   ②求出参数后代回原式检验，排除使二次项系数等于 0 的解；   ③看清题干，区分 “是二次函数” 和 “函数”，未指明二次函数要分类讨论。 【例题3】.若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【变式题3-1】.若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【变式题3-2】.当______时，函数是二次函数． 【变式题3-3】.已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【培优高频题型】 【题型 4】代入求值：已知自变量求函数值、已知函数值求自变量 1、核心知识点   函数的概念；代数式代入计算；解简单一元二次方程。 2、解题方法技巧   ①已知求，直接将自变量代入解析式运算；   ②已知求，把函数值代入得到一元二次方程求解；   ③实际情境题目，求出之后，检验解是否在自变量取值范围内，舍去不符合实际的解。 【例题4】.已知二次函数，当时，求函数的值． 【变式题4-1】.已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【变式题4-2】.函数的图象过点，则__________． 【变式题4-3】.已知是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当时，的值为多少？ 【题型 5】几何情境构建二次函数关系式（面积模型） 1、 核心知识点   几何图形周长、面积公式；二次函数一般形式；自变量几何约束取值范围。 2、解题方法技巧   ①结合图形，用自变量表达图形的长、宽、半径等关键边长；   ②利用面积公式列出等式，整理化简为一般形式；   ③根据边长大于 0，写出自变量取值范围。 【例题5】.已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【变式题5-1】.用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【变式题5-3】.一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【题型 6】实际应用之增长率、下降率模型 1、 核心知识点   增长率公式：基数；列二次函数；自变量现实约束。 2、解题方法技巧   ①分清 “单月产量” 和 “季度累计总产量”，不要混淆；   ②连续两次增长，才会出现自变量平方项，才属于二次函数；   ③增长率取值，结合题意写取值范围。 【例题6】.某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 【变式题6-3】.原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【题型 7】销售利润情境构建二次函数模型 1、 核心知识点   利润 = 单件利润 × 销售数量；代数式列式；化简二次函数解析式。 2、解题方法技巧   ①单件利润 = 售价−成本；涨价则销量减少，降价则销量增加；   ②分别用自变量表示单件利润、销售量，二者相乘得到函数；   ③自变量需要满足：单件利润大于 0，销售量大于 0。 【例题7】.兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【变式题7-2】.某果园有100棵橘子树，平均每棵橘子树结600个橘子．根据经验估计，每多种1棵橘子树，平均每棵橘子树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y，则果园里增种________棵橘子树时，橘子的总个数最多，最多为________． 【变式题7-3】.某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为___________ 【题型 8】循环传播、比赛场次模型（素养应用题） 1、核心知识点   单循环、双循环比赛等量关系；传播问题数量关系；列二次函数。 2、解题方法技巧   ①单循环：每两队只比赛 1 次，总场数；双循环每两队比赛 2 次，总场数；   ②病毒传播看清 “传染源是否继续传染”；   ③化简之后判断是否为二次函数，标注自变量为正整数。 【例题8】.个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【变式题8-1】.已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 【变式题8-2】.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【变式题8-3】.2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 易错点 1、忽略二次函数定义条件；看到直接判定二次函数，没有注意当时，退化为一次函数。 2、不化简直接判断函数类型；原式带括号、平方，没有展开合并同类项就判定是否是二次函数。 3、列实际问题函数解析式，忘记写自变量的取值范围；或者取值范围没有结合现实条件，直接写全体实数。 4、确定各项系数时，遗漏负号，把的一次项系数错误记为 3。 5、审题不仔细，题干只说 “函数”，自己默认是 “二次函数”，漏掉的分类讨论情况。 重点 1、理解二次函数的概念，掌握判定二次函数的三个条件，能够识别二次函数，会将解析式化为一般形式，准确读出二次项、一次项、常数项。 2、会依据二次函数定义求参数，时刻牢记二次项系数不能等于 0，做完代回检验。 3、能够从几何图形、增长率、利润等简单实际情境中，抽象变量关系，列出二次函数关系式。 难点 1、复杂实际问题，剥离文字情境，提取等量关系，建立二次函数模型。 2、综合问题中，准确求出自变量的实际取值范围，兼顾几何约束、现实约束双重条件。 3、分类讨论题型：题目没有指明函数类型，分二次项系数等于 0、不等于 0 两种情况分析函数类别。 4、跨学科、表格信息类题型，从陌生情境中识别自变量、因变量，判断变量之间是否是二次函数关系。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 3．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 二、填空题 4．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 5．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 6．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 三、解答题 7．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 8．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 9．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1 二次函数的概念 知识点 1：二次函数的定义与一般形式 1、定义：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 2、判定二次函数的三个必备条件： （1）函数的表达式必须是整式； （2）化简之后，自变量的最高次数等于 2； （3）二次项的系数不等于 0。 3、二次函数的几种特殊形式 特殊形式 解析式 条件说明 最简形式 ， 缺一次项 ，， 缺常数项 ，， 4、自变量取值范围：纯代数表达式，自变量取值为全体实数；实际问题中，自变量取值必须符合实际意义。 知识点 2：实际情境中构建二次函数模型 1、建模基本步骤：审题找已知量、变量；找出题目中等量关系；设出自变量、因变量；列出关系式，整理成的形式；标注自变量实际取值范围。 2、常见实际模型类别：几何面积模型、增长率 / 下降率模型、销售利润模型、循环比赛传播模型。 3、注意：列完解析式之后，一定要结合现实约束条件限定自变量取值，不能直接照搬全体实数。 【基础必考题型】 【题型 1】二次函数的识别与判断 1、核心知识点   二次函数定义的三要素（整式、自变量最高次数为 2、二次项系数不为 0）；区分二次函数、一次函数、分式函数。 2、解题方法技巧   ①拿到解析式优先做化简，展开合并同类项之后再进行判断，不要直接看原式表面；   ②含有未说明时，不能直接判定是二次函数；   ③分式、根号内含有自变量，一定不是二次函数。 【例题1】.下列各式中，y是x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次函数的定义判断是否符合条件，需要化简的要化简为最简形式再判断． 【详解】解：A、中的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为3，不是二次函数，不符合题意； C、符合二次函数要求，是二次函数，符合题意； D、化简得，为常数函数，不是二次函数，不符合题意． 【变式题1-1】.下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 【变式题1-2】.下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 【变式题1-3】.下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 【题型 2】二次函数一般形式转化，识别各项系数 1、核心知识点   多项式展开运算；二次函数一般形式；二次项系数、一次项系数、常数项概念。 2、解题方法技巧   ①遇到乘积形式、完全平方形式，先去括号、合并同类项化为；   ②系数包含符号，负号需要一并带上；常数项可以为 0，一次项系数也可以为 0；   ③看清提问，区分 “二次项” 和 “二次项系数”，不要混淆。 【例题2】.已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式题2-1】.二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，直接根据二次函数的标准形式识别常数项即可． 【详解】解：二次函数的常数项是1， 故选：A． 【变式题2-2】.关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，， B．，4，1 C．2，，1 D．，4， 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，1． 故选：B． 【变式题2-3】.二次函数的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把二次函数化成一般形式，再根据二次项系数与一次项系数的和为，差为列出方程组解出的值，即可求出常数项 【详解】二次函数可整理为： 由题意 解得： 所以常数项 故答案选A 【题型 3】依据二次函数定义求参数的值或取值范围 1、 核心知识点   二次函数概念：最高次数为 2，二次项系数不等于 0；解方程与不等式。 2、解题方法技巧   ①两个条件同时满足：自变量指数等于 2；二次项系数整体不等于 0；   ②求出参数后代回原式检验，排除使二次项系数等于 0 的解；   ③看清题干，区分 “是二次函数” 和 “函数”，未指明二次函数要分类讨论。 【例题3】.若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可． 【详解】解： 函数是关于的二次函数， ． 且． 【变式题3-1】.若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴ 解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-2】.当______时，函数是二次函数． 【答案】3 【分析】根据二次函数的定义，最高次项次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 【变式题3-3】.已知函数（m为常数）． (1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？ (2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？ (3)该函数可能是正比例函数吗？ 【答案】(1) (2) (3)该函数不可能是正比例函数 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可； （2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可； （3）根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故当时，该函数是二次函数． （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， 故当时，该函数是一次函数． （3）解：该函数的常数项是，不可能为0， ∴该函数不可能是正比例函数． 【培优高频题型】 【题型 4】代入求值：已知自变量求函数值、已知函数值求自变量 1、核心知识点   函数的概念；代数式代入计算；解简单一元二次方程。 2、解题方法技巧   ①已知求，直接将自变量代入解析式运算；   ②已知求，把函数值代入得到一元二次方程求解；   ③实际情境题目，求出之后，检验解是否在自变量取值范围内，舍去不符合实际的解。 【例题4】.已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 【变式题4-1】.已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征．将点代入二次函数解析式，得到关于的方程，解方程并根据条件确定的值． 【详解】解：点在二次函数（）的图象上， 代入得： 整理得， 由于， 解得：或 又， 故． 故答案为：． 【变式题4-2】.函数的图象过点，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握“若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数解析式”这一核心结论． 先明确点的横坐标为，纵坐标为；再将横坐标代入函数的解析式中；最后计算出对应的函数值，该函数值即为的值． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点的坐标． 满足函数解析式，即当时，． 将代入得： ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题4-3】.已知是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当时，的值为多少？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 【题型 5】几何情境构建二次函数关系式（面积模型） 1、 核心知识点   几何图形周长、面积公式；二次函数一般形式；自变量几何约束取值范围。 2、解题方法技巧   ①结合图形，用自变量表达图形的长、宽、半径等关键边长；   ②利用面积公式列出等式，整理化简为一般形式；   ③根据边长大于 0，写出自变量取值范围。 【例题5】.已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 【变式题5-1】.用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【变式题5-2】.用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 【变式题5-3】.一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数，正方形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据面积增加的定义，等于新正方形面积减去原正方形面积 【详解】解：原正方形边长为，面积为． 边长增加后，新边长为，新面积为． 因此，面积增加，即． ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【题型 6】实际应用之增长率、下降率模型 1、 核心知识点   增长率公式：基数；列二次函数；自变量现实约束。 2、解题方法技巧   ①分清 “单月产量” 和 “季度累计总产量”，不要混淆；   ②连续两次增长，才会出现自变量平方项，才属于二次函数；   ③增长率取值，结合题意写取值范围。 【例题6】.某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式题6-1】.某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 【变式题6-2】.中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为__________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 【变式题6-3】.原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【题型 7】销售利润情境构建二次函数模型 1、 核心知识点   利润 = 单件利润 × 销售数量；代数式列式；化简二次函数解析式。 2、解题方法技巧   ①单件利润 = 售价−成本；涨价则销量减少，降价则销量增加；   ②分别用自变量表示单件利润、销售量，二者相乘得到函数；   ③自变量需要满足：单件利润大于 0，销售量大于 0。 【例题7】.兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 【变式题7-1】.某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 【变式题7-2】.某果园有100棵橘子树，平均每棵橘子树结600个橘子．根据经验估计，每多种1棵橘子树，平均每棵橘子树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y，则果园里增种________棵橘子树时，橘子的总个数最多，最多为________． 【答案】 10 60500 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质． 根据题意，建立橘子总个数与增种棵树之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值． 【详解】解：由题意，增种棵橘子树后，果园共有棵橘子树，每棵橘子树结个橘子， 因此橘子总个数． ∵， ∴函数有最大值， ∵二次函数对称轴， ∴时，，为最大值． 故答案为：；． 【变式题7-3】.某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元．经市场调查表明，当售价为每瓶6元时，日均销售量为400瓶，若每瓶售价每增加4元．日均销售量减少．设每瓶售价为元，则日均毛利润为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数解析式，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，根据列出w关于x的函数关系式即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均毛利润为元，由题意得； ， 故答案为：． 【题型 8】循环传播、比赛场次模型（素养应用题） 1、核心知识点   单循环、双循环比赛等量关系；传播问题数量关系；列二次函数。 2、解题方法技巧   ①单循环：每两队只比赛 1 次，总场数；双循环每两队比赛 2 次，总场数；   ②病毒传播看清 “传染源是否继续传染”；   ③化简之后判断是否为二次函数，标注自变量为正整数。 【例题8】.个人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手次，写出与之间的关系式：____________，它______（填“是”或“不是”）二次函数． 【答案】 是 【分析】个人每人与其余人握手，每次握手被计算了2次，除以2得到总握手次数，再根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：∵个人参加聚会，每个人需要和除自身外的个人握手， ∴计算得到未去重的总握手次数为， ∵与握手和与握手是同一次握手，每次握手被计算了2次， ∴实际总握手次数， 整理得，符合二次函数的定义，因此它是二次函数． 【变式题8-1】.已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，所以， 故m关于n的函数解析式为： ． 【变式题8-2】.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 【变式题8-3】.2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 易错点 1、忽略二次函数定义条件；看到直接判定二次函数，没有注意当时，退化为一次函数。 2、不化简直接判断函数类型；原式带括号、平方，没有展开合并同类项就判定是否是二次函数。 3、列实际问题函数解析式，忘记写自变量的取值范围；或者取值范围没有结合现实条件，直接写全体实数。 4、确定各项系数时，遗漏负号，把的一次项系数错误记为 3。 5、审题不仔细，题干只说 “函数”，自己默认是 “二次函数”，漏掉的分类讨论情况。 重点 1、理解二次函数的概念，掌握判定二次函数的三个条件，能够识别二次函数，会将解析式化为一般形式，准确读出二次项、一次项、常数项。 2、会依据二次函数定义求参数，时刻牢记二次项系数不能等于 0，做完代回检验。 3、能够从几何图形、增长率、利润等简单实际情境中，抽象变量关系，列出二次函数关系式。 难点 1、复杂实际问题，剥离文字情境，提取等量关系，建立二次函数模型。 2、综合问题中，准确求出自变量的实际取值范围，兼顾几何约束、现实约束双重条件。 3、分类讨论题型：题目没有指明函数类型，分二次项系数等于 0、不等于 0 两种情况分析函数类别。 4、跨学科、表格信息类题型，从陌生情境中识别自变量、因变量，判断变量之间是否是二次函数关系。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，判断各选项是否符合形如（、、为常数，）的整式函数，且最高次项次数为2． 【详解】解：选项A：中含有（即项），不是整式，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，，）的形式，是二次函数，故C符合题意； 选项D：展开为，最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（   ） A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数 B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数 C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数 【答案】D 【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为， ∴与正方形的周长之和为， 与正方形的面积之积为， 阴影部分的面积为， ∴，，， ∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意， S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意， 若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意 S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意． 二、填空题 4．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 5．已知两个变量，之间的关系式为 （1）当__________时，，之间是二次函数关系． （2）当__________时，，之间是一次函数关系． 【答案】 ， 【分析】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值． 【详解】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为， 因此 ， 解得． （2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为， 因此 ， 解得且． 6．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 三、解答题 7．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 8．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 9．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】 解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $