2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制）（拔尖卷）

2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制）（拔尖卷） 2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制） 数　学 参考答案与解析 （考试时间：90分钟　试卷满分：100分） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷满分 100 分，考试时间 90 分钟，共三个部分。 2．选择题的答案填写在题后括号内；填空题、解答题直接写在试卷的相应位置上，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 3．需要画图（含补全图形）的题目，可先用铅笔画出，确认无误后再用签字笔描清。 4．测试范围：沪教版（五四制）七年级数学上册第 10~12 章（整式的加减、整式的乘除、因式分解）。 第一部分（选择题　共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在代数式 x+2y，2x2y，−，5，3x−1 中，单项式的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 【答案】B　　【难度】中等 【详解】单项式是数与字母的积（单独一个数或字母也是单项式）。2x²y 是单项式，5 是单项式；x+2y、3x−1 是多项式；− 的分母含字母，不是整式，更不是单项式。故共 2 个，选 B。 2．下列各式中，运算正确的是（　　） A．a2+a3=a5　　B．a3·a2=a6　　C．(2a2)3=8a6　　D．a8÷a4=a2 【答案】C　　【难度】基础 【详解】A 中 a²与 a³ 不是同类项，不能合并；B 中 a³·a²=a⁵；C 中 (2a²)³=2³·(a²)³=8a⁶，正确；D 中 a⁸÷a⁴=a⁴。 3．计算 (−5×104)3 的结果是（　　） A．−25×1012　　B．−1.5×1013　　C．−1.25×1014　　D．−15×1012 【答案】C　　【难度】中等 【详解】(−5×10⁴)³=(−5)³×(10⁴)³=−125×10¹²=−1.25×10²×10¹²=−1.25×10¹⁴。积的乘方要把每个因式分别乘方，最后把结果写成科学记数法的形式。 4．若 x2+mx−15=(x+3)(x+n)，则 m、n 的值分别是（　　） A．m=−2，n=−5　　B．m=2，n=−5　　C．m=−5，n=2　　D．m=5，n=−2 【答案】A　　【难度】中等 【详解】(x+3)(x+n)=x²+(n+3)x+3n。比较常数项：3n=−15，n=−5；比较一次项系数：m=n+3=−5+3=−2。故选 A。 5．下列多项式中，能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A．−4a2+12ab−9b2　　B．9x2−12x+16　　C．a2+4ab−4b2　　D．x2−xy+4y2 【答案】A　　【难度】难 【详解】A：−4a²+12ab−9b²=−(4a²−12ab+9b²)=−(2a−3b)²，能分解；B：首末两项分别是 (3x)²、(4)²，中间项应为 2·3x·4=24x，而题中为 −12x，不能；C：末项应为 +4b² 才能配成 (a+2b)²，题中为 −4b²，不能；D：中间项应为 2·x·2y=4xy，题中为 −xy，不能。判断能否用完全平方公式，只需看"首平方、末平方、中间两倍积"三条是否同时满足。 6．设 M=(a+8)(a−2)，N=(3a+4)(a−2)，则 M 与 N 的大小关系是（　　） A．M＞N　　B．M＜N　　C．M≤N　　D．不能确定 【答案】C　　【难度】难 【详解】作差：M−N=(a−2)[(a+8)−(3a+4)]=(a−2)(4−2a)=−2(a−2)2≤0，所以 M≤N，当 a=2 时取等号。比较两个含字母的代数式的大小，作差后配方成完全平方式、由平方的非负性定号，是通用手法。 第二部分（填空题　共24分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若 (2x−1)0 有意义，则 x 所满足的条件是＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】x≠　　【难度】基础 【详解】任何非零数的 0 次幂等于 1，但 0 的 0 次幂没有意义，故 2x−1≠0，即 x≠½。 8．计算：(2x)2·(−2x2)3·(x3)4=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】−2x20　　【难度】中等 【详解】(2x)²=4x²，(−2x²)³=−8x⁶，(x³)⁴=x¹²。原式=4x²·(−8x⁶)·x¹²=−2x2+6+12=−2x²⁰。先各自乘方，再把系数与指数分别相乘、相加。 9．若 A 为单项式，且 (x+2)(A−3y)=x2y−xy−6y，则 A=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】xy　　【难度】难 【详解】展开左边：xA−3xy+2A−6y。与右边比较 y 的项：−6y 对应 −6y（已有），含 A 的项应凑出 x²y−xy=x y(x−1)。把 A=xy 代入检验：(x+2)(xy−3y)=x²y−3xy+2xy−6y=x²y−xy−6y，成立。也可设 A=kxy，比较 x²y 的系数得 k=1。 10．多项式 a2b−ab3−a3−1 按字母 a 的升幂排列为＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】−1−ab3+a2b−a3　　【难度】中等 【详解】各项中 a 的指数依次为 2、1、3、0。按升幂排列：常数项 −1（0 次）、−ab³（1 次）、a²b（2 次）、−a³（3 次），即 −1−ab³+a²b−a³。注意符号随项移动。 11．已知 am=2，an=3，则 am+2n=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】18　　【难度】中等 【详解】am+2n=a^m·a2n=a^m·(a^n)²=2×9=18。 12．若 a2n=3，则 (2a3n)2=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】108　　【难度】中等 【详解】(2a3n)²=4a6n=4(a2n)³=4×3³=4×27=108。把 a2n 作为一个整体，用幂的乘方逆向转化。 13．因式分解：6x2+7x−3=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】(3x−1)(2x+3)　　【难度】中等 【详解】十字相乘：3x·3+2x·(−1)=9x−2x=7x，符合一次项，故 6x²+7x−3=(3x−1)(2x+3)。二次项系数 6 拆成 3×2、常数项 −3 拆成 (−1)×3 时，交叉积之和恰为 7x。 14．计算：(xn+2+2xn+4)÷(−xn−2)=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】−x4−4x6　　【难度】难 【详解】多项式除以单项式，逐项相除：½xn+2÷(−½xn−2)=−x(n+2)−(n−2)=−x⁴；2xn+4÷(−½xn−2)=−4x(n+4)−(n−2)=−4x⁶。故结果为 −x⁴−4x⁶。 15．如果整式 x2+(2k−1)x+36 是某个整式的平方，那么常数 k=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】 或 −　　【难度】难 【详解】x²+(2k−1)x+36=(x±6)²=x²±12x+36，故 2k−1=12 或 2k−1=−12，解得 k= 或 k=−。两解都要保留。 16．已知 xy=−1，x+y=2，则 x3y+x2y2+xy3=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】−2　　【难度】难 【详解】先提公因式 ½xy：原式=½xy(x²+2xy+y²)=½xy(x+y)²=½×(−1)×2²=−2。先因式分解再代值，比直接求 x、y 简单得多。 17．计算：=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】　　【难度】难 【详解】设 a=20252026，则 20252025=a−1，20252027=a+1。分母=(a−1)²+(a+1)²−2=(a²−2a+1)+(a²+2a+1)−2=2a²。故原式==。换元后分母恰好化简为 2a²，这是"设大数为 a"的典型用法。 18．已知 (2025−a)(2023−a)=2024，则 (a−2024)2=＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】2025　　【难度】难 【详解】设 t=a−2024，则 2025−a=1−t，2023−a=−1−t。由 (1−t)(−1−t)=t²−1 得 t²−1=2024，所以 t²=2025，即 (a−2024)²=2025。换元的目的是让两个因式变成"和与差"的对称形式。 第三部分（解答题　共58分） 三、解答题（本大题共8小题，满分58分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）因式分解与计算 19．（8分）因式分解： （1）a4−8a2b2+16b4； （2）9(m+n)2−16(m−n)2； （3）x2+xy−2xz−2yz； （4）(x2+2x)2−2(x2+2x)−3． 【答案】（1）(a+2b)2(a−2b)2；（2）(7m−n)(7n−m)；（3）(x+y)(x−2z)；（4）(x+3)(x−1)(x+1)2　　【难度】难 【详解】（1）原式=(a²)²−2·a²·(4b²)+(4b²)²=(a²−4b²)²，再对 a²−4b² 用平方差，得 (a+2b)²(a−2b)²。容易只写到 (a²−4b²)² 就停手，注意"分解到不能再分"。 　　　　（2）把 3(m+n)、4(m−n) 各看成整体，用平方差：[3(m+n)+4(m−n)][3(m+n)−4(m−n)]=(7m−n)(7n−m)。化简第二个因式时 −m+7n 习惯写成 7n−m。 　　　　（3）分组提公因式：x(x+y)−2z(x+y)=(x+y)(x−2z)。本题不能用平方差，观察"前两项含 x+y、后两项也含 x+y"是破题点。 　　　　（4）设 A=x²+2x，则 A²−2A−3=(A−3)(A+1)，还原得 (x²+2x−3)(x²+2x+1)=(x+3)(x−1)(x+1)²。换元后一定要还原，并对每个因式继续分解。 20．（6分）已知常数 a、b 满足 3a×32b=27，且 (5a)2×(52b)2÷(53b)a=1，求 a2+4b2 的值． 【答案】1　　【难度】难 【详解】由 3^a×32b=27=3³ 得 a+2b=3。 　　　　由 (5^a)²×(52b)²÷(53b)^a=1 得 52a+4b−3ab=5⁰，即 2a+4b−3ab=0，亦即 2(a+2b)=3ab。代入 a+2b=3 得 6=3ab，ab=2。 　　　　于是 a²+4b²=(a+2b)²−4ab=9−8=1。本题先用同底数幂的运算求出"和"与"积"，再用完全平方公式求平方和，是"知二求二"的高阶应用。 21．（8分）利用因式分解简便计算：(1−)(1−)(1−)…(1−)． 【答案】　　【难度】难 【详解】对每个因式用平方差：1−==。于是原式= 　　　　×××…×=。 　　　　约分（相邻分子分母依次相消），只剩 ×=。这类"连乘＋平方差"题，写成分式后逐项相消最快。 （二）材料阅读与综合应用 22．（8分）阅读下列材料：设 m、n 为实数，由 (m+n)2=m2+2mn+n2 可得 m2+n2=(m+n)2−2mn，这是解决"和与积"问题的常用变形。请完成下列各题： （1）若 (1−x)(x−5)=2，求 (1−x)2+(x−5)2 的值； （2）若 (30−2x)(x−20)=−25，求 (30−2x)2+4(x−20)2 的值； （3）如图，数轴上 A、B、C 三点表示的数分别是 m、10、13。以 AB 为边作正方形 ABDE，以 AC 为边作正方形 ACFG，延长 ED 交 FC 于点 P。若正方形 ACFG 与正方形 ABDE 的面积之和为 117，求长方形 AEPC 的面积． 【答案】（1）12；（2）200；（3）54　　【难度】难 【详解】（1）设 a=1−x，b=x−5，则 a+b=−4，ab=2。a²+b²=(a+b)²−2ab=16−4=12。 　　　　（2）设 p=30−2x，q=x−20，则 p+2q=30−2x+2x−40=−10，pq=−25。p²+4q²=(p+2q)²−4pq=100+100=200。关键是把"4(x−20)²"看成 (2q)²，才能凑成 (p+2q)²。 　　　　（3）设 AB=p=10−m，AC=q=13−m，则 q−p=3。由题意 p²+q²=117，而 (q−p)²=p²+q²−2pq，即 9=117−2pq，得 pq=54。 　　　　长方形 AEPC 的长为 AC=q，宽为 AE=AB=p，故面积为 pq=54。本题是典型的数形结合：把线段长设为字母，用面积关系建等式。 23．（8分）阅读下列材料，完成相应的任务． 【定义】对于一组多项式 x+a，x+b，x+c（a、b、c 都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式乘积的差是一个常数 m 时，称这样的三个多项式是一组"平衡多项式"，m 叫做这组平衡多项式的"平衡因子"． 【示例】对于多项式 x+1，x+2，x+3，因为 (x+2)2−(x+1)(x+3)=x2+4x+4−(x2+4x+3)=1，所以 x+1，x+2，x+3 是一组平衡多项式，其平衡因子为 1． 【任务一】已知 x+2，x+5，x+8 是一组平衡多项式，求它的平衡因子． 【任务二】判断 x−3，x+1，x+5 是否为平衡多项式，若是，求出平衡因子；若不是，请说明理由． 【任务三】若 x−2，x+4，x+p 是一组平衡多项式，且满足 (x+4)2−(x−2)(x+p) 是一个常数，求 p 的值及此时的平衡因子． 【答案】任务一：9；任务二：是，平衡因子为 16；任务三：p=10，平衡因子为 36　　【难度】难 【详解】【任务一】取中间项：(x+5)²−(x+2)(x+8)=x²+10x+25−(x²+10x+16)=9，故平衡因子为 9。 　　　　【任务二】(x+1)²−(x−3)(x+5)=x²+2x+1−(x²+2x−15)=16。差为常数 16，故是平衡多项式，平衡因子为 16。 　　　　【任务三】展开：(x+4)²−(x−2)(x+p)=x²+8x+16−(x²+(p−2)x−2p)=(10−p)x+(16+2p)。要使它为常数，必须 10−p=0，即 p=10；此时常数为 16+2×10=36，故平衡因子为 36。 　　　　新定义题的通用解法：先照示例算一遍，再抓住"含 x 的项系数为 0"这一核心条件。 24．（6分）若 am=an（a＞0 且 a≠1，m、n 都是正整数），则 m=n。利用上面结论解决下面的问题： （1）若 3x×9x×27x=312，求 x 的值； （2）若 x=5m−3，y=4−25m，用含 x 的代数式表示 y． 【答案】（1）x=2；（2）y=−x2−6x−5　　【难度】难 【详解】（1）9^x=32x，27^x=33x，故左边=3x+2x+3x=36x。由 36x=312 得 6x=12，x=2。 　　　　（2）由 x=5^m−3 得 5^m=x+3，于是 25^m=(5^m)²=(x+3)²。所以 y=4−(x+3)²=4−(x²+6x+9)=−x²−6x−5。 　　　　第（2）问是"降次/消元"思想：把 25^m 用 5^m 表示，再把 5^m 用 x 表示。 25．（8分）某农户用长 40 m 的篱笆围成一个长方形菜地（四边都用篱笆）． （1）若长方形的长为 x m，用 x 表示菜地的面积 S，并把它化成 S=−(x−10)2+100 的形式； （2）求这块菜地面积的最大值，并说明此时菜地的形状； （3）若要求菜地面积大于 96 m²，求长 x 的取值范围． 【答案】（1）S=x(20−x)=−(x−10)2+100；（2）最大 100 m²，此时为边长 10 m 的正方形；（3）8＜x＜12　　【难度】难 【详解】（1）周长为 40，长与宽之和为 20，宽为 (20−x) m，故 S=x(20−x)=−x²+20x=−(x²−20x+100)+100=−(x−10)²+100。 　　　　（2）因为 (x−10)²≥0，所以 −(x−10)²≤0，S≤100。当 x=10 时取等号，最大面积为 100 m²，此时宽也是 10 m，菜地是边长 10 m 的正方形。 　　　　（3）由 −(x−10)²+100＞96 得 (x−10)²＜4，即 −2＜x−10＜2，所以 8＜x＜12（此时宽 20−x 也在 8～12 之间，符合实际）。 　　　　配方法求最值的核心：把二次式化成 a(x−h)²+k 的形式，利用平方的非负性确定最值。 26．（6分）定义：若一个多项式能表示成另一个整式的平方，则称这个多项式为"完全平方式"． （1）若 4x2+12x+m 是完全平方式，求 m 的值； （2）若 x2−2(k−3)x+25 是完全平方式，求 k 的值； （3）若 a2+b2−4a+6b+13=0，求 ab 的值． 【答案】（1）m=9；（2）k=8 或 k=−2；（3）　　【难度】难 【详解】（1）4x²+12x+m=(2x)²+2·2x·3+3²，故 m=3²=9，此时 4x²+12x+9=(2x+3)²。 　　　　（2）x²−2(k−3)x+25=x²−2(k−3)x+5²，需 −2(k−3)=±10，即 k−3=∓5，得 k=8 或 k=−2。 　　　　（3）配方：(a²−4a+4)+(b²+6b+9)=0，即 (a−2)²+(b+3)²=0，由非负性得 a=2，b=−3，故 a^b=2−3=。负指数要注意：2−3==。 学科网（北京）股份有限公司 $2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制）（拔尖卷） 2026—2027学年七年级数学上学期期中模拟卷（沪教版五四制） 数　学 （考试时间：90分钟　试卷满分：100分） 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本卷满分 100 分，考试时间 90 分钟，共三个部分。 2．选择题的答案填写在题后括号内；填空题、解答题直接写在试卷的相应位置上，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。 3．需要画图（含补全图形）的题目，可先用铅笔画出，确认无误后再用签字笔描清。 4．测试范围：沪教版（五四制）七年级数学上册第 10~12 章（整式的加减、整式的乘除、因式分解）。 第一部分（选择题　共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在代数式 x+2y，2x2y，−，5，3x−1 中，单项式的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 2．下列各式中，运算正确的是（　　） A．a2+a3=a5　　B．a3·a2=a6　　C．(2a2)3=8a6　　D．a8÷a4=a2 3．计算 (−5×104)3 的结果是（　　） A．−25×1012　　B．−1.5×1013　　C．−1.25×1014　　D．−15×1012 4．若 x2+mx−15=(x+3)(x+n)，则 m、n 的值分别是（　　） A．m=−2，n=−5　　B．m=2，n=−5　　C．m=−5，n=2　　D．m=5，n=−2 5．下列多项式中，能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A．−4a2+12ab−9b2　　B．9x2−12x+16　　C．a2+4ab−4b2　　D．x2−xy+4y2 6．设 M=(a+8)(a−2)，N=(3a+4)(a−2)，则 M 与 N 的大小关系是（　　） A．M＞N　　B．M＜N　　C．M≤N　　D．不能确定 第二部分（填空题　共24分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若 (2x−1)0 有意义，则 x 所满足的条件是＿＿＿＿＿＿＿． 8．计算：(2x)2·(−2x2)3·(x3)4=＿＿＿＿＿＿＿． 9．若 A 为单项式，且 (x+2)(A−3y)=x2y−xy−6y，则 A=＿＿＿＿＿＿＿． 10．多项式 a2b−ab3−a3−1 按字母 a 的升幂排列为＿＿＿＿＿＿＿． 11．已知 am=2，an=3，则 am+2n=＿＿＿＿＿＿＿． 12．若 a2n=3，则 (2a3n)2=＿＿＿＿＿＿＿． 13．因式分解：6x2+7x−3=＿＿＿＿＿＿＿． 14．计算：(xn+2+2xn+4)÷(−xn−2)=＿＿＿＿＿＿＿． 15．如果整式 x2+(2k−1)x+36 是某个整式的平方，那么常数 k=＿＿＿＿＿＿＿． 16．已知 xy=−1，x+y=2，则 x3y+x2y2+xy3=＿＿＿＿＿＿＿． 17．计算：=＿＿＿＿＿＿＿． 18．已知 (2025−a)(2023−a)=2024，则 (a−2024)2=＿＿＿＿＿＿＿． 第三部分（解答题　共58分） 三、解答题（本大题共8小题，满分58分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） （一）因式分解与计算 19．（8分）因式分解： （1）a4−8a2b2+16b4； （2）9(m+n)2−16(m−n)2； （3）x2+xy−2xz−2yz； （4）(x2+2x)2−2(x2+2x)−3． 20．（6分）已知常数 a、b 满足 3a×32b=27，且 (5a)2×(52b)2÷(53b)a=1，求 a2+4b2 的值． 21．（8分）利用因式分解简便计算：(1−)(1−)(1−)…(1−)． （二）材料阅读与综合应用 22．（8分）阅读下列材料：设 m、n 为实数，由 (m+n)2=m2+2mn+n2 可得 m2+n2=(m+n)2−2mn，这是解决"和与积"问题的常用变形。请完成下列各题： （1）若 (1−x)(x−5)=2，求 (1−x)2+(x−5)2 的值； （2）若 (30−2x)(x−20)=−25，求 (30−2x)2+4(x−20)2 的值； （3）如图，数轴上 A、B、C 三点表示的数分别是 m、10、13。以 AB 为边作正方形 ABDE，以 AC 为边作正方形 ACFG，延长 ED 交 FC 于点 P。若正方形 ACFG 与正方形 ABDE 的面积之和为 117，求长方形 AEPC 的面积． 23．（8分）阅读下列材料，完成相应的任务． 【定义】对于一组多项式 x+a，x+b，x+c（a、b、c 都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式乘积的差是一个常数 m 时，称这样的三个多项式是一组"平衡多项式"，m 叫做这组平衡多项式的"平衡因子"． 【示例】对于多项式 x+1，x+2，x+3，因为 (x+2)2−(x+1)(x+3)=x2+4x+4−(x2+4x+3)=1，所以 x+1，x+2，x+3 是一组平衡多项式，其平衡因子为 1． 【任务一】已知 x+2，x+5，x+8 是一组平衡多项式，求它的平衡因子． 【任务二】判断 x−3，x+1，x+5 是否为平衡多项式，若是，求出平衡因子；若不是，请说明理由． 【任务三】若 x−2，x+4，x+p 是一组平衡多项式，且满足 (x+4)2−(x−2)(x+p) 是一个常数，求 p 的值及此时的平衡因子． 24．（6分）若 am=an（a＞0 且 a≠1，m、n 都是正整数），则 m=n。利用上面结论解决下面的问题： （1）若 3x×9x×27x=312，求 x 的值； （2）若 x=5m−3，y=4−25m，用含 x 的代数式表示 y． 25．（8分）某农户用长 40 m 的篱笆围成一个长方形菜地（四边都用篱笆）． （1）若长方形的长为 x m，用 x 表示菜地的面积 S，并把它化成 S=−(x−10)2+100 的形式； （2）求这块菜地面积的最大值，并说明此时菜地的形状； （3）若要求菜地面积大于 96 m²，求长 x 的取值范围． 26．（6分）定义：若一个多项式能表示成另一个整式的平方，则称这个多项式为"完全平方式"． （1）若 4x2+12x+m 是完全平方式，求 m 的值； （2）若 x2−2(k−3)x+25 是完全平方式，求 k 的值； （3）若 a2+b2−4a+6b+13=0，求 ab 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $