精品解析：广西防城港市东兴市东兴中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二年级月考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 、分别为与上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两平行直线与之间的距离，即为的最小值. 【详解】直线的方程为， 所以，直线与平行， 直线与之间的距离为， 因此，的最小值为. 故选：D. 2. 直线，和交于一点，则k的值是 A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意， ，解得 ∴两直线和的交点坐标为 ． ∵直线 和交于一点， 故选B 3. 以为顶点的的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 所以，， 所以是等腰非直角三角形 4. 已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解在方向上的投影，即，再乘以的单位向量，即为在方向上的投影向量. 【详解】由题意，在方向上的投影为， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用即可求解. 【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设， ，故，,，, 由可知，，即， 又因为为钝角，所以， 由,,可知，， ，整理得， 解得， 故选：D. 6. 已知是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可以先通过圆的方程得出圆的圆心和半径，再由可知动点的轨迹是椭圆，最后得出动点的轨迹方程． 【详解】由题意，化简可得,半径， 由已知可得动点的轨迹是以为焦点的椭圆动点的轨迹方程是，故选D． 【点睛】椭圆的定义：动点到两定点的距离之和等于一个定值． 7. 在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的， 如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为， 所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 故选：B 8. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】作圆关于轴对称的圆，根据对称关系，结合三角形三边关系可确定最小值为，由此可得结果. 【详解】由题意知：圆是以为圆心，为半径的圆；圆是以为圆心，为半径的圆； 作圆关于轴对称的圆，则圆； 则（当且仅当三点共线时取等号）， ，， ，，AB的取值不可能，CD的取值可能. 故选：AB. 10. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围. 【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动， 又平面，所以平面， 在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面， 同理可证平面， ，所以，平面平面， 平面，所以，平面，A正确； 对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动， 三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点， 则，其大小随着的变化而变化，C错误； 对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线， 因为且,所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角是直线与所成角， 在正中，的取值范围为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B. 圆O与圆的公共弦长为 C. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由两点间距离公式求解即可； 对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到直线的距离，再求最大值. 【详解】对于A，设，则， ，A正确； 对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为， 点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误； 对于C，直线的方程为，连接，则，， 在中，， 当时，，从而取最大值， 因为是锐角，所以最大时最大，又最大时，，所以， 此时最大，最大值为，C正确； 对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦， 而为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即， 与圆O相减得直线的方程为， 将代入得，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则与的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可求得，进而利用平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】，，解得：，，即， 之间的距离. 故答案为：. 14. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，，， 设为平面PEF的法向量，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 16. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 由，，，可得， ， 在直四棱柱中， 平面， 平面， 平面， 所以，， 所以两两相互垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以， 又平面，所以为平面的一个法向量， 又，即，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知证出两两相互垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据，即可得证； （2）根据（1）再求出平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角为， ， 所以平面和平面所成锐二面角的余弦值． 17. 已知四棱锥（如图），四边形ABCD为正方形，面面ABCD，，M为AD中点. （1）求证：； （2）求直线PC与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 取AB中点O，连接OP，并过点O作BC的平行线OE，交CD于E，则， ∵，∴为等边三角形，又∵O为AB中点，∴， 又∵面面ABCD，面面，面， ∴面ABCD，∴， 以O为原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， 因为. 则，，，， ，， 所以， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）运用面面垂直性质定理证得面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系，运用空间向量坐标法证明线线垂直. （2）运用空间向量坐标法求线面角的正弦值，再运用同角三角函数的平方关系可得其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面PBM的一个法向量为，则有 ，即， 令，则，，所以 ， 设直线PC与平面PBM所成角为，则 ， 因为，所以， 所以直线PC平面PBM所成角的余弦值为. 18. 已知中，，平面，且，，，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 【解析】 【分析】以，所在直线为轴，轴，在平面内作过且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出，即可根据求出. 【详解】如图所示，分别以，所在直线为轴，轴，在平面内作过且垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 因为平面，所以， 又因为，所以， 所以，则，， ，，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，建立空间坐标系，利用向量法求解是解决立体几何问题的常用方法. 19. 已知两个定点， 动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E，直线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 【答案】（1） （2）存在，定点，理由如下： 依题意，，，则点M，N都在以为直径的圆上， 设，因为，所以圆的方程为， 又因为点M，N在曲线上， 由，得， 即直线的方程为，即， 令，得， 所以直线过定点． 【解析】 【分析】（1）设，根据即可求出； （2）设，求出以为直径的圆的方程，再求两圆的公共直线的方程即可. 【小问1详解】 由题，设，因为，所以， 整理得， 所以所求曲线的轨迹方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级月考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 、分别为与上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2. 直线，和交于一点，则k的值是 A. B. C. 2 D. 3. 以为顶点的的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰非直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是圆（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为 A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，的面积为定值 D. 当时，直线与所成角的范围为 11. 已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B. 圆O与圆的公共弦长为 C. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D. 若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 13. 若直线与直线平行，则与的距离为________. 14. 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 16. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点．平面满足：直线平面，直线平面． （1）求证：平面平面； （2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 17. 已知四棱锥（如图），四边形ABCD为正方形，面面ABCD，，M为AD中点. （1）求证：； （2）求直线PC与平面所成角的余弦值. 18. 已知中，，平面，且，，，求异面直线与所成角的余弦值. 19. 已知两个定点， 动点P满足，设动点P的轨迹为曲线E，直线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $