第五章 一次函数（单元自测卷·南京专用）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 南京专用八年级上册数学一次函数单元卷，以现实情境（如絮凝剂净水、机器人送餐）和创新题型（新定义“和谐点”“亮点”）为特色，覆盖变量、图像、性质及应用，适配单元复习，提升数学眼光与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|变量识别、函数图像判断|结合化学实验（净水率）考查自变量分析| |填空题|10/20|图像平移、新定义“和谐点”|动点问题（长方形中面积变化）体现几何直观| |解答题|9/64|行程问题、新定义“亮点”|综合考查建模能力（如快车慢车相遇问题）|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第五章 一次函数(参考答案) 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C C A B C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9． 10． 11． 12． 13． 14．或 15． 16． 17． 18． 3 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（7分） 【详解】（1）解：在这个变化过程中， 自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积，上底和下底是常量；................3分 （2）解：；................5分 （3）解：当时，； 当时，， 所以梯形的面积从变化为．................7分 20．（5分） 【详解】（1）解：根据一次函数的性质得： 当时，函数y的值随x的值的增大而增大， ∴，函数y的值随x的值的增大而增大．................1分 （2）解：要使一次函数函数的图象经过原点，则：为正比例函数， ∴，解得：， ∴当时，函数的图象经过原点．................3分 （3）解：∵函数的图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，解得：， ∴当时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方．................5分 21．（6分） 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设，将代入得，解得， ∴的解析式为：；................2分 （2）解：如图， 令，则，得；令，； ∴，， ∴，， ∴ ；................4分 （3）解：∵， ∴设， ∴， ∴，解得或， ∴坐标为或．................6分 22．（7分） 【详解】（1）解：根据函数图象可得： 甲机床停工保养时间：（分钟）． 乙机床每分钟加工：（个）． 甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工：（个）................3分 （2）解：设保养结束后函数解析式为， ∵甲乙同时工作时每分钟共加工40个零件． 中的     将代入， 得， 解得． ∴解析式为：（）．................5分 （3）解：当时， ， 解得．    乙机床加工零件：（个）．    甲机床加工零件：（个）．     答：乙机床工作时间为90分钟，甲机床加工600个零件，乙机床加工2700个零件．................7分 23．（5分） 【详解】（1）解：设甲种跳绳的进价为元/ 根，则乙种跳绳的进价为元/ 根， 根据题意可得：， 解得：， ，................2分 答：甲种跳绳的进价为元/ 根，乙种跳绳的单价为进/ 根； （2）解：设购买了根甲种跳绳，则购买了根乙种跳绳， 根据题意可得：， 解不等式得：，................3分 则获得的利润为， 整理得：，................4分 ， 随着的增大而减小， 当时，利润最大， 最大利润为， ,................5分 答：当购买根甲种跳绳，根乙种跳绳时所获得的利润最大，最大利润为元． 24．（7分） 【详解】（1）解：当时， ； 当时， 解得； ，．................2分 （2）解：， ， 点C为线段的中点， ， ， 设直线的函数表达式为， ，， 解得 即直线的函数表达式为．................4分 （3）解：如图，当点P在点A右侧时， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ；................5分 当点P在点A左侧时， ， ， 直线的函数表达式为，， 直线的函数表达式为， 当时，， 解得， ；................7分 综上可知点P的坐标为或． 25．（9分） 【详解】（1）解：由图可知，快车全程用时小时， ∵慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时， ∴慢车的行驶时间为（小时）， ∴慢车的速度为， ∵慢车速度是快车速度的一半， ∴快车的速度为；................2分 （2）解：（小时）， ∴点的坐标为， （小时）， ∴快车在乙地停留小时， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴快车返回过程中，；................4分 （3）解：∵快车的速度为， ∴线段的解析式为， ∴快车运动过程的函数关系式为， ∵慢车的速度为，且个小时到达甲地， ∴慢车运动过程的函数关系式为， ①当时， ，， ∵两车相距千米， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ②当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，与矛盾，舍去； ③当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ④当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得（与题设矛盾，舍去）或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，两车出发后经过小时或小时或小时相距千米的路程．................9分 26．（9分） 【详解】（1）解：①联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． ∴一次函数图象的“亮点”坐标在第三象限． ②联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为．................3分 （2）解：联立方程得， 解得： ， ∵一次函数图象的“亮点”为， ∴， 解得：．................5分 （3）解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 令，则，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点C关于直线对称的点，连接，， 则， ∴， ∴， 连接交直线于点P， 此时， ∴．................9分 27．（9分） 【详解】（1）解：点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 故直线的解析式为；................2分 （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， 则， 在中， ，即， 解得， 则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ， 解得， 则直线的解析式为， 点的横坐标为，，交直线于点， 点的横坐标为， 点的坐标为， ；................5分 （3）解：据（2）可知， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 对于直线， 令，可得， 可得点的坐标为， 令，可得， 可得点的坐标为，， ．................9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第五章 一次函数 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 【答案】C 【详解】解：∵篱笆总长为， ∴，为常量； ∵长方形一边长为，则另一边得长为， ∴面积，可取不同数值，随的变化而变化，故变量为和． 2．下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念逐一判断图象即可． 【详解】解：根据函数的定义：当每取一个值时，都有一个值和一一对应． ∵A、B、D这三个选项中的图象当每取一个值时，都有一个值和一一对应， ∴这三个图象能表示为是的函数； ∵C选项中的图象当时，的取值会有两个与其对应， ∴此图不能表示为是的函数． 3．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，对各选项函数形式逐一判断即可得到答案，形如（为常数，）的函数是一次函数． 【详解】解：∵选项A：，不符合一次函数形式． ∵选项B：中的最高次数为2，不符合一次函数定义． ∵选项C：符合形式，其中，，满足一次函数定义． ∵选项D：，不符合一次函数的形式． ∴只有选项C符合要求，故选C． 4．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 【答案】C 【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积，故说法正确； B、当加入絮凝剂的体积为时，净水率为，综合图象，此时净水率最高，故说法正确； C、未加入絮凝剂时，净水率为，不为0，故说法错误； D、由图象可知，随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低，故说法正确． 5．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】由一次项系数确定函数增减性，结合特殊点坐标验证各选项正误． 【详解】解：A、∵一次项系数，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、当时，，∴函数图象与轴交于点，结论正确，不符合题意； C、当时，，∵随的增大而减小，∴当时，，结论错误，符合题意； D、∵一次项系数，常数项，∴直线经过第一、二、四象限，结论正确，不符合题意． 6．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性比较函数值大小． 【详解】解： ， 随的增大而减小． ， ． 7．正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限及直线与y轴交点作判断即可． 【详解】解：A、由图得：，而中，与y轴交于正半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图得：，而中，，则，与y轴交于负半轴，则，一致，故本选项符合题意； C、由图得：，而中，与y轴交于负半轴，则，矛盾，故本选项不符合题意； D、正比例函数图象必过原点，而图中直线均不过原点，故本选项不符合题意． 8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城． 在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或． 其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据图像信息求出甲、乙两车的速度及各自的函数解析式，再逐一验证四个结论：①由图像终点纵坐标判断、两城距离；②由图像起点和终点横坐标判断两车的出发与到达时间；③通过联立两车的函数解析式求出相遇时间，从而验证乙车追上甲车的时间；④分情况讨论两车相距千米时的时间，最后统计正确结论的个数． 【详解】解：∵甲、乙两车从城到城的最大距离为千米， ∴①、两城相距千米，正确． ∵甲车速度千米/小时， ∴甲车函数解析式为． ∵乙车速度千米/小时， ∴乙车函数解析式为． 联立， 解得， ∴乙车出发后小时追上甲车，故③错误． 乙车到达B城所用时间为（小时）， 乙车在时出发，时到达， ∵甲车在时出发，时到达， ∴②乙车比甲车晚出发小时，早到小时，正确． 当时， 分两种情况： ， 解得； ， 解得． 故④正确． 综上，①②④正确，共个． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 10．直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 【答案】 【分析】直线的平移遵循“上加下减，左加右减”，直线向下平移时只需改变解析式的常数项即可． 【详解】解：原直线解析式为，平移后可得： 因此平移后直线的解析式为． 11．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】作轴于点，先根据证明，从而得，即可得直线的函数关系式为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 又，即， ， 在与中， ， ， ，， 又，， ，， ， ， 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得：， 直线的函数关系式为． 12．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据“和谐点”定义得到和谐点满足，联立直线方程得到与的关系，结合的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】解：∵“和谐点”满足坐标关系，直线上存在“和谐点”， ∴联立方程得 整理得 ， ∵， ∴ ，即． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】先求出，再结合直线与直线相交于点，即可得出结果． 【详解】解：将代入直线得，即， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于，的方程组的解是． 14．如图1，在长方形中，，动点从点出发，以的速度沿的路线匀速运动，直至运动到点停止．图2是点出发时，的面积随时间变化的情况．若当动点从点出发并在边上运动时，另一动点同时从点出发以的速度沿边匀速运动，直至运动到点时停止．则在点，的运动过程中，当与全等时，________． 【答案】或 【分析】先结合图像求出动点的速度与长方形边长，再分两种三角形全等的对应情况，用时间表示各线段后列方程，求出的值． 【详解】解：根据题图可知，点沿的路线匀速运动共用时， 四边形为长方形， ， 点在和上运动时间相等，且共用时， 点在上用时， 点的运动速度为，， 当， 可得，， 则， 解得， 此时，则， 解得； 当， 可得，， 则， 解得， ，则， 解得， 综上，或． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小的时候，点C的坐标是________． 【答案】 【分析】作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，此时最小，由点A的坐标可得出点的坐标，由点，B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点C，如图所示． ∵的周长，且长固定， ∴当的周长最小时，最小， 即最小， 当三点在一条直线上时，最小， ∵点A的坐标为， ∴点A′的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点C的坐标为． 16．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 【答案】①③④ 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 【详解】解：由图象可知：小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故③正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故②错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 综上：正确． 17．如图，在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由直线图象与性质，结合等腰直角三角形的判定与性质，找准坐标规律即可． 【详解】解：直线：是第一象限的角平分线， ， 则由题意可知，均为等腰直角三角形， ，点（为从开始的连续自然数）在直线：上， ，则， 同理，则；，则 ， 即，可表示为； ，可表示为； ，可表示为； 依此类推得到， 点的坐标为，即． 18．新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 3 【分析】（1）先求出当时，和的值，比较即可得出结果； （2）先求出直线过定点，令，解得，求出当时，，当时，，画出函数图象，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，，， ∵， ∴当时，； （2）∵， ∴直线过定点， 令， 解得， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵过定点的直线与函数的图象有两个交点， ∴结合图形可得， 当经过时，，解得，此时直线与函数的图象只有个交点， ∴的取值范围是． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（7分）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 【答案】(1)梯形的高，梯形的面积，上底，下底 (2) (3)面积从变化到 【分析】（1）根据自变量，因变量，常量的定义解答； （2）根据梯形的面积公式解答即可； （3）将分别代入关系式，再求出解即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积，上底和下底是常量； （2）解：； （3）解：当时，； 当时，， 所以梯形的面积从变化为． 20．（5分）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？ (2)当k取何值时，函数的图象经过原点？ (3)当k满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的性质：比例系数大于0时，函数y的值随x的值的增大而增大，即可列不等式，解出即可得函数y的值随x的值的增大而增大时k满足什么条件． （2）要使一次函数的图象经过原点，为正比例函数，根据正比例函数性质即可列方程，解出即可得函数的图象经过原点时，k取何值． （3）根据函数的图象与y轴的交点在x轴的下方即可列不等式，解出即可得k满足什么条件． 【详解】（1）解：根据一次函数的性质得： 当时，函数y的值随x的值的增大而增大， ∴，函数y的值随x的值的增大而增大． （2）解：要使一次函数函数的图象经过原点，则：为正比例函数， ∴，解得：， ∴当时，函数的图象经过原点． （3）解：∵函数的图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，解得：， ∴当时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方． 21．（6分）在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】首先求出，然后利用待定系数法解答即可； 先求出，，然后通过即可求解； 设，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设，将代入得，解得， ∴的解析式为：； （2）解：如图， 令，则，得；令，； ∴，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵， ∴设， ∴， ∴，解得或， ∴坐标为或． 22．（7分）某工厂使用甲、乙两种不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量（个）与乙机床工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为__________分钟；乙机床每分钟加工__________个零件；甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工__________个零件； (2)求甲机床停工保养结束之后，甲乙两机床继续工作期间关于的函数解析式并标出的取值范围（保养结束与继续工作的时间分界点计为保养时段内）； (3)若两台机床加工零件的总数量为3300个，求乙机床工作时间为多少分钟？此时甲、乙两机床各加工了多少个零件？ 【答案】(1)30；30；40 (2)（） (3)乙机床工作时间为90分钟，甲机床加工600个零件，乙机床加工2700个零件． 【分析】（1） 利用图像中机床停工保养前后的时间差求保养时间，通过保养阶段乙机床的工作量求其速度，根据分钟共加工个零件，即可求得甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工多少个零件； （2） 利用初始阶段的总加工量求甲乙同时工作的速度和，再用待定系数法求保养结束后函数解析式； （3） 代入总加工量到函数解析式求时间，再分别计算甲、乙的加工量． 【详解】（1）解：根据函数图象可得： 甲机床停工保养时间：（分钟）． 乙机床每分钟加工：（个）． 甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工：（个） （2）解：设保养结束后函数解析式为， ∵甲乙同时工作时每分钟共加工40个零件． 中的     将代入， 得， 解得． ∴解析式为：（）． （3）解：当时， ， 解得．    乙机床加工零件：（个）．    甲机床加工零件：（个）．     答：乙机床工作时间为90分钟，甲机床加工600个零件，乙机床加工2700个零件． 23．（5分）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳每根的进价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根，一共花费元． (1)甲、乙两种跳绳的进价分别是多少元/ 根？ (2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 【答案】(1)甲种跳绳的进价为元/ 根，乙种跳绳的单价为元/ 根. (2)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根时，利润最大. 【分析】（1）设甲种跳绳的进价为元/根，则乙种跳绳的单价为元/ 根，列一元一次方程求解即可； （2）设购买了根甲跳绳，则购买了根乙跳绳，根据费用不超过元，列不等式求出的取值范围，列出利润关于的一次函数解析式，根据一次函数的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：设甲种跳绳的进价为元/ 根，则乙种跳绳的进价为元/ 根， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：甲种跳绳的进价为元/ 根，乙种跳绳的单价为进/ 根； （2）解：设购买了根甲种跳绳，则购买了根乙种跳绳， 根据题意可得：， 解不等式得：， 则获得的利润为， 整理得：， ， 随着的增大而减小， 当时，利润最大， 最大利润为， , 答：当购买根甲种跳绳，根乙种跳绳时所获得的利润最大，最大利润为元． 24．（7分）如图，在平面直角坐标系中，函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C为线段的中点． (1)求点A、点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若点P是x轴上的一点，当时，求满足条件的P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）分别把，代入函数关系式即可求解； （2）根据题意先确定点C的坐标，再利用待定系数法即可解答； （3）分点P在点A右侧和点P在点A左侧两种情况，分别画图分析即可． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， 解得； ，． （2）解：， ， 点C为线段的中点， ， ， 设直线的函数表达式为， ，， 解得 即直线的函数表达式为． （3）解：如图，当点P在点A右侧时， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； 当点P在点A左侧时， ， ， 直线的函数表达式为，， 直线的函数表达式为， 当时，， 解得， ； 综上可知点P的坐标为或． 25．（9分）快、慢两车分别从相距千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶．两车距甲地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并注明的取值范围； (3)求两车出发后经过多长时间相距千米的路程． 【答案】(1)快车的速度为，慢车的速度为 (2) (3)两车出发后经过小时或小时或小时相距千米的路程 【分析】（1）由题意容易判断慢车的行驶时间为小时，进而求出慢车的速度，再结合快、慢车的速度之间的关系，求出快车的速度； （2）先求出快车从甲地到乙地的行驶时间，从而得到点和点的坐标，再利用待定系数法求出线段的解析式； （3）先分别计算出两车运动过程的函数关系式，分段分析，利用解方程求出的值． 【详解】（1）解：由图可知，快车全程用时小时， ∵慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时， ∴慢车的行驶时间为（小时）， ∴慢车的速度为， ∵慢车速度是快车速度的一半， ∴快车的速度为； （2）解：（小时）， ∴点的坐标为， （小时）， ∴快车在乙地停留小时， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴快车返回过程中，； （3）解：∵快车的速度为， ∴线段的解析式为， ∴快车运动过程的函数关系式为， ∵慢车的速度为，且个小时到达甲地， ∴慢车运动过程的函数关系式为， ①当时， ，， ∵两车相距千米， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， ②当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得，与矛盾，舍去； ③当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ④当时， ，， ∵， ∴， 整理，得， 解得（与题设矛盾，舍去）或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，两车出发后经过小时或小时或小时相距千米的路程． 26．（9分）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． (1)①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 【答案】(1)①三； ② (2) (3) 【分析】（1）①联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组求出“亮点”坐标，进而可得出亮点坐标所在象限；②联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组求出“亮点”坐标即可． （2）先求出一次函数图象的“亮点”坐标，然后再得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． （3）根据题意得出，求出点A，点B的坐标，进而得出，作点C关于直线对称的点，连接，，则，由垂直平分线的性质进一步得出，连接交直线与点P，此时，最后根据勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：①联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． ∴一次函数图象的“亮点”坐标在第三象限． ②联立方程组得， 解得， 则一次函数图象的“亮点”坐标为． （2）解：联立方程得， 解得： ， ∵一次函数图象的“亮点”为， ∴， 解得：． （3）解：∵一次函数的图象上没有“亮点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 令，则，，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点C关于直线对称的点，连接，， 则， ∴， ∴， 连接交直线于点P， 此时， ∴． 27．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点为轴上一点，连接． (1)求直线的解析式； (2)如图2，过点作交于点，点为轴上一动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，当点在线段上时，若的面积，求与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点在轴正半轴上运动时，交直线于点，延长交轴于点，连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用、两点坐标，通过待定系数法得到直线解析式； （2）先证，设未知数，根据勾股定理列方程求出点坐标，得到直线解析式，用表示点纵坐标，然后用三角形面积公式写出关于的函数； （3）通过角度转化证，得到，再根据证，求出，得到、坐标，根据勾股定理算出长度． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 故直线的解析式为； （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 设，， 则， 在中， ，即， 解得， 则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入可得， ， 解得， 则直线的解析式为， 点的横坐标为，，交直线于点， 点的横坐标为， 点的坐标为， ； （3）解：据（2）可知， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 对于直线， 令，可得， 可得点的坐标为， 令，可得， 可得点的坐标为，， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第五章 一次函数 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 2．下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 5．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 6．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城． 在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或． 其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．函数是一次函数，则m的值为______． 10．直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 11．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 12．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 14．如图1，在长方形中，，动点从点出发，以的速度沿的路线匀速运动，直至运动到点停止．图2是点出发时，的面积随时间变化的情况．若当动点从点出发并在边上运动时，另一动点同时从点出发以的速度沿边匀速运动，直至运动到点时停止．则在点，的运动过程中，当与全等时，________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小的时候，点C的坐标是________． 16．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 17．如图，在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为______． 18．新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（7分）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 20．（5分）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？ (2)当k取何值时，函数的图象经过原点？ (3)当k满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？ 21．（6分）在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 22．（7分）某工厂使用甲、乙两种不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量（个）与乙机床工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为__________分钟；乙机床每分钟加工__________个零件；甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工__________个零件； (2)求甲机床停工保养结束之后，甲乙两机床继续工作期间关于的函数解析式并标出的取值范围（保养结束与继续工作的时间分界点计为保养时段内）； (3)若两台机床加工零件的总数量为3300个，求乙机床工作时间为多少分钟？此时甲、乙两机床各加工了多少个零件？ 23．（5分）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳每根的进价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根，一共花费元． (1)甲、乙两种跳绳的进价分别是多少元/ 根？ (2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 24．（7分）如图，在平面直角坐标系中，函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C为线段的中点． (1)求点A、点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若点P是x轴上的一点，当时，求满足条件的P的坐标． 25．（9分）快、慢两车分别从相距千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶．两车距甲地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并注明的取值范围； (3)求两车出发后经过多长时间相距千米的路程． 26．（9分）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． (1)①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 27．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点为轴上一点，连接． (1)求直线的解析式； (2)如图2，过点作交于点，点为轴上一动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，当点在线段上时，若的面积，求与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点在轴正半轴上运动时，交直线于点，延长交轴于点，连接，若，求线段的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(南京专用) 第五章 一次函数 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 2．下列图形中，不能表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 4．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（     ） A．在这个变化过程中，自变量是加入絮凝剂的体积 B．当加入絮凝剂的体积为时，净水率最高 C．未加入絮凝剂时，净水率为0 D．随着加入的絮凝剂的体积越大，净水率先增高再降低 5．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．随的增大而减小 B．函数的图象与轴交于点 C．当时， D．直线经过第一、二、四象限 6．已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．正比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城． 在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A、B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或． 其中结论正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．函数是一次函数，则m的值为______． 10．直线向下平移个单位长度得到的直线的解析式是_________． 11．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 12．定义：点为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“和谐点”．若时，直线上有“和谐点”，则的取值范围是________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 14．如图1，在长方形中，，动点从点出发，以的速度沿的路线匀速运动，直至运动到点停止．图2是点出发时，的面积随时间变化的情况．若当动点从点出发并在边上运动时，另一动点同时从点出发以的速度沿边匀速运动，直至运动到点时停止．则在点，的运动过程中，当与全等时，________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当的周长最小的时候，点C的坐标是________． 16．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 17．如图，在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为______． 18．新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（7分）如图所示，梯形的上底长是5cm，下底长是13cm，当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______，常量是______； (2)请直接写出梯形的面积y（cm2）与高x（cm）之间的关系式； (3)当梯形的高由8cm变化到2cm时，梯形的面积的变化情况． 20．（5分）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，函数y的值随x的值的增大而增大？ (2)当k取何值时，函数的图象经过原点？ (3)当k满足什么条件时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？ 21．（6分）在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 22．（7分）某工厂使用甲、乙两种不同型号的自动机床加工零件，它们工作时各自的速度均保持不变．某天它们同时开始工作，甲机床工作一段时间后停工保养，保养结束后又和乙机床继续工作．甲、乙两机床加工零件总数量（个）与乙机床工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机床停工保养的时间为__________分钟；乙机床每分钟加工__________个零件；甲乙两机床同时工作时，每分钟共加工__________个零件； (2)求甲机床停工保养结束之后，甲乙两机床继续工作期间关于的函数解析式并标出的取值范围（保养结束与继续工作的时间分界点计为保养时段内）； (3)若两台机床加工零件的总数量为3300个，求乙机床工作时间为多少分钟？此时甲、乙两机床各加工了多少个零件？ 23．（5分）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳每根的进价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根，一共花费元． (1)甲、乙两种跳绳的进价分别是多少元/ 根？ (2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？ 24．（7分）如图，在平面直角坐标系中，函数与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C为线段的中点． (1)求点A、点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)若点P是x轴上的一点，当时，求满足条件的P的坐标． 25．（9分）快、慢两车分别从相距千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车返回到甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶．两车距甲地的路程（千米）与所用时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)请直接写出快、慢两车的速度； (2)求快车返回过程中（千米）与（小时）的函数关系式，并注明的取值范围； (3)求两车出发后经过多长时间相距千米的路程． 26．（9分）定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”，例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”坐标为． (1)①一次函数图象的“亮点”在第________象限； ②一次函数图象的“亮点”坐标为________； (2)若一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点C在x轴上坐标为，点P在直线上，则的最小值为________． 27．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点为轴上一点，连接． (1)求直线的解析式； (2)如图2，过点作交于点，点为轴上一动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，交直线于点，当点在线段上时，若的面积，求与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，当点在轴正半轴上运动时，交直线于点，延长交轴于点，连接，若，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $