专题11一次函数与方程（组）.不等式及应用专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题11一次函数与方程（组）.不等式及应用专题通关讲义 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 .⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 知识点04:一次函数应用解题步骤（通用） 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1、实际问题遗漏自变量取值范围 易错提醒：一次函数实际应用场景中，自变量受现实条件约束，无法取全体实数；求解函数值、最值及最优方案时，必须在自变量有效取值范围内运算。 2、错用图像数据计算变化速率 易错提醒：一次函数变化速率由斜率k决定，需通过纵横坐标变化量的比值求解；不可直接用纵坐标差值判定或代替实际变化速率。 3、误解双函数交点的实际几何意义 易错提醒：两个一次函数图像的交点坐标，同时满足两个函数解析式；横坐标为两组变量数值相等的对应时刻，纵坐标为对应函数值，可通过交点两侧图像位置判定函数值大小。 4、行程图像水平线段含义判定错误 易错提醒：函数图像水平线段表示自变量递增、函数值恒定不变；在行程问题中代表物体静止无位移，不可持续计算路程变化。 5、函数方案对比未分段讨论 易错提醒：多组一次函数方案比较，需列不等式划分自变量取值区间分析；不同区间最优方案存在差异，不可仅凭斜率大小直接判定最优方案。 6、一次函数与二元一次方程对应关系混淆 易错提醒：任意二元一次方程的所有解，对应对应一次函数图像上所有点的坐标；一次函数图像上任意一点坐标，均为对应二元一次方程的一组解，二者为整体对应关系。 7、方程组解与函数交点关系理解偏差 易错提醒：两个一次函数的交点坐标，为对应二元一次方程组的唯一解；两直线平行无交点时，对应二元一次方程组无解，不可混淆位置关系与方程解的情况。 8、函数交点坐标书写顺序错误 易错提醒：二元一次方程组的解，对应直线交点坐标为(a,b)，必须严格遵循横坐标在前、纵坐标在后的书写规则，不可颠倒顺序。 9、解题运算未统一物理单位 易错提醒：题干含多种计量单位时，需统一全部单位后再代入解析式计算；单位不统一会导致解析式求解、最终计算结果全部出错。 题型 考察方向 难度 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解  ★★ 题型二 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★★ 题型三 利用图象法解一元一次方程  ★★ 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 ★ 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 ★★★ 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★★ 题型七 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型八 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型九 分配方案问题 ★★ 题型十 最大利润问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 梯度计价问题 ★★★ 题型十三 其他问题 ★★★ 题型十四 一次函数与几何综合 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为________． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数， 例如：一次函数，它的相关函数为 (1)已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为__________； (2)已知一次函数， ①这个函数的相关函数为__________； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值． 题型二 由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 5．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 7．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 题型三 利用图象法解一元一次方程  8．一次函数 和的部分对应值如表所示，其中，设这两个一次函数的图象交于点，则所在的范围是（　　） x 1 3 5 2 6 10 A． B． C． D． 9．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．在平面直角坐标系中，一次函数（m，b均为常数）的图象与正比例函数（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 11．已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．如图，已知函数的图象与x轴交于点，则当时，x的取值范围为______． 13．如图，直线（）与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的值． 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 15．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为___________ 17．已知函数，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，三个函数值中的最小值，则y的最大值为（     ）    A．1 B． C． D． 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解  18．直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 19．如图，一次函数和的图象交于点A，则二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 20．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是________． 21．如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 题型七 图象法解二元一次方程组 22．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________． 24．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 题型八 求直线围成的图形面积 25．直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 26．在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______． 27．如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 28．如图，已知直线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与直线交于点． (1)求出a，b的值； (2)求的面积． 题型九 分配方案问题 29．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 30．某茶店打算购进青茶和八宝茶进行销售，已知八宝茶采购成本为元/盒，青茶的采购成本（元）与采购数量（盒）之间的函数关系如图所示．该茶店打算购进两种茶共盒． (1)求与的函数解析式； (2)已知该店八宝茶和青茶的售价分别为元/盒，元/盒，购进青茶的数量不少于八宝茶的数量，则该店应当如何购进两种茶，才能使销售完这两种茶获得的利润最大？最大利润是多少？ 31．某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． (1)①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． (2)为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 题型十 最大利润问题 32．2026年上半年中国人形机器人全球出货量占比超97%，人工智能、机器人、创新药组成的“新新三样”，成为中国外贸最新名片．某公司计划采购甲、乙两种机器人共50台，已知甲种机器人的单价为60万元/台，乙种机器人的单价为65万元/台．设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购买甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 33．某化妆品商店决定购进A、B两种品牌的防晒霜．经预算，若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元． (1)求A、B两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？ (2)根据市场需求，商店决定购进这两种品牌的防晒霜90套，其中购进B品牌的数量不低于购进A品牌数量的2倍，销售1套A品牌防晒霜的价格为130元，销售1套B品牌防晒霜的价格为95元，设购进A品牌防晒霜m套，两种品牌的防晒霜全部售完时所获的利润为w元．求w与m的函数关系式，并确定该商家如何进货才能获得最大利润？ 34．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 题型十一 行程问题 35．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 36．甲、乙两人同时从相距90千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达地停留半小时后返回地．如图是他们离地的距离（千米）与时间（）之间的函数关系图象． (1)求甲从地返回地的过程中，直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从地到地用了多少分钟． 37．已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 题型十二 梯度计价问题 38．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 39．某市为鼓励市民节约用水，自来水公司采用分段收费标准收费．每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示． (1)小兰家7月份用水，应交水费多少元？ (2)按图示分段收费标准计算，小兰家3月份和4月份分别交水费29元和19.8元．小兰家4月份比3月份少用水多少吨？ 40．游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 题型十三 其他问题 41．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 42．某水库一天的水位监测记录显示：前4个小时的水位没有变化，随后的20个小时，水位每小时上升的高度相同．水库内的水位高度与时间之间的函数关系如图所示． (1)随后的20个小时，水位每小时上升 ； (2)求所在直线对应的函数关系式； (3)当水位达到警戒水位时，求的值． 43．杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 题型十四 一次函数与几何综合 44．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点 (1)求直线的函数解析式； (2)若点是射线上的动点，且，求点的坐标． 46．【探索发现】 (1)如图①，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)如图②，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若，过点B在y轴左侧作，且，连接，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图③，四边形为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限．若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数与方程（组）.不等式及应用专题通关讲义 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 .⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 知识点04:一次函数应用解题步骤（通用） 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 1、实际问题遗漏自变量取值范围 易错提醒：一次函数实际应用场景中，自变量受现实条件约束，无法取全体实数；求解函数值、最值及最优方案时，必须在自变量有效取值范围内运算。 2、错用图像数据计算变化速率 易错提醒：一次函数变化速率由斜率k决定，需通过纵横坐标变化量的比值求解；不可直接用纵坐标差值判定或代替实际变化速率。 3、误解双函数交点的实际几何意义 易错提醒：两个一次函数图像的交点坐标，同时满足两个函数解析式；横坐标为两组变量数值相等的对应时刻，纵坐标为对应函数值，可通过交点两侧图像位置判定函数值大小。 4、行程图像水平线段含义判定错误 易错提醒：函数图像水平线段表示自变量递增、函数值恒定不变；在行程问题中代表物体静止无位移，不可持续计算路程变化。 5、函数方案对比未分段讨论 易错提醒：多组一次函数方案比较，需列不等式划分自变量取值区间分析；不同区间最优方案存在差异，不可仅凭斜率大小直接判定最优方案。 6、一次函数与二元一次方程对应关系混淆 易错提醒：任意二元一次方程的所有解，对应对应一次函数图像上所有点的坐标；一次函数图像上任意一点坐标，均为对应二元一次方程的一组解，二者为整体对应关系。 7、方程组解与函数交点关系理解偏差 易错提醒：两个一次函数的交点坐标，为对应二元一次方程组的唯一解；两直线平行无交点时，对应二元一次方程组无解，不可混淆位置关系与方程解的情况。 8、函数交点坐标书写顺序错误 易错提醒：二元一次方程组的解，对应直线交点坐标为(a,b)，必须严格遵循横坐标在前、纵坐标在后的书写规则，不可颠倒顺序。 9、解题运算未统一物理单位 易错提醒：题干含多种计量单位时，需统一全部单位后再代入解析式计算；单位不统一会导致解析式求解、最终计算结果全部出错。 题型 考察方向 难度 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解  ★★ 题型二 一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 ★★ 题型三 利用图象法解一元一次方程  ★★ 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 ★ 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 ★★★ 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 ★★★ 题型七 图象法解二元一次方程组 ★★ 题型八 求直线围成的图形面积 ★★★ 题型九 分配方案问题 ★★ 题型十 最大利润问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 梯度计价问题 ★★★ 题型十三 其他问题 ★★★ 题型十四 一次函数与几何综合 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．如图，已知一次函数的图象为直线，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到答案． 根据函数图象可得与轴交于点，于是得到结论． 【详解】解：由图象知一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的方程的解． 故选：B． 2．如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 4．定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数， 例如：一次函数，它的相关函数为 (1)已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为__________； (2)已知一次函数， ①这个函数的相关函数为__________； ②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】（）根据例子中函数的相关函数，将点代入即可求解； （）根据相关函数的定义即可求解； 分，两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴点在上，当时， ∴， 故答案为：； （2）根据题意：一次函数相关函数为：， 故答案为：， 若点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，，解得： ， 当时，，解得：， ∴或． 【点睛】此题考查了互为相关函数的定义，掌握一次函数的性质、 一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 题型二 由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点 5．直线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意令，即可求得直线与轴的交点坐标 【详解】解：令， 则， 直线与轴的交点坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，理解坐标轴上的点的特征是解题的关键． 6．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 7．如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点． (1)求m，b的值； (2)若，直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键． （1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可； （2）利用图象法解不等式即可； （3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）由题意得，点在的图象上， ， ； ， ，在直线上， ， ； （2）， 由图象可知，若，则x的取值范围是； （3），当时，， ， ，当时，， ， ． 题型三 利用图象法解一元一次方程  8．一次函数 和的部分对应值如表所示，其中，设这两个一次函数的图象交于点，则所在的范围是（　　） x 1 3 5 2 6 10 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两直线的交点问题，正确理解函数图象交点的意义是解题的关键． 当时，， ，则；当时，， ，则；在和之间存在两个函数值相等，即可求解． 【详解】解：当时，， ，则； 当时，， ，则； ∴在和之间存在两个函数值相等， ∵这两个一次函数的图象交于点， ∴． 故选：B． 9．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于��的方程的解是． 10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．在平面直角坐标系中，一次函数（m，b均为常数）的图象与正比例函数（n为常数）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一次函数与方程的关系可知，当值相等时，坐标的值就是方程的解的值．由和两个函数表达式，可得，即值相等，即可求解． 【详解】解：由图可知和的交点坐标为 的解为 的解为 故答案是：D． 【点睛】本题考查一次函数与方程的关系，难度不大．关键在于理解当值相等时，坐标的值就是对应方程的解的值，即交点坐标的横坐标与纵坐标在方程中的意义． 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 11．已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察函数图象可知，当时，的取值范围为． 12．如图，已知函数的图象与x轴交于点，则当时，x的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据函数图象与 轴的交点坐标，结合图象在 轴上方的部分对应的自变量取值范围即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，直线 与 轴交于点 ， 且函数值 随自变量 的增大而减小， ∵当时，函数图象位于轴上方， ∴观察图象可知，此时的取值范围是． 13．如图，直线（）与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，再结合图象求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则， ∵， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为 由图象可知，两直线交点的横坐标为，当时，直线在直线的上方，即 当时，直线在轴上方，即 ∴关于的不等式的解集为． 14．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得为，为，根据题意可得，，，再根据当时，对于的每一个值都成立即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得 ， 解得，； （2）由（1）可得，为，为， 当时，对于的每一个值，函数（）的值小于函数的值，且大于函数的值， ，， 对于， ， ， 当，即时，恒成立； 当，即时，， ∴，即，与相矛盾，舍去； ； 对于，有， ， ， 此时， ， 解得； ． 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 15．如图，一次函数的图象与正比例函数的图象都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察函数图象，找出一次函数图象位于正比例函数图象下方时对应的自变量 的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，两函数图象交点的横坐标为 当 时，一次函数 的图象在正比例函数 的图象下方 不等式 的解集为． 16．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为___________ 【答案】 【分析】先将点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点的横坐标，再根据函数图象的位置关系，找出直线在直线下方时对应的的取值范围． 【详解】解：函数的图象过点 ， 解得， 点的横坐标为． 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象下方， 不等式的解集为． 17．已知函数，，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取，，三个函数值中的最小值，则y的最大值为（     ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求三个函数两两相交的交点，把图像分成几段，再在每一段里找出位置最低的那条线，最后看这些“最低线”里的最高点，就是y的最大值． 【详解】解：如图，设与交于点A，设与交于点B，设与交于点C，    联立与的解析式，得， 解得 ，即交点 ； 联立与的解析式，得 ， 解得，即交点； 联立与的解析式，得 ， 解得，即交点； 当时，且，，此时随增大而增大，最大值为； 当时，且（验证时），，此时随增大而增大，最大值为； 当 时，且，，此时随增大而减小，值小于； 综上所述，的最大值为． 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解  18．直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可直接得到答案. 【详解】解：∵直线和交于点， ∴方程组的解就是两直线交点的坐标，即. 19．如图，一次函数和的图象交于点A，则二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数图象上点的坐标特征求出交点坐标，再由一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：将代入和，可得 解得， ∴ ∴ ∴直线和直线的交点为， 即方程组的解为， 即方程组的解为． 20．如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是________． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，再根据两直线的交点的横纵坐标即为两直线的函数解析式联立得到的方程组的解可得答案． 【详解】解：在中，当时，，解得， ∴点P的坐标为， ∴关于，的方程组的解是． 21．如图，直线交x轴于点A，交直线于点P． (1)求点P的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，联立两个函数求解即可； （2）由函数解析式确定，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：由，解得 即点P的坐标为． （2）解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，，即． ∵， ∴． 题型七 图象法解二元一次方程组 22．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 23．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A，点B（m，0）是x轴上的一个动点，过点B作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点，若，则m的值为____________． 【答案】或 【分析】分别求出A、C、D三点坐标，根据，利用坐标列式计算即可． 【详解】∵由直线y＝﹣x+1与直线y＝﹣2x交于点A， ∴点A坐标（－1，2）， ∵过点B（m，0）作y轴的平行线分别交直线y＝﹣x+1、直线y＝﹣2x于C、D两点， ∴点C坐标（m，1－m），点D坐标（m，－2m）． ∴， 解得 故答案为或． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键． 24．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 题型八 求直线围成的图形面积 25．直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出直线与轴、轴的交点坐标，利用交点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，再代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 令，则， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵坐标轴互相垂直， ∴围成的三角形是直角三角形， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：． 26．在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键． 设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点， 联立直线，的解析式组成方程组得：， 解得：， 点的坐标为， 同理：点的坐标为，点的坐标为． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示， ， ， 直线，，围成三角形的面积为． 故答案为：． 27．如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短． 设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得，     ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得，     ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为1，的最小值为． 故选：C． 28．如图，已知直线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，且与直线交于点． (1)求出a，b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入得，将代入得； （2）先求出和，得到，再根据计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴, 将代入得，解得； （2）解：由（1）得， 令时，，解得，； 令时，，解得，； ∴， ∴． 题型九 分配方案问题 29．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x次，所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，所需费用、元关于入园次数x次的函数表达式； (2)当消费多少次时，甲、乙两种消费卡的费用相同？ (3)若进入生态体验园15次，采用哪种方式比较划算？ 【答案】(1)， (2)当消费10次时，选择两种消费卡的费用相同 (3)当进入生态体验园15次，采用乙方式比较划算 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的点求出甲、乙两种卡费用关于入园次数的函数表达式； （2）通过联立两个函数表达式的方程，求解费用相同时的入园次数； （3）将入园次数代入两个函数表达式，比较费用大小确定划算的方式． 【详解】（1）解：甲卡：设，由图象过点，得，解得，所以； 乙卡：设，由图象过点，得，解得，所以． （2）解：联立和，得，解得，即消费10次时，两种卡费用相同． （3）解：当时，， 因为，所以采用乙卡比较划算． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数表达式，联立一次函数方程求交点，以及通过代入求值比较函数值大小是解题的关键． 30．某茶店打算购进青茶和八宝茶进行销售，已知八宝茶采购成本为元/盒，青茶的采购成本（元）与采购数量（盒）之间的函数关系如图所示．该茶店打算购进两种茶共盒． (1)求与的函数解析式； (2)已知该店八宝茶和青茶的售价分别为元/盒，元/盒，购进青茶的数量不少于八宝茶的数量，则该店应当如何购进两种茶，才能使销售完这两种茶获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当购进青茶盒，八宝茶盒时，利润最大，为元 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，再将，代入求解即可； （2）设购进青茶盒，利润为元，则购进八宝茶为盒，先根据“购进青茶的数量不少于八宝茶的数量”列出关于的不等式，可确定的范围；再根据“销售收入减去成本等于获取的利润”列出关于的一次函数，然后利用一次函数的性质及问题的实际意义，即可得出答案． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：设购进青茶盒，利润为元，则购进八宝茶为盒， 依题意得：， 解得：， ∴（为整数）， ∵， 又∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为：， 此时（盒）， 答：当购进青茶盒，八宝茶盒时，利润最大，为元． 31．某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． (1)①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． (2)为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 【答案】(1)①20；②租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆；720元 (2)60辆 【分析】（1）①根据车辆数和价格列出方程并解方程即可；②设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元．根据租金总额列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：①若A型观光车租用4辆，则B型观光车租用辆，C型观光车租用辆， 由题意可得， 解得， 即该单位一共租了辆观光车． ②解：设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元． 可得 ， 随x的增大而减小 当时，； 此时租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆； （2）由题意得， ， ，即， ， 又为4的倍数． 最大为． 题型十 最大利润问题 32．2026年上半年中国人形机器人全球出货量占比超97%，人工智能、机器人、创新药组成的“新新三样”，成为中国外贸最新名片．某公司计划采购甲、乙两种机器人共50台，已知甲种机器人的单价为60万元/台，乙种机器人的单价为65万元/台．设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的2倍，该公司购买甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1) (2)购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元 【分析】（1）根据题意，用字母表示出两种机器人的购买数量，再用成本数量单价进行表示即可． （2）根据题干列出不等式，求出自变量的取值范围，再结合一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：甲种机器人的购买数量为台，则乙种机器人的购买数量为台， 由题意得，， 关于的函数表达式为． （2）由题意得，，解得，     为正整数， 的最大值为33， 在中，， 随的增大而减小， 当时，取最小值，， 答：该公司购买甲种机器人33台时花费最少，最少费用为3085万元． 33．某化妆品商店决定购进A、B两种品牌的防晒霜．经预算，若购进A品牌防晒霜5套，B品牌防晒霜6套，则需950元；若购进A品牌防晒霜3套，B品牌防晒霜2套，则需450元． (1)求A、B两种品牌的防晒霜每套的进价各为多少元？ (2)根据市场需求，商店决定购进这两种品牌的防晒霜90套，其中购进B品牌的数量不低于购进A品牌数量的2倍，销售1套A品牌防晒霜的价格为130元，销售1套B品牌防晒霜的价格为95元，设购进A品牌防晒霜m套，两种品牌的防晒霜全部售完时所获的利润为w元．求w与m的函数关系式，并确定该商家如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1) A品牌防晒霜每套进价为100元，B品牌防晒霜每套进价为75元． (2) 与的函数关系式为（，且为整数）； 购进A品牌防晒霜30套、B品牌防晒霜60套时获得最大利润． 【分析】（1）根据两种购进方案的总费用，列二元一次方程组求解两种防晒霜的进价； （2）根据总利润的计算方法列出与的函数关系式，结合B品牌数量的限制条件确定的取值范围，再根据一次函数的增减性找到最大利润对应的进货方案． 【详解】（1）解：设A品牌防晒霜每套进价为元，B品牌防晒霜每套进价为元， 由题意得： ， 解得， 答：A品牌防晒霜每套进价为100元，B品牌防晒霜每套进价为75元． （2）解 ：∵购进A品牌防晒霜套， ∴购进B品牌防晒霜套， 单套A品牌利润为（元），单套B品牌利润为（元）， ∴， 由题意得， 解得， 又∵，且为整数， ∴，且为整数， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：与的函数关系式为（，且为整数）；购进A品牌防晒霜30套、B品牌防晒霜60套时，能获得最大利润． 34．2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车的进价比4辆“晨光”型汽车少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划购进这两款汽车共80辆，已知“晨光”型汽车的售价为30万元/辆，“清风”型汽车的售价为26万元/辆．设购进“晨光”型汽车a辆，80辆车全部售完的获利为W万元．根据库存与市场需求，购进“晨光”型汽车的数量不低于30辆．该体验中心应购进“晨光”型和清风型汽车各多少辆，才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元 (2)该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元．根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得出；由题意可得，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车进货单价为x万元，“清风”型汽车的进货单价为y万元． 由题意得：，解得：． 答：“晨光”型汽车的进货单价为25万元，“清风”型汽车的进货单价为20万元． （2） 解：设购进“晨光”型汽车辆，则购进“清风”型汽车辆，； 由题意可得， ， ∴W随a的增大而减小， ∴当，W取最大值，最大值，此时，． 答：该体验中心应购进“晨光”型30辆，“清风”型汽车50辆，才能使W最大，W最大为450万元． 题型十一 行程问题 35．如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． (1)__________米； (2)记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； (3)若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】(1)1200 (2)；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 (3)600米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可得：米； （2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 36．甲、乙两人同时从相距90千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达地停留半小时后返回地．如图是他们离地的距离（千米）与时间（）之间的函数关系图象． (1)求甲从地返回地的过程中，直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从地到地用了多少分钟． 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）结合图象得出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据一次函数解析式求出乙的行驶距离，然后求出速度，即可得出时间． 【详解】（1）解：假设甲从地返回地的过程中的函数关系式为， 由图可得和，代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：108分钟小时， 当时，（千米）， ∴乙的速度为（千米分钟）， ∴乙从地到地用时为（分钟）， ∴乙从地到地用了分钟． 37．已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】先求出小时行驶路程为，再通过“速度路程时间”即可求解； 根据题意得当时，小张第一次与小李相遇，分别求出解析式，然后列方程、解方程即可； 分当，时，当时，当时，当时，当时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵小张乘车从成都出发，先以行驶小时， ∴小时行驶路程为， ∴改变速度后，小张所乘汽车的速度为（千米时）； 小李的速度为（千米时）； （2）解：如图，当时，小张第一次与小李相遇， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， ∴小张第一次与小李相遇时， 解得， 答：小张出发小时后，第一次与小李相遇； （3）解：如图， 当时，设小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 解得， ∴当时，小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 当时，设小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴，解得， ∴小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， ∵设备最大通讯距离为千米， ∴， ∴当，时， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ， 或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴通讯时间为（小时）； ∴通讯总时间为（小时）； 答：小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间为小时． 题型十二 梯度计价问题 38．为节约能源，促进居民养成低碳生活的习惯，我市采取阶梯计费的方式收取燃气费，收费标准如表： 阶梯 年用气量 价格 第一阶梯 （含）的部分 2.94元/ 第二阶梯 （含）的部分 3.23元/ 第三阶梯 以上的部分 3.82元/ (1)设燃气的年用气量为，燃气费为元，求关于的函数解析式； (2)某居民家今年使用燃气，该居民今年的燃气费是多少元？ 【答案】(1) (2)该居民今年的燃气费是1897.2元 【分析】（1）根据第二阶梯和第三阶梯的计费方式分两种情况表示即可； （2）将代入（1）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 综上所述，； （2）解： 当时，， 答：该居民今年的燃气费是1897.2元． 39．某市为鼓励市民节约用水，自来水公司采用分段收费标准收费．每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示． (1)小兰家7月份用水，应交水费多少元？ (2)按图示分段收费标准计算，小兰家3月份和4月份分别交水费29元和19.8元．小兰家4月份比3月份少用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)吨 【分析】（1）结合图象先求两段函数解析式，把代入对应解析式即可得水费； （2）由水费判断所属收费段，分别代入对应解析式求出3月份和4月份用水量，再相减即可． 【详解】（1）解：当时，设，代入得 ， 解得， ∴； 当时，设，代入、得 ， 解得， ∴； 当时，（元）， 答：应交水费15.4元； （2）解：3月份交水费29元，，，解得； 4月份交水费19.8元，，，解得； ∴小兰家4月份比3月份少用水（吨）． 40．游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)， (2)当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 (3) 【分析】（1）根据B种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用A、B、C种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可． （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个，可得两个函数图象有两个交点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． （2）解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． （3）解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 题型十三 其他问题 41．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 【答案】1125元 【详解】解：由图象，当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：，解得， ， ∴当时，． 答：当销售量为66件时，销售金额为1125元. 42．某水库一天的水位监测记录显示：前4个小时的水位没有变化，随后的20个小时，水位每小时上升的高度相同．水库内的水位高度与时间之间的函数关系如图所示． (1)随后的20个小时，水位每小时上升 ； (2)求所在直线对应的函数关系式； (3)当水位达到警戒水位时，求的值． 【答案】(1)0.75 (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象的信息获取，待定系数法求一次函数解析式． （1）先算出随后的20个小时的水位高度变化量，结合总增加水量和时间，可求出水位每小时上升量． （2）因为当时，设所在直线对应的函数关系式为，利用待定系数法求解函数关系式． （3）将代入（2）中求得的函数关系式中，求解即可． 【详解】（1）解：前4个小时的水位没有变化，总水位高度为，到共，水量高度从增加到，总增加水量， 水位每小时上升． 故答案为：． （2）解：当时，设所在直线对应的函数关系式为， 由图可知，函数过点和， 代入得： ， 解得， 因此函数关系式为：． （3）解：将代入解析式： ， 解得：． 43．杆秤是中国人发明的人类最早的衡器．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为．根据杠杆原理，可得：．已知．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)随着的变化而变化，求出关于的函数表达式． (2)在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离． (3)在保持秤杆和秤盘不变的基础上，对于提纽的位置和秤砣的质量，改变其中一个时，另一个保持不变． ①在下列选项中，能使称重范围变大的有___________（填写所有正确的选项） A．提纽的位置向左移        B．提纽的位置向右移 C．秤砣的质量变小        D．秤砣的质量变大 ②若将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为___________． ③由于生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，则生锈秤砣的质量为___________． 【答案】(1) (2)零刻度所对应的点与点之间的距离为. (3)①AD；②，③ 【分析】本题考查的是一次函数的应用，方程的应用，理解难度大. （1）根据公式代入已知数量可得答案. （2）由零刻度时，，可得. （3）①结合与逐一分析即可；②由，，，，，可得，再进一步解方程即可；③求解当一个物体的质量为，可得，设生锈的秤砣的质量为，结合，进一步建立方程可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴. （2）解：∵零刻度时，， ∴， ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为. （3）解：①∵，提纽的位置向左移， ∴变小，则最大， ∵， ∴最大，故A符合题意， 同理可得：提纽的位置向右移，减小，故B不符合题意， ∵，秤砣的质量变小， ∴变小，故C不符合题意； ∵，秤砣的质量变大， ∴变大，故D符合题意. 故答案为：AD ②∵，，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴将提纽的位置向左移动，使的长度变为原来的一半，则杆秤的最大称重值为. ③∵当一个物体的质量为， ∴， ∵，设生锈的秤砣的质量为， ∴， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． 题型十四 一次函数与几何综合 44．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)存在一点，使得，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是利用分类讨论思想解题． （1）将代入可求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分情况讨论：①当点在轴上时；②当点在轴上时． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得， 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， ①当点在轴上时，， ， ， ，， 点的坐标为或， ②当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点 (1)求直线的函数解析式； (2)若点是射线上的动点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先根据求出、两点坐标，从而求出点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点的横坐标为，根据求出，据此计算即可求出坐标． 【详解】（1）解：关于， 令，则， 解得， ； 令，则， ； ， 点为线段的中点， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：由（1）得，，， ， ， 设点的横坐标为， ， ， ， 解得， 由（1）得直线的函数解析式为， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或． 46．【探索发现】 (1)如图①，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)如图②，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．若，过点B在y轴左侧作，且，连接，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图③，四边形为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限．若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． 【答案】(1)证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)当变化时，的面积是定值，理由如下： 过点作轴， 同理可得， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴当变化时，的面积是定值； (3)点的坐标为或 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，再证明，从而即可推出； （2）过点作轴，同理可得，求出，从而可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于点，交直线于，当点在矩形外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，分别结合全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：当点是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况： 当点在矩形的内部时，如图，过作轴的平行线，交直线于点，交直线于， ∵点的坐标为， ∴， 设，则，，， 由（1）可得，则， ∴， 解得， ∴， ∴，此时，，符合题意； 当点在矩形外部时，如图，过作轴的平行线，交直线于，交直线于， 设，则，，， 同理可得，则， ∴， 解得， ∴， ∴，此时，，，符合题意； 综上所述，点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $