一次函数中的轴对称与最短路径问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

一次函数中的轴对称与最短路径问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 复习导航 先判断活动点的位置和所求的量，再选择垂线、对称、平移或旋转。求出候选位置后，还要核对活动范围、点的先后次序和能否同时取到。 模块 练习重点 A、基础通关 位置关系、等距条件与活动范围 B、难点突破 取等条件、不同方向与参数判断 C、综合进阶 多个条件、两次比较与全部合法位置 D、中考真题精选 在近年中考题中运用等距替换与最短路径 一、点到直线的最短距离 1 二、两点到同一条直线的距离和 4 三、活动点只能在线段或射线上 6 四、先把题目中的等距条件用起来 9 五、距离差的范围与取等位置 12 六、依次经过两条直线的最短路径 14 七、中间一段长度固定时的路径 17 八、等边三角形中的最短路径 19 A、基础通关 22 B、难点突破 25 C、综合进阶 29 D、中考真题精选 33 一、点到直线的最短距离 点在直线外，点在上移动。过作垂足为由垂线段最短，只有与重合时取等号。因此，要同时求出最短距离和点的位置，先找垂足，再求长度；不能只算一段较短的线段就认定它最短。 在坐标图中，水平线的垂线是竖直线，竖直线的垂线是水平线。对方向为右上的直线，可以利用等腰直角三角形作垂线：垂线方向向右下或左上，两条直角边相等。先根据这样的几何关系找垂足，再将坐标代入原直线检验。本节不直接套用点到直线的距离公式。 如：在轴上，垂足为所以的最小值为2，此时与重合。若把活动直线改为垂足为最小值为3。活动直线改变，垂足和最短长度也要重新核对。 典例1、如图，点的坐标为点在直线上。 求的最小值，并求此时点的坐标。 变式1-1、点到直线的最短距离在点处取得， 则这条直线的表达式为________。 变式1-2、点点可以在直线或直线上移动。的最小值及取得最小值的点的个数分别为（ ）。 ．1个 ．2个 ．1个 ．2个 变式1-3、点在直线上，点在直线上。求的最小值；若写出取得最小值时点的坐标。 二、两点到同一条直线的距离和 先看两固定点与活动直线的位置关系，再决定是否需要作对称点。 位置关系 处理方法 取等条件 两点在直线异侧 连接两点，找线段与直线的交点 活动点在线段上，两段之和等于原线段长 两点在直线同侧 将一端点关于直线对称，再连向另一端点 对称点、活动点、另一端点依次共线 两固定点都在直线上 在这条直线上直接比较三点顺序 活动点在两固定点之间，含端点 以同侧情形为例，将关于对称到在上，所以从而要使的最小值等于还要有点位于线段与的交点处。求出该交点后，再检查题目是否另有限制。 如：在轴同侧。的对称点为直线在处穿过轴，因此最短折点为若在分居轴两侧，直接连接即可，不必再反射。两种图中坐标相同的折点，不代表推理过程相同。 两点在直线同侧 两点在直线异侧 典例2、如图，点在轴上移动。 求的最小值，并求此时点的坐标。 变式2-1、点在轴上移动。 求的最小值，并求此时点的坐标。 变式2-2、点在轴上移动，当时，取得最小值，则________。 变式2-3、的最小值为________；取得最小值时，的取值范围为________。 三、活动点只能在线段或射线上 按整条直线求出的最短折点，只是一个候选位置。如果题目要求点在线段、射线或几段指定位置上，要逐一检查候选点能否取到。端点是否包含，也会影响最小值是否存在。 当整条直线上的最短点不在允许范围内，不能仍把展开后的一段长度写成已取到的最小值。要在允许范围内重新比较。例如，若活动点向右移动时，到两个固定点的水平距离都减小，而相应竖直距离不变，根据勾股定理，两段长度都会减小；这时才能证明右端点最优。这个理由有适用条件，不适用于任意摆放的两点。 如：在轴且向右移动时，到的水平距离都减小，所以都减小，与重合时距离和最小。 若不允许与重合，不能说还在取得最小值。 两段长度变化方向不同时，比较整个和 若移动时一段变长、一段变短，不能只凭其中一段判断总和。可把同侧的反射到设与活动直线交于假设从左到右排列，且在与之间。 在中，在边内部，在越过的延长线上。作射线它经过进入三角形，再从穿出，交点记作于是在线段上，依次共线。由三角形不等式， 因此比更靠近理想点时，整个距离和更小。都在右侧时可作左右相反的图得到同样结论；与重合时直接使用 所以：同侧两固定点到同一条有限线段上的活动点的距离和，若在段内，取若在段外，取靠近的端点。这个结论来自总和比较，不意味着两条距离都会变小。若端点不能取到，仍须按题目检查，不能说在那个端点取得最小值。 如：活动点在轴上。取射线与交于从到到的距离从2增大到到的距离从减小到虽然一段增大、一段减小，上述整体比较仍能确定总和减小。观察在同一直线上的先后次序，就能把两个三角形的比较连接起来。 典例3、点在线段上，求的最小值，并求此时点的坐标。 变式3-1、若的最小值为则的取值范围为________。 变式3-2、满足的点有（ ）。 ．0个 ．1个 ．2个 ．无数个 变式3-3、若或求的最小值，并写出所有符合条件的点的坐标。 四、先把题目中的等距条件用起来 若题目给则在线段的垂直平分线上；反过来，垂直平分线上的点到的距离相等。这样，等距条件既能确定的活动直线，也能将所求线段换成相等线段。 等距关系不一定直接写在题目中。若发现一条线段的中点，以及经过中点的垂线，就可以用垂直平分线性质得到等距；若两个直角三角形的两条直角边分别相等，也可由全等得到等距。先找到这些关系，才能把活动的线段换成到固定点的距离。 例如要使最短，而就可改看然后还要判断位于活动线哪一侧，并检查能够取等的位置。若求的是三角形周长，要先分清哪条边是固定长度。固定边加在最后，不会改变其余两边之和取得最小时的位置； 但必须检查三个顶点能否组成三角形。 如：说明在轴上。若另有求时可以把换成换完后，在轴同侧，仍需进一步考虑对称，而不能直接写成 典例4、点满足 求的最小值，并求此时点的坐标。 变式4-1、如图，是的中点，点在线段上移动。求周长的最小值，并求此时点的坐标。 变式4-2、点满足 若的最小值为5，则________。 点C在y轴上，位置尚未确定。 变式4-3、点满足 的最小值为________，此时的坐标为________。 五、距离差的范围与取等位置 由三角形两边之和大于第三边可知，任意点到的距离之差满足等号成立时，在同一直线上，而且不能在线段内部。若允许与或重合，端点也要检查。 求时，取到上界需要按这个顺序共线（允许与重合时也须检查该端点）；求的最大值时，依次共线（允许与重合时也须检查该端点）。绝对差不分正负，有符号的差要分清减数与被减数。最后还要检查取等点是否落在规定的直线、线段或象限内。 如：改为绝对差都等于3，但有符号的差不同。 典例5、点在轴上。求的最大值，并求此时点的坐标。 变式5-1、满足的点有（ ）。 ．0个 ．1个 ．2个 ．无数个 变式5-2、允许与或重合。的最大值为________；取得最大值时，的取值范围为________。 变式5-3、点在直线上且位于第一象限。若存在点使则的取值范围为________。 六、依次经过两条直线的最短路径 路线为时，要先说清各在哪条直线上，以及是否限制在线段或射线上。可以把关于第一条线对称到把关于第二条线对称到从而 这说明路线长度不小于还不能直接说最小值就是要取等号，必须按这个顺序在同一条线段上，且都在允许的位置。如果连接只与某条射线的反向延长线相交，或者交点顺序不对，就不能用这条直线作为最短路线。两端点本来就在两线外侧，且线段按顺序穿过两线时，也可以直接使用不一定要反射。 如：先过再过线段的直线为依次在穿过两线，因此直走就能取到若题目要求反过来先过再过这两个交点不能直接照搬；顺序也是条件。 如果路线从同一点出发，依次经过两条直线上的后回到也可以分别把关于两条直线对称到这样要取得等号，仍须按这个顺序共线，还要在题目规定的线段或射线上。如果也能移动，先固定一个求出这时路线长度不小于多少，再比较不同对应的这个长度。最后必须同时检查的位置和的取等位置，不能把两次分别求出的最小值直接拼起来。 如：两条直线相交于夹角为位于这个角内。作关于两边的对称点则所以这说明闭合路线的长度不小于如果还有活动范围，可以先寻找最小时的位置， 再核实连接能否按要求经过 典例6、点在直线上，点在直线上。求的最小值，并求此时的坐标。 变式6-1、点在上，点在上。求的最小值，并求此时的坐标。 变式6-2、在轴正半轴上，在轴正半轴上。求的最小值，并求此时的坐标。 变式6-3、在轴正半轴上，在轴正半轴上。满足的路线共有（ ）。 ．0条 ．1条 ．2条 ．无数条 七、中间一段长度固定时的路径 若在同一直线上，并且且在的指定方向，那么它们不能独立移动。以在轴上且在右侧为例，将向右平移到则这可以由对应的水平、竖直距离相等以及直角三角形全等说明。 于是现在只需让在规定范围内移动，处理最后加上固定若在左侧，平移方向应改为向左。若两个方向都允许，必须分别求出候选再比较。若还要位于同一有限段，的位置范围要同时保证也在段内。 如：在右侧，则若两点都在上，的范围不是而是将向右平移到由全等可得这一步仅把联动的两点改为一个活动点，不是已完成最短值判断。 典例7、在轴上，在右侧，求的最小值，并求此时的坐标。 变式7-1、在轴上，在左侧，求的最小值，并求此时的坐标。 变式7-2、在轴上，求的最小值，并写出取得最小值时所有的坐标。 变式7-3、均在线段上，在右侧，求的最小值，并求此时的坐标。 八、等边三角形中的最短路径 有时所求是一个点到三个固定点的距离和，直接作一次对称不能把三段接成一条直线。若能构造等边三角形，可以利用旋转，把其中两段接起来，再与第三段比较。先选旋转中心和方向，使一个固定点转到新点同一次旋转还必须把活动点转到不能把两次不同的旋转混用。 例如以为中心，将旋转到同时将转到旋转保持距离，所以当与不重合时，为等边三角形，因而与重合时，这两个长度都为0，关系仍成立。于是若目标还有则 这个下界能否取到，要连续核对两处：在线段上，在线段上，允许与端点重合。活动范围与点的位置还要同时满足。不能只构造了等边三角形，就把直接写成最小值。 如果第三项是点到直线的距离则再由垂线段最短比较与到的距离。要使各步同时取等，须在线段上，在线段上，也是到的垂足；允许与端点重合。 如：以为中心，把逆时针旋转到由等边三角形可得同一次旋转把转到所以于是要取得等号，还应在线段上，允许与端点重合。 典例8、为平面内一点。求的最小值及此时点的坐标。 变式8-1、点在线段上。 的最小值为________。 变式8-2、已知在平面内移动时，的最小值为6，求 变式8-3、点只能在的三条边上移动，含顶点。求的最小值及点的坐标。 A、基础通关 A1、点关于直线的对称点为（ ）。 ． ． ． ． A2、在轴上。的最小值为________，此时的坐标为________。 A3、在轴上。取最小值时，的坐标为（ ）。 ． ． ． ． A4、在轴上。求的最小值，并求此时的坐标。 A5、且的值为（ ）。 ．2 ．3 ．4 ．随变化 A6、在直线上。的最小值为________，此时的坐标为________。 A7、求的最小值，并求此时的坐标。 A8、在轴上，在右侧，若都在线段上，则的取值范围为________。 B、难点突破 B1、在直线上。求的最小值，并求此时的坐标。 B2、点可在轴或轴上移动。的最小值为（ ）。 ． ． ． ．10 B3、在轴上。当时，取得最小值10。求的值。 B4、在直线上，且组成三角形。周长等于的共有（ ）。 ．0个 ．1个 ．2个 ．无数个 B5、点满足且 的最小值为________，此时的坐标为________。 B6、在轴上，路线为 若所有最短路线中，均在右侧，则的取值范围为________；若两种方向都能取得相同的最短长度，则________。 B7、在轴上。若的最小值为5，求并求此时的坐标。 B8、求的最小值，并求此时的坐标。 C、综合进阶 C1、点在轴上。求的最小值，并求此时的坐标。 C2、在直线上，且 的最小值为________，此时的坐标为________。 C3、在轴上且横坐标不大于0，在直线上。求的最小值，并求此时的坐标。 C4、在直线上，在直线上，路线为若路线的最短长度为则的所有可能值为（ ）。 ．0 ．4 ．0或4 ．或0 C5、在轴上，路线为的左右次序不限。 若路线的最短长度为求的所有可能值，并写出相应最短路线中的坐标。 C6、 求的最小值，并求此时的坐标。 C7、点只能在线段或线段上移动。求的最小值，并求此时的坐标。 C8、路线从出发，经过轴正半轴上的和轴正半轴上的后到达先后次序不限。路线长度为 （1）若路线次序为求的取值范围。 （2）若路线次序为求的取值范围。 （3）当时，符合长度要求的路线有多少条？ D、中考真题精选 D1、（2025年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团第23(3)题节选）如图，在等腰直角三角形中，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点。 （3）当时，求的最小值。 D2、（2025年四川内江第25题）如图，在中，点分别是边上的动点，则周长的最小值是________。 D3、（2026年江苏连云港第27（2）题节选）如图2，已知点到直线的距离在图中找一点使点到点点直线的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值。 D4、（2025年山东滨州第16题）如图，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上。 （1）只用无刻度的直尺在上找一点使得最短。（保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，在边上找一点使得最小，最小值为______。 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数中的轴对称与最短路径问题 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 复习导航 先判断活动点的位置和所求的量，再选择垂线、对称、平移或旋转。求出候选位置后，还要核对活动范围、点的先后次序和能否同时取到。 模块 练习重点 A、基础通关 位置关系、等距条件与活动范围 B、难点突破 取等条件、不同方向与参数判断 C、综合进阶 多个条件、两次比较与全部合法位置 D、中考真题精选 在近年中考题中运用等距替换与最短路径 一、点到直线的最短距离 1 二、两点到同一条直线的距离和 4 三、活动点只能在线段或射线上 7 四、先把题目中的等距条件用起来 10 五、距离差的范围与取等位置 13 六、依次经过两条直线的最短路径 15 七、中间一段长度固定时的路径 19 八、等边三角形中的最短路径 22 A、基础通关 25 B、难点突破 29 C、综合进阶 35 D、中考真题精选 42 一、点到直线的最短距离 点在直线外，点在上移动。过作垂足为由垂线段最短，只有与重合时取等号。因此，要同时求出最短距离和点的位置，先找垂足，再求长度；不能只算一段较短的线段就认定它最短。 在坐标图中，水平线的垂线是竖直线，竖直线的垂线是水平线。对方向为右上的直线，可以利用等腰直角三角形作垂线：垂线方向向右下或左上，两条直角边相等。先根据这样的几何关系找垂足，再将坐标代入原直线检验。本节不直接套用点到直线的距离公式。 如：在轴上，垂足为所以的最小值为2，此时与重合。若把活动直线改为垂足为最小值为3。活动直线改变，垂足和最短长度也要重新核对。 典例1、如图，点的坐标为点在直线上。 求的最小值，并求此时点的坐标。 【解析】在直线上取过作轴于则所以直线向右上方延伸，与轴的锐角为故与这条直线垂直。 由垂线段最短，勾股定理得当与重合时取等号。 因此的最小值为此时 变式1-1、点到直线的最短距离在点处取得， 则这条直线的表达式为________。 【解析】的水平、竖直距离均为3，与轴成所求直线过且垂直向右上方延伸，与轴成所以将代入得故 变式1-2、点点可以在直线或直线上移动。的最小值及取得最小值的点的个数分别为（ ）。 ．1个 ．2个 ．1个 ．2个 【解析】在上取在上取的水平与竖直距离均为2；由等腰直角三角形的角度关系，可知分别垂直对应直线。因此两条直线上到的最短距离都是分别在和处取得，共2个点。 变式1-3、点在直线上，点在直线上。求的最小值；若写出取得最小值时点的坐标。 【解析】先固定在另一条直线上取因为所以在上。的水平、竖直距离均为1，方向向左上方，由等腰直角三角形的角度关系，垂直两条直线。 因此对每一个与重合时取等号。无论在第一条直线上怎样移动，最短长度都是取得最小值时 二、两点到同一条直线的距离和 先看两固定点与活动直线的位置关系，再决定是否需要作对称点。 位置关系 处理方法 取等条件 两点在直线异侧 连接两点，找线段与直线的交点 活动点在线段上，两段之和等于原线段长 两点在直线同侧 将一端点关于直线对称，再连向另一端点 对称点、活动点、另一端点依次共线 两固定点都在直线上 在这条直线上直接比较三点顺序 活动点在两固定点之间，含端点 以同侧情形为例，将关于对称到在上，所以从而要使的最小值等于还要有点位于线段与的交点处。求出该交点后，再检查题目是否另有限制。 如：在轴同侧。的对称点为直线在处穿过轴，因此最短折点为若在分居轴两侧，直接连接即可，不必再反射。两种图中坐标相同的折点，不代表推理过程相同。 两点在直线同侧 两点在直线异侧 典例2、如图，点在轴上移动。 求的最小值，并求此时点的坐标。 【解析】作关于轴的对称点则由两点之间线段最短， 直线的表达式为与轴交于这个点在线段上，所以能取到等号。 因此最小值为此时 变式2-1、点在轴上移动。 求的最小值，并求此时点的坐标。 【解析】在轴两侧，线段与轴相交。当位于该交点时，为最小值。 直线为令得因此由勾股定理，所以最小值为 变式2-2、点在轴上移动，当时，取得最小值，则________。 【解析】位于轴同侧。作取得最小值时依次共线。直线的表达式为代入的纵坐标4，得满足 变式2-3、的最小值为________；取得最小值时，的取值范围为________。 【解析】当在线段上（含时，当在这条线段外时，路程比多出往返的一段，因此大于7。故最小值为7，所有符合条件的点满足 三、活动点只能在线段或射线上 按整条直线求出的最短折点，只是一个候选位置。如果题目要求点在线段、射线或几段指定位置上，要逐一检查候选点能否取到。端点是否包含，也会影响最小值是否存在。 当整条直线上的最短点不在允许范围内，不能仍把展开后的一段长度写成已取到的最小值。要在允许范围内重新比较。例如，若活动点向右移动时，到两个固定点的水平距离都减小，而相应竖直距离不变，根据勾股定理，两段长度都会减小；这时才能证明右端点最优。这个理由有适用条件，不适用于任意摆放的两点。 如：在轴且向右移动时，到的水平距离都减小，所以都减小，与重合时距离和最小。 若不允许与重合，不能说还在取得最小值。 两段长度变化方向不同时，比较整个和 若移动时一段变长、一段变短，不能只凭其中一段判断总和。可把同侧的反射到设与活动直线交于假设从左到右排列，且在与之间。 在中，在边内部，在越过的延长线上。作射线它经过进入三角形，再从穿出，交点记作于是在线段上，依次共线。由三角形不等式， 因此比更靠近理想点时，整个距离和更小。都在右侧时可作左右相反的图得到同样结论；与重合时直接使用 所以：同侧两固定点到同一条有限线段上的活动点的距离和，若在段内，取若在段外，取靠近的端点。这个结论来自总和比较，不意味着两条距离都会变小。若端点不能取到，仍须按题目检查，不能说在那个端点取得最小值。 如：活动点在轴上。取射线与交于从到到的距离从2增大到到的距离从减小到虽然一段增大、一段减小，上述整体比较仍能确定总和减小。观察在同一直线上的先后次序，就能把两个三角形的比较连接起来。 典例3、点在线段上，求的最小值，并求此时点的坐标。 C为左端点，P为右端点；S为整条x轴上的最短折点。 【解析】若可以在整个轴上移动，作与轴的交点为但它不在线段上，不能作为本题答案。 设此时和都是正数，并且随增大而减小；因此都随增大而减小。当时两段都最短。 此时所以的最小值为 变式3-1、若的最小值为则的取值范围为________。 【解析】作则直线为只有时取等号。要求得两个端点均允许取到。 变式3-2、满足的点有（ ）。 ．0个 ．1个 ．2个 ．无数个 【解析】时，所以没有符合条件的点。虽然能取得这个长度和，但不在题目规定范围内。 变式3-3、若或求的最小值，并写出所有符合条件的点的坐标。 【解析】当时，向右移，到的水平距离都减小，所以距离和在时最小，为 当时，向右移，到的水平距离都增大，所以距离和在时最小，也为 比较两个允许区间，最小值为符合条件的点为 四、先把题目中的等距条件用起来 若题目给则在线段的垂直平分线上；反过来，垂直平分线上的点到的距离相等。这样，等距条件既能确定的活动直线，也能将所求线段换成相等线段。 等距关系不一定直接写在题目中。若发现一条线段的中点，以及经过中点的垂线，就可以用垂直平分线性质得到等距；若两个直角三角形的两条直角边分别相等，也可由全等得到等距。先找到这些关系，才能把活动的线段换成到固定点的距离。 例如要使最短，而就可改看然后还要判断位于活动线哪一侧，并检查能够取等的位置。若求的是三角形周长，要先分清哪条边是固定长度。固定边加在最后，不会改变其余两边之和取得最小时的位置； 但必须检查三个顶点能否组成三角形。 如：说明在轴上。若另有求时可以把换成换完后，在轴同侧，仍需进一步考虑对称，而不能直接写成 典例4、点满足 求的最小值，并求此时点的坐标。 【解析】关于直线对称：它们到的距离均为4，直线平分因此它是的垂直平分线。由在上。 在两侧，线段与相交时能取等号。直线为联立得 所以最小值为 变式4-1、如图，是的中点，点在线段上移动。求周长的最小值，并求此时点的坐标。 【解析】与重合。在的垂直平分线上，是轴，所以 的周长为当依次共线时取等号。直线为与轴交于它在线段上，且不在同一直线上。 因此周长最小值为 变式4-2、点满足 若的最小值为5，则________。 左图：c=4时；右图：c=−2时。 【解析】的垂直平分线为由在两侧，所以最小值为 的水平距离为4。由勾股定理，竖直距离为3，即故或两个位置均在左侧，线段都与活动直线相交，均能取到最小值。 变式4-3、点满足 的最小值为________，此时的坐标为________。 【解析】在的垂直平分线上。设中点为当与不重合时，为直角三角形，当与重合时，因此由只有与重合时取等号。 五、距离差的范围与取等位置 由三角形两边之和大于第三边可知，任意点到的距离之差满足等号成立时，在同一直线上，而且不能在线段内部。若允许与或重合，端点也要检查。 求时，取到上界需要按这个顺序共线（允许与重合时也须检查该端点）；求的最大值时，依次共线（允许与重合时也须检查该端点）。绝对差不分正负，有符号的差要分清减数与被减数。最后还要检查取等点是否落在规定的直线、线段或象限内。 如：改为绝对差都等于3，但有符号的差不同。 典例5、点在轴上。求的最大值，并求此时点的坐标。 【解析】所以当依次共线时取等号。直线为与轴交于且依次排列。因此最大值为此时与重合，即 变式5-1、满足的点有（ ）。 ．0个 ．1个 ．2个 ．无数个 【解析】取等号须依次共线。直线与轴仅交于但不包含故不存在符合条件的点。 变式5-2、允许与或重合。的最大值为________；取得最大值时，的取值范围为________。 【解析】在直线上，时位于的外侧或与重合，时在与之间，不能取该上界；时因此最大值且 变式5-3、点在直线上且位于第一象限。若存在点使则的取值范围为________。 【解析】取等号时且在第一象限，所以代入得故反过来，这个范围内取即符合全部条件，因此没有漏掉或多加端点。 六、依次经过两条直线的最短路径 路线为时，要先说清各在哪条直线上，以及是否限制在线段或射线上。可以把关于第一条线对称到把关于第二条线对称到从而 这说明路线长度不小于还不能直接说最小值就是要取等号，必须按这个顺序在同一条线段上，且都在允许的位置。如果连接只与某条射线的反向延长线相交，或者交点顺序不对，就不能用这条直线作为最短路线。两端点本来就在两线外侧，且线段按顺序穿过两线时，也可以直接使用不一定要反射。 如：先过再过线段的直线为依次在穿过两线，因此直走就能取到若题目要求反过来先过再过这两个交点不能直接照搬；顺序也是条件。 如果路线从同一点出发，依次经过两条直线上的后回到也可以分别把关于两条直线对称到这样要取得等号，仍须按这个顺序共线，还要在题目规定的线段或射线上。如果也能移动，先固定一个求出这时路线长度不小于多少，再比较不同对应的这个长度。最后必须同时检查的位置和的取等位置，不能把两次分别求出的最小值直接拼起来。 如：两条直线相交于夹角为位于这个角内。作关于两边的对称点则所以这说明闭合路线的长度不小于如果还有活动范围，可以先寻找最小时的位置， 再核实连接能否按要求经过 典例6、点在直线上，点在直线上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】作关于的对称点作关于的对称点则 直线为依次与交于按顺序共线，能取等号。 因此最小值为此时 变式6-1、点在上，点在上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】线段从到依次穿过因此可直接在上取直线为得 等号恰在上述顺序共线时取得。所以最小值为 变式6-2、在轴正半轴上，在轴正半轴上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】作关于轴的对称点作关于轴的对称点则所求和不小于 直线为与两轴的交点分别是两点都在正半轴上，且按顺序排列，能取等号。 因此最小值为此时 变式6-3、在轴正半轴上，在轴正半轴上。满足的路线共有（ ）。 ．0条 ．1条 ．2条 ．无数条 【解析】作则所求和不小于取等号须依次共线。直线为与轴交于与轴交于两个交点均不在指定正半轴上，不能取等号，所以没有符合条件的路线。 图中将两个交点分别记为它们只是待检验的位置，不是符合条件的 七、中间一段长度固定时的路径 若在同一直线上，并且且在的指定方向，那么它们不能独立移动。以在轴上且在右侧为例，将向右平移到则这可以由对应的水平、竖直距离相等以及直角三角形全等说明。 于是现在只需让在规定范围内移动，处理最后加上固定若在左侧，平移方向应改为向左。若两个方向都允许，必须分别求出候选再比较。若还要位于同一有限段，的位置范围要同时保证也在段内。 如：在右侧，则若两点都在上，的范围不是而是将向右平移到由全等可得这一步仅把联动的两点改为一个活动点，不是已完成最短值判断。 典例7、在轴上，在右侧，求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】将向右平移2到则作关于轴的对称点所求和为 直线为与轴交于故两点方向与定长均符合要求，可以取等号。 最小值为 变式7-1、在轴上，在左侧，求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】这次把向左平移2到再作对称点所求和≥直线为与轴交于故方向正确。 所以最小值为 变式7-2、在轴上，求的最小值，并写出取得最小值时所有的坐标。 左图：Q在P右侧；右图：Q在P左侧。 【解析】分在右侧和左侧。 若在右侧，把向右平移2再关于轴对称到直线为交轴于得最小值为 若在左侧，同理把向左平移2再对称到连接得直线交轴于得此时最小值同样是 因此总的最小值为且有上述两组位置，不能只写其中一组。 变式7-3、均在线段上，在右侧，求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】设则由两点均在线段上，得 在内，和都为正，随增大而增大，所以都增大，而不变。故时距离和最小。 此时最小值为 八、等边三角形中的最短路径 有时所求是一个点到三个固定点的距离和，直接作一次对称不能把三段接成一条直线。若能构造等边三角形，可以利用旋转，把其中两段接起来，再与第三段比较。先选旋转中心和方向，使一个固定点转到新点同一次旋转还必须把活动点转到不能把两次不同的旋转混用。 例如以为中心，将旋转到同时将转到旋转保持距离，所以当与不重合时，为等边三角形，因而与重合时，这两个长度都为0，关系仍成立。于是若目标还有则 这个下界能否取到，要连续核对两处：在线段上，在线段上，允许与端点重合。活动范围与点的位置还要同时满足。不能只构造了等边三角形，就把直接写成最小值。 如果第三项是点到直线的距离则再由垂线段最短比较与到的距离。要使各步同时取等，须在线段上，在线段上，也是到的垂足；允许与端点重合。 如：以为中心，把逆时针旋转到由等边三角形可得同一次旋转把转到所以于是要取得等号，还应在线段上，允许与端点重合。 典例8、为平面内一点。求的最小值及此时点的坐标。 【解析】在上方作等边三角形则以为中心逆时针旋转转到转到由得 取设为中点，则为的一半，所以将逆时针旋转后，得到依次共线，也依次共线，且位于之间，两个不等式同时取等。因此最小值为取等位置为 唯一性：若取等，必须在线段上，且旋转后落在同一竖直线上，两个等长线段关于过的水平线成角，故位置唯一。 变式8-1、点在线段上。 的最小值为________。 【解析】在线段上，只有与中点重合时取等。因此最小值为8。这次活动范围已将两段之和固定，无须旋转。 变式8-2、已知在平面内移动时，的最小值为6，求 左图：较小h时，Q不在线段DC内；右图：最终取等位置，P与Q重合。 【解析】在上方作等边三角形把典例中的取等位置记为当在上方时，不在线段上，不能直接取这个位置；下面分别检验两种情况。 先排除此时取与重合，距离和为 所以不可能以6为最小值。 当时，将绕逆时针旋转到同时将转到可得距离和≥取在线段上，旋转后的点依次共线，因此这个下界可以取得。于是解得 检验（等价平方后，符合此分支，故答案成立。 变式8-3、点只能在的三条边上移动，含顶点。求的最小值及点的坐标。 【解析】当在上时，由最小值为8，在中点取得。 当在上时，只需使最短。过作为垂足。关于轴对称，为中点，由得所以也是锐角。因此在内部。的面积为也等于所以此边上可取的最小值为 关于轴对称，当在上时得到同样的最小值由于所以8更小。综上，最小值为8，且仅取得。 A、基础通关 A1、点关于直线的对称点为（ ）。 ． ． ． ． 【解析】对称点横坐标不变，两点纵坐标的平均数为设对称点纵坐标为则得 A2、在轴上。的最小值为________，此时的坐标为________。 【解析】到轴的垂足为垂线段长4，其余斜线段更长。 A3、在轴上。取最小值时，的坐标为（ ）。 ． ． ． ． 【解析】在轴两侧，线段穿过轴，可直接取交点。直线为令得此时 A4、在轴上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】作关于轴的对称点则直线为与轴交于且在线段上，能够取等号。 A5、且的值为（ ）。 ．2 ．3 ．4 ．随变化 【解析】允许的都在线段上，不是只有中点才取最短。 A6、在直线上。的最小值为________，此时的坐标为________。 【解析】在上。向左上方，与向右上方的直线垂直，所以最短。 A7、求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】允许区间内，和都为正，随增大都减小。由勾股定理，都随之减小，所以右端点最优。此时得到所求和。 A8、在轴上，在右侧，若都在线段上，则的取值范围为________。 【解析】两点都在线段上要求且合并得 B、难点突破 B1、在直线上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】关于的对称点为中点在该直线上，与它垂直。故 与横坐标相同，连接它们的直线是不能写成与交于点在线段上，所以能取等号，最小值为 B2、点可在轴或轴上移动。的最小值为（ ）。 ． ． ． ．10 左图：在x轴上取点；右图：在y轴上取点。 【解析】在轴时，反射到说明交点合法。在轴时，反射到说明连接线与轴交于也合法。比较得最小值 B3、在轴上。当时，取得最小值10。求的值。 【解析】反射到最短时依次共线；直线为代入得 水平距离为6，竖直距离为勾股定理给与联立，得反查均正，位于之间，条件全部成立。 B4、在直线上，且组成三角形。周长等于的共有（ ）。 ．0个 ．1个 ．2个 ．无数个 【解析】若周长为则三点必须共线。直线与只有交点此时三点不组成三角形，与题设矛盾。因此0个。 B5、点满足且 的最小值为________，此时的坐标为________。 【解析】说明在轴上。设则或 图中分别对应两段范围的端点。 当时，两段都随增大而增大，在时和为当时，随向下远离两段都增大，在时和为比较两支，得到最小值和唯一位置。 B6、在轴上，路线为 若所有最短路线中，均在右侧，则的取值范围为________；若两种方向都能取得相同的最短长度，则________。 左图：向右平移（以b=4示意）；右图：向左平移（以b=4示意）。 【解析】在右侧时，先把向右平移2，再关于轴对称，最短长度为反射连接线从纵坐标到4，交轴，所以该长度总能取得。 图中为平移后的点，为它关于轴的对称点；两图仅以示意两个方向，参数范围仍按下文比较。 在左侧时同理，最短长度为也总能取得。比较两个根号内的数，其差为故时仅右侧方案最短，时两方案并列，时仅左侧方案最短。 B7、在轴上。若的最小值为5，求并求此时的坐标。 【解析】时两点同侧，反射到最短长度为水平距离4、斜边5，所以竖直距离得连接线交轴于 时在两侧，直接连接竖直距离得直线为也交轴于两交点均位于相应线段上。 时最短值为不符合5。故答案完整。 B8、求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】由范围可知在左侧，将和写成 时，向右移动，减小，减小，也减小，所以在时最小。时，向右移动，增大，与都增大，所以在时最小。两点可同时取到，最小值为 C、综合进阶 C1、点在轴上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】反射到只有时取等。反射到直线为也只有时取等。 两组不等式在同一个处同时取等号，所以四段和的最小值为不能只将各段或各组的最小值相加而不检查位置是否相同。 C2、在直线上，且 的最小值为________，此时的坐标为________。 【解析】要求依次共线，允许与重合，所以且 到的垂足为但不在允许范围内。对在时最小。由直角三角形的勾股关系，也在时最小， C3、在轴上且横坐标不大于0，在直线上。求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】作关于的对称点对每个允许的连接时，纵坐标由0到3，必经过因此可使 设向右移向时，到的水平距离及到的水平距离都减小，对应竖直距离不变，所以在时最小。 此时总长最小6。直线为与交于原路径次序与范围均满足。 C4、在直线上，在直线上，路线为若路线的最短长度为则的所有可能值为（ ）。 ．0 ．4 ．0或4 ．或0 左图：B在直线y=2下方；右图：B在直线y=2上方。 【解析】先反射到 当时，再反射到连接依次穿过（时可与重合），可取等号。长度的水平距离为4，竖直距离为5，故得 当时，直接连接其纵坐标从到依次穿过两条规定直线，不必再反射竖直距离得时长度为5，不符合 两种情况下最优均合法，所以选 C5、在轴上，路线为的左右次序不限。 若路线的最短长度为求的所有可能值，并写出相应最短路线中的坐标。 左图：b=1时的取等位置；右图：b=3时的取等位置。 【解析】若比较两种方向的反射后距离，在右侧的方案更短。将向右平移2再对称到最短长度为且连接线一定穿过轴。竖直距离为4，故水平距离得到或3。 当时，为当时，直线为 若由关于轴对称，点的横坐标变号。时，时，均在左侧。时两方向长度均为不符合条件。四种情况都满足且反射后的直线经过合法答案完整。 C6、 求的最小值，并求此时的坐标。 【解析】当时，取则垂直于两个直角三角形与全等，所以时与重合；时恰是的中点，这两个端点也满足 于是直线为与所在直线交于此时且在线段上，可取等号。再代入得 C7、点只能在线段或线段上移动。求的最小值，并求此时的坐标。 P₁、P₂分别是两段范围内的候选位置。 【解析】作连接与轴交于不在两条允许线段上，不能直接把作为最小值。 在这段上，越靠近越小。这里增大、减小，不能只比较其中一段。具体地，令对于的点射线与线段交于由的次序，在线段上，依次共线。于是所以这段的最小值在取得，为 在这段上，位于右侧；同样由整体比较，越靠近总和越小。这段的最小值在取得，为 还须比较两个合法方案。由于得所以因此所求最小值为此时 C8、路线从出发，经过轴正半轴上的和轴正半轴上的后到达先后次序不限。路线长度为 （1）若路线次序为求的取值范围。 （2）若路线次序为求的取值范围。 （3）当时，符合长度要求的路线有多少条？ 左图：先经过P，再经过Q；右图：先经过Q，再经过P。 【解析】（1）反射关于轴到反射关于轴到所求长度不小于达到题设长度时，必须依次共线。 直线为两轴截点为两点均在正半轴上等价此时顺序也正确，所以 （2）反射关于轴到反射关于轴到同样可得路线长度不小于连接线为交点均在正半轴上等价且沿到先过后过 （3）时，两种次序的取等直线都经过要求均与重合才可能取等，但正半轴不包括因此0条。这里不把这个不能取得的长度称为最小值。 D、中考真题精选 D1、（2025年新疆维吾尔自治区、新疆生产建设兵团第23(3)题节选）如图，在等腰直角三角形中，点是的中点，点和点分别是线段和上的动点。 （3）当时，求的最小值。 左图：先把ND转化为NA；右图：再利用对称求最短路径。 【解析】先把随变化的换成到固定点的距离。 作于点由于又所以 由得故是的中点。因此在的垂直平分线上，（与重合时与重合，等距关系也成立）。所求和变为 作关于的对称点则还要核实等号点对应的确在线段上。 以为原点、所在直线为轴、所在直线为轴，设则为为两线相交于 此时在线段上，在线段及上，原题条件均满足，所以可以成立。 因此的最小值为 D2、（2025年四川内江第25题）如图，在中，点分别是边上的动点，则周长的最小值是________。 【解析】先固定点作关于的对称点由轴对称，由于位于内，所以于是 到的垂足在线段内部。在直角中，由勾股定理得因此的周长不小于 还要检查这个长度能否取到。取与重合，此时在等腰直角中，射线依次与线段交于依次共线。 的三个角为所以的三个角为所以其中分别由直角中斜边长于直角边得到。因此都在原题规定的边上，两个不等式能够同时取等，所求最小值为 D3、（2026年江苏连云港第27（2）题节选）如图2，已知点到直线的距离在图中找一点使点到点点直线的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值。 左图：一般位置的距离比较；右图：各个等号同时成立的位置。 【解析】取在上方作等边三角形以为中心把旋转到同时把任意点旋转到 旋转保距离，且（与不重合时是等边三角形；重合时两段均为0），所以 作为垂足；作为垂足。因此对平面内任意（包括上、两侧及处），三段距离和均不小于 取则旋转后按顺序在同一直线上，也依次共线，以上不等式同时取等。和为 作法可以写为：作的中点，在下方的中垂线上取使到的距离为此位置在与之间（。作边长2的等边三角形，其高由勾股定理为在的中垂线上从向下截取这一长度即可定位边长2可取的一半。 D4、（2025年山东滨州第16题）如图，每个小正方形的边长都为1，点均在格点上。 （1）只用无刻度的直尺在上找一点使得最短。（保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，在边上找一点使得最小，最小值为______。 【解析】（1）以网格左下角为原点，水平向右、竖直向上为正方向，仅为计算建立坐标。由图可读出取格点只用直尺连接并延长，交于 直线的表达式为直线的表达式为联立得是的中点，又由勾股定理得所以垂直于由垂线段最短，即所求。上述作图只连接两个格点，不需要测量长度。 （2）取关于的对称点连接交于对上的任意一点都有所以 由勾股定理，直线的表达式为与联立，得因为所以在线段上；且在线段上，等号能够取得。因此最小值为 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $