分段一次函数的实际应用与方案选择 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

分段一次函数的实际应用与方案选择 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 复习导航 本专题从分段收费、购票采购和运输生产中建立一次函数模型，重点练习：把规则写成式子，在真实范围内比较方案，检查整数、折扣门槛与并列最优。 先用知识短例理解规则，再完成典例与关联变式；A组巩固建模，B组迁移条件，C组综合决策，D组对接近年中考。所有数量以题目明示条件为准。 学习内容 关键判断 分段收费与账单计算 实际用量与计费量 总价与单价 不同收费方案的比较 有效交点与全部方案 同预算与同需求 优惠条件下的购买方案 数量约束 预算 折扣起点 整数 整包购买与零购 是否允许多买 每次结算 套餐起点 调配方案与总费用 四路守恒 费用分段 每个实际范围 条件变化时的最优方案 每件优惠与总优惠 分支和等号 内容目录 一、分段收费与账单计算 2 二、不同收费方案的比较 3 三、优惠条件下的购买方案 5 四、整包购买与零购 7 五、调配方案与总费用 10 六、条件变化时的最优方案 12 A组 基础巩固 13 B组 方法迁移 15 C组 综合提升 18 D组 近年中考真题 25 一、分段收费与账单计算 1、先明确自变量表示实际用量还是计费用量，因变量表示单价、总费用还是利润。收费按每次、每天或每月重新计算时，分次费用要分别计算后相加。 2、累计收费中，后一段费用等于前一段已经产生的费用，加上超出部分的费用。若前单位每单位元，超过部分每单位元，则超过时总费用为不是 3、全量折扣指达到门槛后，全部数量按新的单价计算；它与只给超出部分优惠不同，费用在门槛处可能下降。封顶收费则达到上限后保持不变，给定费用可能对应一段用量。 4、由账单反求用量或分界，先判断数据属于哪一段，求出的数必须回到该段范围检验。 累计收费的相邻两式在分界处应给出同一总费用；全量折扣不能强求两段相接。 如：前10千克每千克4元，超过部分每千克3元。运12千克的费用为元，后段式为只适用于 例1、某货运点按一次托运的实际质量收费，不作整千克进位。一次质量为千克，前千克每千克6元，超出千克的部分每千克4元。已知托运3千克付18元，9千克付46元，12千克付58元。 （1）求并写出总运费与的函数关系式； （2）用70元托运整千克的货物，最多能托运多少千克？ 【解析】（1）9千克和12千克均超过千克。由得代入12千克的账单，符合题意。 分界处两式均得30元。 （2）70元超过前5千克的费用30元。由得最多托运15千克；此时70元，16千克需74元，且15在允许范围内。 变式1-1、停车场按实际停车时间收费，不作整小时进位。前2小时收费8元；超过2小时的部分每小时3元；每次费用最高20元。一辆车的停车时间满足小时，交费恰为20元，则的取值范围是________。 【解析】未封顶时，超过2小时的费用为令得从6小时起封顶，结合上限10小时，得 变式1-2、某种水果按一次购买的实际质量计费：不足20千克时每千克6元；达到20千克时，所购全部水果每千克5元。一次恰好付款100元，则可能购买的质量共有（ ）种。 A．1 B．2 C．3 D．无数 【解析】按原价计算，符合；按优惠价计算，也符合。两种购买量都有效，选B。 变式1-3、某物料按每次购买量计费：前10千克每千克3元，超过10千克的部分每千克5元。甲、乙分别购买一次，乙比甲多买4千克，两人共付款64元。 求两人各购买多少千克。 【解析】设甲买千克，乙买千克。若两次均未超过10千克，得不符合。 若有得符合。 若有得不符合。故甲8千克，乙12千克；费用24元和40元，共64元。 二、不同收费方案的比较 1、比较方案时，所比较的必须是同一需求量的总费用。先写各方案在实际范围内的费用式，再把所有收费分界点合起来分段。 2、每段内可作差或解费用相等的方程，确定哪一方案更省。等费用量必须落在该段，也必须满足套餐的起用条件；无效的解不能当作分界点。 3、有三个方案时，两方案相等不一定表示最省方案发生变化，还要与第三方案比较。按人数、次数计费时，最后只保留允许的整数值，并单独写出费用相同的方案。 4、已知预算求最多次数与已知次数求最低费用是不同的任务。预算求出的次数要向下取到可实施的整数，再比较各方案能完成的次数。 如：甲方案每次10元，乙方案先付30元、每次再付7元。由得少于10次甲省，10次相同，多于10次乙省。若乙只对不少于12次的用户开放，10次的等费点就不能用作实际选乙的起点。 例2、某场馆提供三种一个月内的使用方案。入场总次数是1至60的整数，每人当月只选一种方案。甲：每次10元；乙：先付60元，每次再付6元；丙：200元包含前30次，超过30次的部分每次另付8元。 （1）分别写出三种方案的费用与的关系； （2）按给出费用最少的全部方案。 【解析】（1） （（均为整数。 （2）甲、乙等费时在前30次内，乙、丙等费时得超过30次时，乙、丙等费时得 甲、丙在20次时都为200元，但乙仅180元，所以20次不是最省方案的分界。30次以后甲也始终比丙贵。 最省方案为：1至14次选甲；15次甲、乙相同；16至23次选乙；24至49次选丙；50次乙、丙相同；51至60次选乙。30次与31次均由丙最省。 变式2-1、某体验活动的甲方案每次10元；乙方案先付40元、每次再付5元，但只有当月参加不少于12次的人才能选乙。参加次数为1至30的整数。费用最少时，选择乙方案的次数范围是________。 【解析】若两方案都可选，得但乙要求故实际在时选乙，1至11次只能选甲。8次的等费点不满足乙的使用条件。 变式2-2、某场馆每月可选一种方案：甲方案每次15元；乙方案先付60元，每次再付8元。小华有200元预算，入场次数为整数。分别求两方案最多可入场的次数，并求达到最多次数时还剩多少元。 【解析】甲：整数最多为13，余元。乙：整数最多为17，余元。所以选乙可最多入场17次，余4元。 变式2-3、印制一种海报，甲店每张10元；乙店收制版费元，每张另收6元。一次需要印20至45张，张数为整数，且若无论印多少张，乙店总费用都不超过甲店，求的取值范围。 【解析】设印张，需对每个允许的都有即20至45中，最小为80，故当时，印20张两店同为200元，其余张数乙更省；若印20张就不符合。 三、优惠条件下的购买方案 1、用一个变量表示各类数量后，逐条写出总量、至少、至多、容量、预算等限制。件数、车数和箱数一般是非负整数；“两种都买”还要求每种数量大于0。 2、遇到折扣门槛，先按门槛分别列费用式，在每一段内解预算条件，再合并实际可行的整数。全量折扣可能使中间一部分数量超预算，而达到折扣门槛后又可行，不能擅自连成一个范围。 3、每段费用为一次式时，先找该段允许的最小或最大整数作为候选，再比较各段候选的费用。最低单价、最少某种数量，都不能代替完整比较。 4、由“恰有几种方案”反求预算时，先按总费用从小到大排列可行方案。费用严格递增时，检查最后一种刚好可行和下一种尚不可行这两个边界；若有同费方案，应一起计入。费用不超过预算对应可以取等号。 如：共买20本，甲每本8元、乙每本5元，甲至少6本。设甲本，则且为整数。预算130元时，共5种，最低118元。 例3、学校一次购买甲、乙两种水杯共100个。甲至少30个，乙至少20个；乙每个30元。甲不足50个时每个40元，达到50个时，所购全部甲款水杯每个34元。设甲买个，总费用为元，预算不超过3360元。 （1）写出与的函数关系式及的范围； （2）共有多少种购买方案？最低费用及对应方案是什么？ 【解析】（1）由甲至少30个、乙至少20个，得且为整数。 （（ （2）前段由得故至36；后段由得故至80均可。共种。 两段费用均随增大而增大。前段最低为时3300元；后段最低为时3200元。因此买甲50个、乙50个最省，费用3200元。 回验门槛：49个甲时3490元，超预算；50个甲时3200元，可行。不能把两段可行数量合成30至80的全部整数。 变式3-1、学校租8张餐桌，普通桌每张可坐4人、租金80元，大桌每张可坐6人、租金110元。两种餐桌可任意搭配，空座允许保留。原有38人，租金不超过790元。 （1）有几种租法？最低租金是多少？ （2）若临时增加4人，仍租8张桌且预算不变，求可行租法。 【解析】设大桌张，普通桌张。座位数租金且为整数。 （1）给给故共3种，最少730元。 （2）42人要求即预算要求只能大桌5张、普通桌3张，共42座、790元。 变式3-2、某厂购买10台设备。甲每台300元、每小时加工9件；乙每台200元、每小时加工5件。两类设备均按标明效率工作，每小时总加工量不少于64件。若预算为元，恰有3种满足要求的购买方案，则的取值范围是________。 【解析】设甲台，产量故且为整数；费用随增大而增大。恰有3种时只能为第6台对应2600元可行，第7台对应2700元不可行，故 变式3-3、学校需购买30本同种笔记本。甲店每本8元；乙店每本7元，但规定一次至少买35本，允许多买不用，不退货；两店均无其他收费。可只选一家购买，也可分开购买。满足需要的最低费用为（ ）元。 A．210 B．240 C．245 D．280 【解析】不在乙店买时，甲店买30本，费用240元。若在乙店买，至少35本，费用至少元，再去甲店购买只会增加费用。因此最低240元，选B。 四、整包购买与零购 1、整包、套餐含有固定数量时，先设购买包数，再表示尚缺的数量。“允许多买”与“必须恰好满足”是不同条件；未用商品能否退款，也会改变总费用。 2、当整包仍不够时，总费用等于整包费加补足部分的零购费；当整包已经够用时，不再出现负的零购数量。分别找最省候选，再跨分界比较。 3、按每次购买量给优惠时，分两次购买要分别套用规则。若总量为第一次买第二次为两次各自达到门槛的时刻都要列入分段。 4、月中购买套餐时，应明确套餐从何时开始包含次数，过去已付的费用是否退还。已经用过的次数不能再次当作套餐内未用次数。 如：单张10元，5张一包42元，需要12张。买2包再补2张需104元，买3包需126元。允许多买并不意味着必须把包数向上取整。 例4、活动需55张同种门票。单张18元；一包12张，190元。可同时购买整包与单张，允许多买不用，未用票不退钱。设买包。 （1）时，用含的式子表示满足需求的最低费用； （2）求全局最低费用及购买方案。 【解析】（1）此时还需张，总费用 （2）在至4中，随增大而减少，时最低元，即4包加7张。 当时整包已够，至少需元。因此全局最低886元。4包共48张，加7张恰为55张；多买第5包反而更贵。 变式4-1、某团体有41人，租车只可选12座车和5座车，每辆租金分别为100元和50元。允许空座，每人均须有座位，不计司机座位。求最低租金及租车方案。 【解析】设12座车有辆。若还需5座车的最少数量依次为9、6、4、1辆，对应最低费用450、400、400、350元。 若仅12座车的租金已不少于400元。故最低350元，租12座车3辆、5座车1辆，共41座。 变式4-2、商店按每次购买量给水果优惠：前8千克每千克10元，超过8千克的部分每千克6元。两组同学分别购买一次，共买24千克，每组至少买5千克，质量可为小数。设第一组买千克，求两组总费用的最小值及所有对应的购买量。 【解析】两组质量分别为和故当时，总费最小在为196元。 当时，两组均超过8千克，元。或16时同样为208元。 当时，最小在为196元。故最低196元，两组分别买5、19千克，顺序可交换。 变式4-3、某场馆平时每次15元。小华本月已经参加4次并付清60元，费用不退。现在可付60元购买一张从此时开始生效的套餐，含以后8次，超过这8次的部分每次8元；本月只能买一张套餐。本月最终总次数为6至20的整数。求应当现在购买套餐、继续按次付费或两者相同的次数范围。 【解析】继续按次付费的月总费用为若现在买套餐，时月总费为120元；时为 前段比较与120，8次相同，6、7次按次省，9至12次套餐省。后段对13至20均成立。故6、7次继续按次，8次相同，9至20次现在买套餐。 五、调配方案与总费用 1、调配问题先列数量表。两个供应点和两个需求点的总量已知时，设一条路线的数量，利用每行、每列的总量可表示其余三条路线；每个数量都必须非负。 2、总费用等于各条路线费用之和。某条路线分段收费时，先求该条路线的费用，再与其他路线相加，不能把超出部分单价乘全部箱数。 3、生产中还要区分机器工作时间、单位时间产量和费用。由总产量表示另一台机器的工作时间后，应同时检查两台机器各自的时间上限。 4、分段费用可能先减后增，最省位置不一定是整个范围的两端。可先按每段增减性找候选，再比较；给定费用反求方案时，每段的解均须检查，可能有多个方案。 如：甲仓10箱、乙仓8箱，A店需7箱、B店需11箱。设甲到A为箱，其余依次为箱，所以且为整数。 例5、两仓库甲有30箱、乙有20箱同种物资，全部运往A、B两店，两店各需25箱。每箱运费：甲到B为9元，乙到A为8元，乙到B为5元；甲到A按本次沿该路线运输的箱数累计计费，前15箱每箱6元，超过15箱的部分每箱16元。设甲向A运箱。 （1）列出四条路线的箱数及的范围； （2）总运费不超过375元时，有几种方案？最低运费及对应方案是什么？ 【解析】（1）甲到A为甲到B为乙到A为乙到B为由各项非负得且为整数。 （2）当时， 当时， 预算要求前段后段所以至20，共9种。费用先减后增，时最低355元，四条路线分别15、15、10、10箱。回验或21时均为379元，不可行；时375元，可行。 变式5-1、甲、乙两台机器共同加工60千克物料。甲每小时加工6千克，乙每小时加工4千克；加工量和工作时间均可为小数，每台至多工作10小时。甲的前6小时每小时费用20元，超过6小时的部分每小时60元；乙每小时费用30元，两机可同时工作。若总费用恰为330元，求两台机器各工作多少小时。 【解析】设甲工作小时，乙工作小时，则由得 当时，费用令其为330，得符合。 当时，费用令其为330，得符合。两种方案为甲4.8小时、乙7.8小时，或甲8小时、乙3小时。 变式5-2、甲仓有12箱、乙仓有8箱同种货物，全部运往A店9箱、B店11箱。设甲仓运往A店箱。已知甲到A的路线最多运7箱，乙到B的路线至少运2箱。则的全部可能整数值为（ ）。 A．1至7 B．2至7 C．3至7 D．3至9 【解析】四路箱数为非负给甲A最多7箱给乙B至少2箱给即故选C。 变式5-3、甲仓12箱、乙仓8箱货物全部运到A店9箱、B店11箱。每箱运费依次为：甲到A为6元，甲到B为9元，乙到A为元，乙到B为5元。若所有符合供需要求的调配方案总运费都相同，则________。 【解析】设甲到A为箱，四路箱数为可取1至9的整数。总费要各方案费用相同，需故每种均为121元。 六、条件变化时的最优方案 1、商品全部售完时，利润等于销售收入减去成本。若每件降价元，卖出件的总利润减少元；不能只从总利润减去元。 2、总量固定的两种商品，可用同一个变量表示数量。分段售价应按各段分别计算收入，再扣全部成本，得到每一段的利润式。 3、对固定的优惠金额，每段仍是一次式。系数为正时该段利润随数量增加而增加，为负时相反，为0时该段所有可行数量的利润相同。分段式中某一段系数为0，不代表其他段也相同。 4、优惠金额变化时，应分别找各段系数为0的金额，再在各范围内确定候选。遇到固定宣传费、启用费，还要与不开启该方案的情况比较；最后写出全部最优整数方案，并回验边界金额。 如：共卖30件，甲每件利润元，乙每件利润8元，甲件数满足总利润时选时选时5至20件的所有整数方案同为240元。 例6、商店一次购进甲、乙商品共60件并全部售完。甲进价每件10元，前20件每件售26元，超过20件的部分每件售22元；乙每件利润8元。设甲件数为进货要求为整数。 促销时每件甲商品均在上述售价基础上再减元，乙不变。求不同下利润最大的全部进货方案。 【解析】当时，当时，两式在时均为 若两段均增，选若前段增、后段不变，至50都使利润最大。 若前段增、后段减，选若前段不变、后段减，至20都使利润最大；若两段均减，选 上述均取整数，乙商品数量为或8时，只有相应一段的整数方案利润最大，不是10至50的全部整数方案。 变式6-1、商店计划购进甲、乙商品共40件并全部售完。乙每件利润8元；甲每件利润为元，若购进甲商品，需另付一次性展示费60元，且甲的数量只能为10至30的整数；也允许完全不购进甲。求不同下获得最大净利润的全部方案。 【解析】不买甲时净利润为元。买甲件时，且整数， 当时，买甲的方案中以最好，净利润与320比较，时买甲30件、乙10件更好；时这一方案与全买乙相同；时全买乙更好。 当时，买甲的最大净利润不超过时的260元，小于320元。故时均全买乙；时，只有上述两种方案的净利润最大。 变式6-2、商店把甲、乙两种商品共50件全部售完。甲前15件每件利润12元，超过15件的部分每件利润6元；乙每件利润9元。现另给每件甲商品元补贴，甲的数量为5至40的整数。若获得最大利润的进货方案恰有26种，则________。 【解析】前段利润系数始终为正；后段时只有最优，时只有最优；时至40均最优，共26种，故 变式6-3、运输公司一次需运箱货物，是20至40的整数。甲方案收固定服务费元，每箱再收5元；乙方案收固定服务费100元，每箱再收3元，若甲方案对每一个允许的箱数都不比乙贵，且至少有一个允许的箱数两方案费用相同，求及费用相同的箱数。 【解析】要求即对所有至40成立。右边随增大而减少，故 若对所有允许都有无相同费用；故此时等费需得 A组 基础巩固 A1、某商品不足11件时每件10元；一次买满11件时，所购全部商品每件8元。由买10件改为买11件，总费用（ ）。 A．增加8元 B．增加10元 C．减少12元 D．减少20元 【解析】10件需100元，11件需88元，费用减少12元。满门槛后全部商品改用8元单价，选C。 A2、某次活动甲方案每人28元，乙方案收固定费用200元，每人另收18元，人数为20至40的整数。若选乙比选甲至少节省90元，最少应有________人。 【解析】节省额得 29人在允许范围内，最少29人。 A3、某仓库每次按实际存放时间收费，小时：前3小时共收15元，超过3小时的部分每小时4元。下列可用于计算小时总费用的式子是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】前3小时已经收15元，余下5小时每小时4元， 故费用元，选B。 A4、买一种票，普通票每张12元；一张60元的套餐券包含6次使用机会，用完后每次另付9元。套餐券不能退，未用完的次数不退费。某人买券后本期共付96元， 他共使用________次。 【解析】96元大于券价60元，必已用完6次，超出次数为共10次。 A5、某服务套餐每月收固定费用，包含前100分钟；超过100分钟的部分按固定单价计费。某月用150分钟付40元，另一月用220分钟付54元。 （1）求月固定费用及超出部分每分钟的单价； （2）某月付52元，求该月用时。 【解析】（1）两张账单均超过100分钟，增加70分钟、费用增加14元，故超出部分单价元/分钟。固定费用元。 （2）52元超过固定费用30元，用时为分钟。回验 A6、商店购进100本书，总成本700元。先按每本10元售出本，余下的全部按每本6元售完；每售出1本都另捐1元。 （1）写出扣除成本和捐款后的净利润与的关系及范围； （2）至少按原价售出多少本，净利润才不为负？ 【解析】（1）收入捐款共100元，故且为整数。 （2）得至少50本。 此时收入800元，扣700元成本和100元捐款恰为0。 A7、学校购买甲、乙两种奖品共40件。甲每件18元，乙每件12元，甲不少于乙的一半，总费用不超过600元。求所有可行的甲奖品数量及最低费用。 【解析】设甲件，则得费用得 故共7种。费用随增大而增大，最低在时，为564元，此时乙26件， A8、活动需45个水杯。商店不足50个时每个20元；一次购买不少于50个时，所购全部水杯每个16元。允许多买，未用水杯不退。求满足需要的最低费用和购买数量。 【解析】买45至49个时费用为最低900元；买不少于50个时费用为最低在50个时为800元。比较得最低800元，应买50个，其中5个暂不用。 B组 方法迁移 B1、某物料每月独立计费：前15千克每千克2元，超过15千克的部分每千克3元，允许某月用量为0。已知两个月共付款90元，求这两个月总用量的最小值和最大值，并各给出一组达到该值的月用量。 【解析】两个月若都不超过15千克，费用至多60元，不能达到90元。设较少月份用千克，较多月份用千克。 若则得 总用量范围为35至40千克。 若两月都按后一段计算，有故总量40千克。 因此最小35千克，可取两月0、35千克；最大40千克，可取20、20千克。各组费用均为90元。 B2、购买同种纪念册，甲店每本10元，一次买满20本减20元，且只减一次；乙店每本9.2元，没有其他优惠。一次需买本，为1至40的整数，必须在同一家买齐且不多买。求不同下费用最少的方案。 【解析】甲店费用为（1至19本）或（20至40本），乙店为不足20本时乙一定省。 20至40本时，甲减乙为在时为0。故1至19本选乙，20至24本选甲，25本两店相同，26至40本选乙。 19本时甲190元、乙174.8元；20本时甲180元、乙184元，优惠开始处须另作检查。 B3、采购40件同种物品。甲供应点每件6元，最多供25件；只要向甲采购就另收一次运费80元。乙每件9元，可供足40件且无运费。允许分开采购， 满足需要的最低费用为（ ）元。 A．360 B．365 C．320 D．240 【解析】全在乙买需360元。若向甲买件，且整数，总费最低在时为365元，仍高于360元。故全选乙，选A。 B4、需把90箱货物一次运完。甲车每辆装12箱、租金100元，最多6辆；乙车每辆装18箱、租金135元，最多4辆。每辆车必须装满，不允许剩余或多运。 求所有租车方案及最低租金。 【解析】设甲辆、乙辆，则即 且均为整数。 因为为偶数，须为奇数，故或3。对应或均满足上限。租金分别735元和705元。最低705元，甲乙各3辆。 B5、商店购进甲、乙商品共80件。甲每件进价8元，最多能按每件14元售出30件，其余甲商品每件只能回收6元；乙商品全部售完，每件利润4元。设购进甲件，且为整数。求利润不少于365元的所有进货方案，并求最大利润。 【解析】当时，甲全部按14元售出，当时，甲余量每件亏2元， 前段得取23至30；后段得取31、32。故甲23至32件、乙为80减去甲件数，共10种。 利润先增后减，在时最大380元，此时乙50件，甲没有余货。 B6、甲供应点前20件每件8元，超过20件的部分每件5元。乙供应点每次收固定费用元，每件另收元，在采购10件或40件时，两点报价都相同。 则________，________；若一次采购25件，乙比甲省________元。 【解析】甲10件费用80元，40件费用260元，所以两式相减得再得 甲25件费用元；乙25件费用元，乙省15元。两处报价相同，不能推出中间数量也相同。 B7、某活动有三种方案：甲每人10元；乙收固定费元，每人再收6元；丙不论人数共收190元。每组只能选一种方案。已知20人参加时，最低总费用恰为160元，且 （1）求 （2）人数为1至40的整数时，给出最省的全部方案。 【解析】（1）20人时甲200元，丙190元，都不是160元，故只能由乙达到160元。得 （2）甲乙等费在乙丙等费在1至9人甲省，10人甲乙相同，11至24人乙省，25人乙丙相同，26至40人丙省。 甲丙等费在19人，但此时乙154元低于190元，不是最省方案的分界。 B8、购买甲、乙两种物品共60件，每种各至少10件。甲只按每包6件出售，乙只按每包4件出售。甲不足30件时每件20元，达到30件时所购全部甲物品每件16元；乙每件12元。总费用不超过900元，必须恰好买60件。求所有可行购买方案及最低费用。 【解析】设甲件，则为6的倍数，为4的倍数。由也须为4的倍数，得为12的倍数，所以只需检查12、24、36、48。 甲不足30件时费用达到30件时费用四个候选的费用依次为816、912、864、912元。 预算内为甲12、乙48，或甲36、乙24两种；两者包数分别为2与12、6与6。最低816元，买甲12件、乙48件。 C组 综合提升 C1、一次购买45件同种物品，可在甲、乙两店分开购买。甲不足20件时每件9元，达到20件时所购全部甲店物品每件7元，甲店最多供40件；乙店前15件每件5元，超过15件的部分每件10元。设在甲店买件，允许某店不买，不另收费用。 （1）写出总费用与的关系； （2）预算不超过300元时有几种方案？最低费用是多少？ 【解析】（1）且为整数。乙买件，其收费在处改变；甲在处全量打折。 当当当时甲不收费，也符合第一式。 （2）第一段最低356元，均超预算；第二段得取25至30；第三段得取31至37。共13种。 第二段递减、第三段递增，最低在时，为285元，甲买30件、乙买15件。两个收费分界20和30都必须保留。 C2、工厂生产甲、乙产品共100件，甲每件生产成本20元，乙每件10元。甲最多能按每件30元售出40件，余下每件仅回收16元；乙最多能按每件16元售出70件，余下每件仅回收8元。所有产品均按上述方式售出或回收。 （1）不考虑生产预算时，怎样生产可使利润最大？ （2）若生产费用不超过1350元，求最大利润及方案。 【解析】设甲件，乙件，且为整数。时乙有余量，时均可按正常价格售出，时甲有余量， （1）利润在前两段增加，后一段减少，所以甲40、乙60时最高760元。 （2）生产费得预算内前两段均增加，故取乙65件，最大利润元。原来最优的40件甲需1400元，超预算，不能沿用。 C3、需一次接送230名乘客。大车45座、租金600元，小车30座、租金450元，座位数不含司机。两种车数量均充足，允许空座。满足需要的最低租金为（ ）元。 A．3150 B．3300 C．3450 D．3600 【解析】8辆小车已有240座，费用3600元，所以最低费用不会超过3600元。每辆至少450元，超过8辆的方案费用必超过3600元；5辆车即使全为大车也只有225座。因此只需比较6、7、8辆车。 设共辆，其中大车辆，则座位租金对固定大车越少费用越低。 时需最少4辆大车，费用3300元；时需最少2辆大车，费用3450元；时不需大车，费用3600元。 因此最低3300元，唯一方案为大车4辆、小车2辆，共240座。选B。 C4、一种练习本单本8元，每包10本，整包价64元。可整包与单本混买，允许多买，未用本不退。需用本数为40至60的整数。按给出最低费用及全部最省的购买方案。 【解析】先按不超过需求的整十本数购买整包。若每次用一包替换10本零购，费用由80元降为64元，所以在尚未买够时，应尽量增加整包数。再比较补足余下的本与多买一包：零购需元，一包64元，零购省，相同，多买一包省。 40至47本：4包加本，费用48本：4包加8本或直接5包，均320元；49至50本：5包，320元。 51至57本：5包加本，费用58本：5包加8本或直接6包，均384元；59至60本：6包，384元。 超过上述包数只会增加费用，不会再减少需要补购的数量。每个“余8本”的边界都有两种最省买法。 C5、食堂第一天需15千克、第二天需25千克同种食材。每天购买都重新计价：前20千克每千克10元，超过20千克的部分每千克6元。允许第一天预买第二天的部分食材，最多预买15千克；预买的食材每千克另花元保存费，保存没有损耗。两天必须恰好用完全部食材。求不同下费用最少的全部购买方案。 【解析】设第一天买千克，则第二天买千克，保存费两次计价都在处分界。 当时，系数为正，最低在为380元。 当时，因系数为负，最低在为元。 比较380与相等时时第一天30千克、第二天10千克；时这组与第一天15千克、第二天25千克都最省；时后者最省。 费用相等时，只有和30这两个方案的费用最低：第一段仍增加、第二段仍减少，中间方案更贵。 C6、采购甲、乙两种物品共40件，甲件数为10至30的整数。乙每件20元；甲不足20件时每件30元，不另收费用；甲达到20件时所购全部甲物品每件24元，并加收一次性批量配送费50元。现每件甲物品均补贴元，配送费不补贴。求不同下实际支出最少的全部采购方案。 【解析】当时，当时， 当时，两段均增加，只需比较的与的差为选时，这两个方案的实际支出都最少，选 当时，后一段所有至30均为850元，前一段最低860元，故20至30都最优。 当时，后一段最低在为若前段最低减去后一段为若前段最低减去后一段为故唯一最优。乙的数量均为 C7、一次运输箱货物，是10至60的整数。甲方案收固定费用元，每箱另收2元；乙方案前20箱每箱5元，超过20箱的部分每箱1元。若对每个允许的选甲都比选乙至少省10元、至多省55元，已知则的取值范围是________。 【解析】乙费用为（10至20箱）或（21至60箱）。选甲的节省额为（10至20箱）或（21至60箱）。 节省额在第一段增加、第二段减少。最小值应比较时与时故最小为最大在时为 要求且得时20箱恰省55元；时60箱恰省10元，两个边界都能取到。 C8、商店一次购进甲、乙商品共60件，甲件数为20至50的整数。甲不足30件时进价每件12元，达到30件时所购全部甲商品进价每件10元；乙进价每件8元。甲最多能按每件16元售出40件，多余甲商品每件回收8元；乙全部按每件11元售完。进货预算不超过570元，最终利润不少于250元。 （1）求全部可行进货方案的数量； （2）求最大利润及方案。 【解析】成本：（20至29件），（30至50件）。预算给或至45。 利润：20至29件时30至40件时41至50件时 预算内的20至22件利润都小于250元；30至40件利润至少270元；41至45件利润为295至275元，也均不少于250元。故至45可行，共16种。 利润在30至40件时增加，在41至45件时减少，故最大在利润300元，乙20件。成本560元，未超过570元；x=46虽有270元利润，却需572元，预算确实排除了该方案。 D组 近年中考真题 D1、（2025年江苏盐城中考第24题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同． （1）求A，B两款机器人的单价． （2）如果购买A，B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【解析】（1）设两笔资金各能购买台。由每台差1万元、总价相差5万元，得A款单价为万元，B款单价为万元。 （2）设购买A款台，则B款为台。由得且为整数。总费用（万元），随增大而增大。故买A款4台、B款8台时费用最少，为52万元。此时满足条件。 D2、（2025年四川德阳中考第23题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【解析】（1）设A、B型挂面单价分别为元。由两式相减得再得 （2）设B型买袋，则A型为袋。费用由得又且为整数，故共6种方案。 随增大而增大，故A型30袋、B型10袋时最低，费用900元。预算上界时费用恰为950元，也应计入。 D3、（2026年四川南充中考第23题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 材料 内容 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． （1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ （2）工厂有几种安排加工线的方案？ （3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 【解析】（1）设每条线每月分别加工皮蛋万枚、咸蛋万枚。则消元得即每条线每月分别可加工皮蛋3万枚或咸蛋2万枚。 （2）设皮蛋加工线为条，则咸蛋加工线为条。由得结合且为整数，得共有3种方案，皮蛋线与咸蛋线分别为条。 （3）加工量为万枚，剩余万枚。总利润为（万元）。 随增大而减小，故安排皮蛋线3条、咸蛋线6条时利润最大。此时加工皮蛋9万枚、咸蛋12万枚，余9万枚另处理；最大利润为万元。 D4、（2026年四川攀枝花中考第21题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 【解析】降价前的单价为元/千克，降价后为元/千克。后段收入为元，因此后段售出千克，共售出千克。 留作种植基金元，捐款为元。 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 分段一次函数的实际应用与方案选择 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 复习导航 本专题从分段收费、购票采购和运输生产中建立一次函数模型，重点练习：把规则写成式子，在真实范围内比较方案，检查整数、折扣门槛与并列最优。 先用知识短例理解规则，再完成典例与关联变式；A组巩固建模，B组迁移条件，C组综合决策，D组对接近年中考。所有数量以题目明示条件为准。 学习内容 关键判断 分段收费与账单计算 实际用量与计费量 总价与单价 不同收费方案的比较 有效交点与全部方案 同预算与同需求 优惠条件下的购买方案 数量约束 预算 折扣起点 整数 整包购买与零购 是否允许多买 每次结算 套餐起点 调配方案与总费用 四路守恒 费用分段 每个实际范围 条件变化时的最优方案 每件优惠与总优惠 分支和等号 内容目录 一、分段收费与账单计算 2 二、不同收费方案的比较 3 三、优惠条件下的购买方案 5 四、整包购买与零购 7 五、调配方案与总费用 9 六、条件变化时的最优方案 10 A组 基础巩固 12 B组 方法迁移 14 C组 综合提升 17 D组 近年中考真题 22 一、分段收费与账单计算 1、先明确自变量表示实际用量还是计费用量，因变量表示单价、总费用还是利润。收费按每次、每天或每月重新计算时，分次费用要分别计算后相加。 2、累计收费中，后一段费用等于前一段已经产生的费用，加上超出部分的费用。若前单位每单位元，超过部分每单位元，则超过时总费用为不是 3、全量折扣指达到门槛后，全部数量按新的单价计算；它与只给超出部分优惠不同，费用在门槛处可能下降。封顶收费则达到上限后保持不变，给定费用可能对应一段用量。 4、由账单反求用量或分界，先判断数据属于哪一段，求出的数必须回到该段范围检验。 累计收费的相邻两式在分界处应给出同一总费用；全量折扣不能强求两段相接。 如：前10千克每千克4元，超过部分每千克3元。运12千克的费用为元，后段式为只适用于 例1、某货运点按一次托运的实际质量收费，不作整千克进位。一次质量为千克，前千克每千克6元，超出千克的部分每千克4元。已知托运3千克付18元，9千克付46元，12千克付58元。 （1）求并写出总运费与的函数关系式； （2）用70元托运整千克的货物，最多能托运多少千克？ 变式1-1、停车场按实际停车时间收费，不作整小时进位。前2小时收费8元；超过2小时的部分每小时3元；每次费用最高20元。一辆车的停车时间满足小时，交费恰为20元，则的取值范围是________。 变式1-2、某种水果按一次购买的实际质量计费：不足20千克时每千克6元；达到20千克时，所购全部水果每千克5元。一次恰好付款100元，则可能购买的质量共有（ ）种。 A．1 B．2 C．3 D．无数 变式1-3、某物料按每次购买量计费：前10千克每千克3元，超过10千克的部分每千克5元。甲、乙分别购买一次，乙比甲多买4千克，两人共付款64元。 求两人各购买多少千克。 二、不同收费方案的比较 1、比较方案时，所比较的必须是同一需求量的总费用。先写各方案在实际范围内的费用式，再把所有收费分界点合起来分段。 2、每段内可作差或解费用相等的方程，确定哪一方案更省。等费用量必须落在该段，也必须满足套餐的起用条件；无效的解不能当作分界点。 3、有三个方案时，两方案相等不一定表示最省方案发生变化，还要与第三方案比较。按人数、次数计费时，最后只保留允许的整数值，并单独写出费用相同的方案。 4、已知预算求最多次数与已知次数求最低费用是不同的任务。预算求出的次数要向下取到可实施的整数，再比较各方案能完成的次数。 如：甲方案每次10元，乙方案先付30元、每次再付7元。由得少于10次甲省，10次相同，多于10次乙省。若乙只对不少于12次的用户开放，10次的等费点就不能用作实际选乙的起点。 例2、某场馆提供三种一个月内的使用方案。入场总次数是1至60的整数，每人当月只选一种方案。甲：每次10元；乙：先付60元，每次再付6元；丙：200元包含前30次，超过30次的部分每次另付8元。 （1）分别写出三种方案的费用与的关系； （2）按给出费用最少的全部方案。 变式2-1、某体验活动的甲方案每次10元；乙方案先付40元、每次再付5元，但只有当月参加不少于12次的人才能选乙。参加次数为1至30的整数。费用最少时，选择乙方案的次数范围是________。 变式2-2、某场馆每月可选一种方案：甲方案每次15元；乙方案先付60元，每次再付8元。小华有200元预算，入场次数为整数。分别求两方案最多可入场的次数，并求达到最多次数时还剩多少元。 变式2-3、印制一种海报，甲店每张10元；乙店收制版费元，每张另收6元。一次需要印20至45张，张数为整数，且若无论印多少张，乙店总费用都不超过甲店，求的取值范围。 三、优惠条件下的购买方案 1、用一个变量表示各类数量后，逐条写出总量、至少、至多、容量、预算等限制。件数、车数和箱数一般是非负整数；“两种都买”还要求每种数量大于0。 2、遇到折扣门槛，先按门槛分别列费用式，在每一段内解预算条件，再合并实际可行的整数。全量折扣可能使中间一部分数量超预算，而达到折扣门槛后又可行，不能擅自连成一个范围。 3、每段费用为一次式时，先找该段允许的最小或最大整数作为候选，再比较各段候选的费用。最低单价、最少某种数量，都不能代替完整比较。 4、由“恰有几种方案”反求预算时，先按总费用从小到大排列可行方案。费用严格递增时，检查最后一种刚好可行和下一种尚不可行这两个边界；若有同费方案，应一起计入。费用不超过预算对应可以取等号。 如：共买20本，甲每本8元、乙每本5元，甲至少6本。设甲本，则且为整数。预算130元时，共5种，最低118元。 例3、学校一次购买甲、乙两种水杯共100个。甲至少30个，乙至少20个；乙每个30元。甲不足50个时每个40元，达到50个时，所购全部甲款水杯每个34元。设甲买个，总费用为元，预算不超过3360元。 （1）写出与的函数关系式及的范围； （2）共有多少种购买方案？最低费用及对应方案是什么？ 变式3-1、学校租8张餐桌，普通桌每张可坐4人、租金80元，大桌每张可坐6人、租金110元。两种餐桌可任意搭配，空座允许保留。原有38人，租金不超过790元。 （1）有几种租法？最低租金是多少？ （2）若临时增加4人，仍租8张桌且预算不变，求可行租法。 变式3-2、某厂购买10台设备。甲每台300元、每小时加工9件；乙每台200元、每小时加工5件。两类设备均按标明效率工作，每小时总加工量不少于64件。若预算为元，恰有3种满足要求的购买方案，则的取值范围是________。 变式3-3、学校需购买30本同种笔记本。甲店每本8元；乙店每本7元，但规定一次至少买35本，允许多买不用，不退货；两店均无其他收费。可只选一家购买，也可分开购买。满足需要的最低费用为（ ）元。 A．210 B．240 C．245 D．280 四、整包购买与零购 1、整包、套餐含有固定数量时，先设购买包数，再表示尚缺的数量。“允许多买”与“必须恰好满足”是不同条件；未用商品能否退款，也会改变总费用。 2、当整包仍不够时，总费用等于整包费加补足部分的零购费；当整包已经够用时，不再出现负的零购数量。分别找最省候选，再跨分界比较。 3、按每次购买量给优惠时，分两次购买要分别套用规则。若总量为第一次买第二次为两次各自达到门槛的时刻都要列入分段。 4、月中购买套餐时，应明确套餐从何时开始包含次数，过去已付的费用是否退还。已经用过的次数不能再次当作套餐内未用次数。 如：单张10元，5张一包42元，需要12张。买2包再补2张需104元，买3包需126元。允许多买并不意味着必须把包数向上取整。 例4、活动需55张同种门票。单张18元；一包12张，190元。可同时购买整包与单张，允许多买不用，未用票不退钱。设买包。 （1）时，用含的式子表示满足需求的最低费用； （2）求全局最低费用及购买方案。 变式4-1、某团体有41人，租车只可选12座车和5座车，每辆租金分别为100元和50元。允许空座，每人均须有座位，不计司机座位。求最低租金及租车方案。 变式4-2、商店按每次购买量给水果优惠：前8千克每千克10元，超过8千克的部分每千克6元。两组同学分别购买一次，共买24千克，每组至少买5千克，质量可为小数。设第一组买千克，求两组总费用的最小值及所有对应的购买量。 变式4-3、某场馆平时每次15元。小华本月已经参加4次并付清60元，费用不退。现在可付60元购买一张从此时开始生效的套餐，含以后8次，超过这8次的部分每次8元；本月只能买一张套餐。本月最终总次数为6至20的整数。求应当现在购买套餐、继续按次付费或两者相同的次数范围。 五、调配方案与总费用 1、调配问题先列数量表。两个供应点和两个需求点的总量已知时，设一条路线的数量，利用每行、每列的总量可表示其余三条路线；每个数量都必须非负。 2、总费用等于各条路线费用之和。某条路线分段收费时，先求该条路线的费用，再与其他路线相加，不能把超出部分单价乘全部箱数。 3、生产中还要区分机器工作时间、单位时间产量和费用。由总产量表示另一台机器的工作时间后，应同时检查两台机器各自的时间上限。 4、分段费用可能先减后增，最省位置不一定是整个范围的两端。可先按每段增减性找候选，再比较；给定费用反求方案时，每段的解均须检查，可能有多个方案。 如：甲仓10箱、乙仓8箱，A店需7箱、B店需11箱。设甲到A为箱，其余依次为箱，所以且为整数。 例5、两仓库甲有30箱、乙有20箱同种物资，全部运往A、B两店，两店各需25箱。每箱运费：甲到B为9元，乙到A为8元，乙到B为5元；甲到A按本次沿该路线运输的箱数累计计费，前15箱每箱6元，超过15箱的部分每箱16元。设甲向A运箱。 （1）列出四条路线的箱数及的范围； （2）总运费不超过375元时，有几种方案？最低运费及对应方案是什么？ 变式5-1、甲、乙两台机器共同加工60千克物料。甲每小时加工6千克，乙每小时加工4千克；加工量和工作时间均可为小数，每台至多工作10小时。甲的前6小时每小时费用20元，超过6小时的部分每小时60元；乙每小时费用30元，两机可同时工作。若总费用恰为330元，求两台机器各工作多少小时。 变式5-2、甲仓有12箱、乙仓有8箱同种货物，全部运往A店9箱、B店11箱。设甲仓运往A店箱。已知甲到A的路线最多运7箱，乙到B的路线至少运2箱。则的全部可能整数值为（ ）。 A．1至7 B．2至7 C．3至7 D．3至9 变式5-3、甲仓12箱、乙仓8箱货物全部运到A店9箱、B店11箱。每箱运费依次为：甲到A为6元，甲到B为9元，乙到A为元，乙到B为5元。若所有符合供需要求的调配方案总运费都相同，则________。 六、条件变化时的最优方案 1、商品全部售完时，利润等于销售收入减去成本。若每件降价元，卖出件的总利润减少元；不能只从总利润减去元。 2、总量固定的两种商品，可用同一个变量表示数量。分段售价应按各段分别计算收入，再扣全部成本，得到每一段的利润式。 3、对固定的优惠金额，每段仍是一次式。系数为正时该段利润随数量增加而增加，为负时相反，为0时该段所有可行数量的利润相同。分段式中某一段系数为0，不代表其他段也相同。 4、优惠金额变化时，应分别找各段系数为0的金额，再在各范围内确定候选。遇到固定宣传费、启用费，还要与不开启该方案的情况比较；最后写出全部最优整数方案，并回验边界金额。 如：共卖30件，甲每件利润元，乙每件利润8元，甲件数满足总利润时选时选时5至20件的所有整数方案同为240元。 例6、商店一次购进甲、乙商品共60件并全部售完。甲进价每件10元，前20件每件售26元，超过20件的部分每件售22元；乙每件利润8元。设甲件数为进货要求为整数。 促销时每件甲商品均在上述售价基础上再减元，乙不变。求不同下利润最大的全部进货方案。 变式6-1、商店计划购进甲、乙商品共40件并全部售完。乙每件利润8元；甲每件利润为元，若购进甲商品，需另付一次性展示费60元，且甲的数量只能为10至30的整数；也允许完全不购进甲。求不同下获得最大净利润的全部方案。 变式6-2、商店把甲、乙两种商品共50件全部售完。甲前15件每件利润12元，超过15件的部分每件利润6元；乙每件利润9元。现另给每件甲商品元补贴，甲的数量为5至40的整数。若获得最大利润的进货方案恰有26种，则________。 变式6-3、运输公司一次需运箱货物，是20至40的整数。甲方案收固定服务费元，每箱再收5元；乙方案收固定服务费100元，每箱再收3元，若甲方案对每一个允许的箱数都不比乙贵，且至少有一个允许的箱数两方案费用相同，求及费用相同的箱数。 A组 基础巩固 A1、某商品不足11件时每件10元；一次买满11件时，所购全部商品每件8元。由买10件改为买11件，总费用（ ）。 A．增加8元 B．增加10元 C．减少12元 D．减少20元 A2、某次活动甲方案每人28元，乙方案收固定费用200元，每人另收18元，人数为20至40的整数。若选乙比选甲至少节省90元，最少应有________人。 A3、某仓库每次按实际存放时间收费，小时：前3小时共收15元，超过3小时的部分每小时4元。下列可用于计算小时总费用的式子是（ ）。 A． B． C． D． A4、买一种票，普通票每张12元；一张60元的套餐券包含6次使用机会，用完后每次另付9元。套餐券不能退，未用完的次数不退费。某人买券后本期共付96元， 他共使用________次。 A5、某服务套餐每月收固定费用，包含前100分钟；超过100分钟的部分按固定单价计费。某月用150分钟付40元，另一月用220分钟付54元。 （1）求月固定费用及超出部分每分钟的单价； （2）某月付52元，求该月用时。 A6、商店购进100本书，总成本700元。先按每本10元售出本，余下的全部按每本6元售完；每售出1本都另捐1元。 （1）写出扣除成本和捐款后的净利润与的关系及范围； （2）至少按原价售出多少本，净利润才不为负？ A7、学校购买甲、乙两种奖品共40件。甲每件18元，乙每件12元，甲不少于乙的一半，总费用不超过600元。求所有可行的甲奖品数量及最低费用。 A8、活动需45个水杯。商店不足50个时每个20元；一次购买不少于50个时，所购全部水杯每个16元。允许多买，未用水杯不退。求满足需要的最低费用和购买数量。 B组 方法迁移 B1、某物料每月独立计费：前15千克每千克2元，超过15千克的部分每千克3元，允许某月用量为0。已知两个月共付款90元，求这两个月总用量的最小值和最大值，并各给出一组达到该值的月用量。 B2、购买同种纪念册，甲店每本10元，一次买满20本减20元，且只减一次；乙店每本9.2元，没有其他优惠。一次需买本，为1至40的整数，必须在同一家买齐且不多买。求不同下费用最少的方案。 B3、采购40件同种物品。甲供应点每件6元，最多供25件；只要向甲采购就另收一次运费80元。乙每件9元，可供足40件且无运费。允许分开采购， 满足需要的最低费用为（ ）元。 A．360 B．365 C．320 D．240 B4、需把90箱货物一次运完。甲车每辆装12箱、租金100元，最多6辆；乙车每辆装18箱、租金135元，最多4辆。每辆车必须装满，不允许剩余或多运。 求所有租车方案及最低租金。 B5、商店购进甲、乙商品共80件。甲每件进价8元，最多能按每件14元售出30件，其余甲商品每件只能回收6元；乙商品全部售完，每件利润4元。设购进甲件，且为整数。求利润不少于365元的所有进货方案，并求最大利润。 B6、甲供应点前20件每件8元，超过20件的部分每件5元。乙供应点每次收固定费用元，每件另收元，在采购10件或40件时，两点报价都相同。 则________，________；若一次采购25件，乙比甲省________元。 B7、某活动有三种方案：甲每人10元；乙收固定费元，每人再收6元；丙不论人数共收190元。每组只能选一种方案。已知20人参加时，最低总费用恰为160元，且 （1）求 （2）人数为1至40的整数时，给出最省的全部方案。 B8、购买甲、乙两种物品共60件，每种各至少10件。甲只按每包6件出售，乙只按每包4件出售。甲不足30件时每件20元，达到30件时所购全部甲物品每件16元；乙每件12元。总费用不超过900元，必须恰好买60件。求所有可行购买方案及最低费用。 C组 综合提升 C1、一次购买45件同种物品，可在甲、乙两店分开购买。甲不足20件时每件9元，达到20件时所购全部甲店物品每件7元，甲店最多供40件；乙店前15件每件5元，超过15件的部分每件10元。设在甲店买件，允许某店不买，不另收费用。 （1）写出总费用与的关系； （2）预算不超过300元时有几种方案？最低费用是多少？ C2、工厂生产甲、乙产品共100件，甲每件生产成本20元，乙每件10元。甲最多能按每件30元售出40件，余下每件仅回收16元；乙最多能按每件16元售出70件，余下每件仅回收8元。所有产品均按上述方式售出或回收。 （1）不考虑生产预算时，怎样生产可使利润最大？ （2）若生产费用不超过1350元，求最大利润及方案。 C3、需一次接送230名乘客。大车45座、租金600元，小车30座、租金450元，座位数不含司机。两种车数量均充足，允许空座。满足需要的最低租金为（ ）元。 A．3150 B．3300 C．3450 D．3600 C4、一种练习本单本8元，每包10本，整包价64元。可整包与单本混买，允许多买，未用本不退。需用本数为40至60的整数。按给出最低费用及全部最省的购买方案。 C5、食堂第一天需15千克、第二天需25千克同种食材。每天购买都重新计价：前20千克每千克10元，超过20千克的部分每千克6元。允许第一天预买第二天的部分食材，最多预买15千克；预买的食材每千克另花元保存费，保存没有损耗。两天必须恰好用完全部食材。求不同下费用最少的全部购买方案。 C6、采购甲、乙两种物品共40件，甲件数为10至30的整数。乙每件20元；甲不足20件时每件30元，不另收费用；甲达到20件时所购全部甲物品每件24元，并加收一次性批量配送费50元。现每件甲物品均补贴元，配送费不补贴。求不同下实际支出最少的全部采购方案。 C7、一次运输箱货物，是10至60的整数。甲方案收固定费用元，每箱另收2元；乙方案前20箱每箱5元，超过20箱的部分每箱1元。若对每个允许的选甲都比选乙至少省10元、至多省55元，已知则的取值范围是________。 C8、商店一次购进甲、乙商品共60件，甲件数为20至50的整数。甲不足30件时进价每件12元，达到30件时所购全部甲商品进价每件10元；乙进价每件8元。甲最多能按每件16元售出40件，多余甲商品每件回收8元；乙全部按每件11元售完。进货预算不超过570元，最终利润不少于250元。 （1）求全部可行进货方案的数量； （2）求最大利润及方案。 D组 近年中考真题 D1、（2025年江苏盐城中考第24题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买A，B两款机器人．已知A款机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人的数量相同． （1）求A，B两款机器人的单价． （2）如果购买A，B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． D2、（2025年四川德阳中考第23题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． （1）A型、B型挂面的单价分别是多少元？ （2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ D3、（2026年四川南充中考第23题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 材料 内容 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利．鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚；若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；加工厂安排皮蛋加工线不低于3条；一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元；一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． （1）该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ （2）工厂有几种安排加工线的方案？ （3）如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． D4、（2026年四川攀枝花中考第21题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $