精品解析：广西壮族自治区河池市东兰县高级中学2026-2027学年高二上学期10月热身测试数学试题

2026秋季学期高二年级热身测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（　　） A. B. C. D. 3. 直线过椭圆的一个焦点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 5. 已知椭圆=1过点，其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 6. 已知定点P1(－1，0)，P2(1，0)，动点M满足，则构成△MP1P2面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则 C. 若圆包含曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，点，则的最大值为 10. 现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. 的最小值为2 C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是 11. 已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 13. 若坐标原点O在方程所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为______． 14. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直． 16. 已知点，，： （1）求的外接圆的方程； （2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 17. 已知两圆和．求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 18. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线的距离最短，并求出最短距离. 19. 已知圆与圆有两个不同的交点． （1）求的取值范围； （2）过直线上的一点（在线段外的部分上），分别作圆与圆的一条切线，切点分别为，问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋季学期高二年级热身测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】圆C：可化为， 则圆心，半径为， 由可得， 联立，解得， 直线l：恒过定点， 点在圆C内， 的最大值为， 当直线时，取得最小值，此时， ， 故线段AB长度的取值范围是. 故选：A. 2. 已知椭圆E：与直线相交于A，B两点，O是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意不妨设点B在第一象限， 则，结合直线OB的斜率运算求解即可. 【详解】联立方程，解得， 不妨设点B在第一象限， 则， 由题意可知：OB的倾斜角是，则， 所以椭圆的离心率. 故选：C． 3. 直线过椭圆的一个焦点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦点坐标，代入直线方程求解． 【详解】椭圆的半焦距为，焦点为或， 直线过一个焦点 则或，∴或， 故选：C． 4. “”是“方程表示椭圆”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程的要求得到不等式组，求得的范围，再利用充要条件的判定方法即得. 【详解】由方程表示椭圆，可得，解得且， 显然且是的真子集， 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A. 5. 已知椭圆=1过点，其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点在椭圆上得到，再利用，以及消元法可解得，从而得到短轴长的最大值. 【详解】由题意，可得，即， 因为，所以， 离心率的取值范围是， 所以，解得， 所以椭圆短轴长的最大值是， 故选：C 【点睛】本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量最值的计算，采用了消元法，属于中档题. 6. 已知定点P1(－1，0)，P2(1，0)，动点M满足，则构成△MP1P2面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，求出动点M的轨迹方程，由，可确定最大值. 【详解】设M(x，y)，由， 可得， 化简得，即M在以(3，0)为圆心，为半径的圆上运动， 又，即面积的最大值是. 故选：B. 7. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线平行且到直线的距离为1的直线的方程为和，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围. 【详解】如图所示. 设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 8. 已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得，即可根据圆心距与半径的关系求解. 【详解】圆：（）的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故圆的圆心为，半径为， ，故两圆内切， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则 C. 若圆包含曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，点，则的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】作出曲线的图象，数形结合可判断A选项；由题意可得，则有，解此不等式可判断B选项；求出曲线上的点到原点距离的最大值，可得出的最小值，即可判断C选项；利用圆的几何性质求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A，若点在曲线上，， ，， 点、、也都在曲线上， 则曲线关于轴、轴、原点对称， 当，时，曲线的方程为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线是四个顶点为、、、 的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图， 所以曲线围成的图形面积是，故A正确； 对于B，点在曲线上，则等价于， 则有，可得，解得，故B正确； 对于C，曲线上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，故C不正确. 对于D，曲线在第三象限部分的圆弧是以点为圆心，半径长为的半圆， 所以，，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：利用二次曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法： （1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题； （2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解. 10. 现有一半径为的圆纸片（为圆心为圆内的一定点)，且如图将圆折起一角，使圆周正好过点把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到两点距离之和最小的点为如此往复，就能得到越来越多的折痕，设点的轨迹为曲线为曲线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率是 B. 的最小值为2 C. 外接圆半径的最小值是 D. 内切圆半径的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据折叠的对称性推得满足条件的点满足，结合椭圆定义确定的轨迹是以为焦点的椭圆，求出椭圆基本参数后，结合向量数量积、三角形外接圆与内切圆的相关性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，设点对应圆上折点为则，原圆半径为4，故，因此：  ， 由椭圆定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中，， 得，，， 离心率，A正确； 对于B，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，椭圆方程为， 设，则，   代入得：   ，，故最小值为，B正确； 对于C，由正弦定理，中，得， 根据椭圆性质，当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形， ，，故，C错误； 对于D，内切圆半径满足，半周长， 面积，故， 最大值为，故，D正确. 11. 已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出抛物线C的准线方程，可求得p的值，可判断A；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C、D. 【详解】由题意知，抛物线C的准线为，即，解得，故A错误； 所以抛物线的方程为，其焦点为，又直线， 即，所以直线l恒过抛物线的焦点，设点， 因为两点在抛物线上，联立方程，两式相减可得， 设的中点为，则，因为点在直线l上，解得， 所以点是以为直径的圆的圆心， 由抛物线的定义知，圆Q的半径， 因为，解得，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为直线l为，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离为，所以，故D错误; 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. 13. 若坐标原点O在方程所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件以及点与圆的位置关系列不等式，即可得实数m的取值范围. 【详解】因为，则，解得； 又因为点在圆的外部，则，解得； 所以实数m的取值范围为． 故答案为：. 14. 方程表示一个圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题表示一个圆，可得； 考点：圆的方程. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 在椭圆上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直． 【答案】或或或. 【解析】 【分析】由题可设所求点为，则，又，即求. 【详解】∵椭圆， ∴， 设所求点为，则点在以两焦点为直径的圆上， ∴，又， ∴， ∴所求点为或或或. 16. 已知点，，： （1）求的外接圆的方程； （2）设直线：与圆相交于，两点，若，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过设圆的一般方程，代入三点坐标求解系数得到外接圆方程； （2）利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，建立方程求解实数的值. 【小问1详解】 设外接圆的方程为， 将、、分别代入得： ， 解得，，， 因此圆的方程为，即. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径. 直线的一般式为，圆心到直线的距离. 由弦长公式，且，可得，即. 于是，解得. 17. 已知两圆和．求： （1）取何值时两圆外切？ （2）当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可； （2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可. 【小问1详解】 由已知化简两圆的方程为标准方程分别为： ， 则圆心分别为，半径分别为和， 当两圆外切时，满足； 【小问2详解】 当时，有，则，所以两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长． 18. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线的距离最短，并求出最短距离. 【答案】，最短距离为. 【解析】 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求得的值，进而求得切点坐标，即为所求的点的坐标，并求出两平行直线间的距离，进而得解. 【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立方程，消去得，① 令，解得. 与直线距离最近的切线方程为，最小距离为. 将代入方程①得，解得，则， 所以，点的坐标为. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，属基础题目，由直线与椭圆相离，设椭圆的切线然后求切线方程，直线与切线间的距离即为最短距离. 19. 已知圆与圆有两个不同的交点． （1）求的取值范围； （2）过直线上的一点（在线段外的部分上），分别作圆与圆的一条切线，切点分别为，问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在常数，使得恒成立 【解析】 【分析】（1）由两圆有两个交点可得两圆相交，继而可通过求得半径； （2）两圆相减先求的公共弦所在直线方程，再在切角三角形中通过勾股定理求得，即可发现它们之间的比值关系，则问题得解. 【小问1详解】 因为圆与圆有两个不同的交点， 所以两圆相交， 所以且， 即，解得. 所以的取值范围. 【小问2详解】 圆, 圆, 两圆方程相减可得:, 化简可得直线的方程：， 设点， 因为与圆相切， 所以在直角三角形中， 又点在上，即， 所以可得， 同理可得 ， 所以，则， 故存在常数，使得恒成立， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $