精品解析：广西壮族自治区来宾市武宣县第二中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

高二年级上学期阶段测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程的两点式得直线方程，令，解出即可求解. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得，化简可得， 令，可知，解得，所以直线l在x轴上的截距为. 故选：D. 3. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 4. 设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 【详解】由函数得 设，则曲线在点P处的切线的斜率 又点P处的切线倾斜角为α，则. 又，所以 故选：A 【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 5. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为，则这个锐二面角的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量求两个向量的夹角的余弦公式求解即可. 【详解】由＝＝, 这个锐二面角的平面角的余弦值为. 故选：A. 7. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以点C到直线的距离为. 故选：D. 8. 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 (　 　) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x＝－3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，－1)到直线x＝－3的距离减去半径2，即最小值为4，故选B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】计算直线定点得到A正确，计算截距为得到B错误，计算倾斜角得到C正确，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：直线必过定点，正确； 对选项B：取得到，故在轴上的截距为，错误； 对选项C：直线的斜率为，， 故，正确； 对选项D：过点，且与坐标轴截距相等，错误； 故选：BD 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A错误； 对于B，判断两圆的位置关系即可； 对于C，可判断点的轨迹是圆心为，半径为的圆，又点在直线上，故直线与该圆有公共点，易求出的取值范围； 对于D，弦中点的轨迹是以为直径的圆，求出的最值，即可求出的取值范围. 【详解】对于A，当直线过原点时，直线方程为，满足条件，A错误； 对于B，圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则圆心距，又， 由，可知， 两圆相离，圆与圆共有条公切线，故B正确； 对于C，连接，，，如图， 则易知四边形为正方形， ，点的轨迹是圆心为，半径为的圆， 又点在直线上，故直线与该圆有公共点， 圆心到直线的距离，， 实数的取值范围为，故C正确； 对于D，取中点，连接，如图所示： 则， 点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径， ， ，即， ， 的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知曲线，下列说法正确的有（ ） A. 若曲线表示椭圆，则或 B. 若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出的取值范围，可判断AC选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD选项. 【详解】对于A选项， 若曲线表示椭圆，则，解得，A错； 对于B选项，若曲线表示椭圆，则，椭圆的标准方程为， 椭圆的焦距为，B对； 对于C选项，若曲线表示双曲线，则，解得，C对； 对于D选项，若曲线表示双曲线，则双曲线的标准方程为， 双曲线的焦距为，D对. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断即可. 【详解】在正方体中， 平面、平面、平面、平面均与平面垂直， 平面与平面平行， 故正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为个. 故答案为： 13. 经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案. 【详解】倾斜角为的直线的斜率为， 又该直线经过点， 所以其点斜式方程为 故答案为： 14. 已知直线与垂直，那么_____. 【答案】 【解析】 【分析】由斜率乘积为，即可求解； 【详解】的斜率为， 因为与垂直， 所以的斜率为， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 【答案】 【解析】 【分析】设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解. 【详解】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上， 代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4，0)在直线l上， ∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0. 16. 已知直线l过点，且与以为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据过定点的直线与线段的相交关系，可以求出直线的斜率的取值范围 【详解】如图所示， 直线PA的斜率， 直线PB的斜率， 直线l绕着P点从PA旋转到与y轴平行的位置PC时， 它的斜率的取值范围是． 直线l 绕着P点从PC 旋转到PB 时， 它的斜率的取值范围是． 所以直线l的斜率的取值范围是． 17. 如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心． （1）证明：∥平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接．因为为四边形的中心，所以为的中点． 又为的中点，所以， 因为为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形为平行四边形，进而可证平面． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正四棱柱中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，所以， 则． 设平面的法向量为， 则令，得，即． 连接．易知是平面的一个法向量， 则． 因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． （1）试用表示向量； （2）若，求异面直线与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可； （2）先用基向量表示与，然后求解与以及数量积，然后计算夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 由图可得： . 【小问2详解】 由（1）可知， 因为， 所以，，， ， 所以， ，， 所以， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 19. 如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，分别为棱，上的点，且交于点． （1）求证：平面； （2）求证：四边形为平行四边形，并计算其面积． 【答案】（1） 如图，过点作于点，连接， 由题意得，为的中点， 在正方体中，为的中点，，， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面． （2） 如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则， 四边形为平行四边形， 又， ， ， ∴四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）构造线线平行证线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量共线定理证明即可，再利用数量积求夹角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期阶段测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为 A. B. C. D. 5. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在一个锐二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为，则这个锐二面角的平面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 (　 　) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法错误的是（　　） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为1 C. 直线的倾斜角为 D. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 10. 下列结论中正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 已知圆，圆，则圆和圆有条公切线 C. 若直线上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为直角，则实数的取值范围为 D. 已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于，两点，则的取值范围是 11. 已知曲线，下列说法正确的有（ ） A. 若曲线表示椭圆，则或 B. 若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值 C. 若曲线表示双曲线，则 D. 若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正方体的个面中，所在平面与平面垂直的面的个数为______. 13. 经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为______. 14. 已知直线与垂直，那么_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 16. 已知直线l过点，且与以为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． 17. 如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心． （1）证明：∥平面． （2）求二面角的余弦值． 18. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且．设． （1）试用表示向量； （2）若，求异面直线与的夹角的余弦值． 19. 如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，分别为棱，上的点，且交于点． （1）求证：平面； （2）求证：四边形为平行四边形，并计算其面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $