第1章 三角形 专题提优5：等腰三角形中的分类讨论 讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学等腰三角形中的分类讨论核心知识点，系统梳理腰与底、顶角与底角、三角形形状、中线与垂直平分线、构造与动点等八大情境下的分类依据，构建从基础性质到综合应用的学习支架，帮助学生掌握分类讨论的逻辑方法。 该资料通过多样化问题设计（如“腰上的中线分周长”“新定义倍长三角形”）覆盖分类讨论全场景，以具体实例培养学生的推理意识与几何直观，课中助力教师分层教学，课后辅助学生针对性练习，强化数学思维的严谨性与问题解决能力。

专题提优5 等腰三角形中的分类讨论 一、腰和底不明确时需分类讨论 1. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________. 答案：11cm或13cm 2. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为10，则另两边长分别为________. 答案：4，2或3，3 二、顶角和底角不明确时需分类讨论 3. (1) 若等腰三角形的一个角为，则顶角为________. (2) 若等腰三角形的一个角为，则顶角为________. (3) 若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为________ (4) 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少，则顶角度数为________. 答案： (1) 20°或80° (2) 110° (3) 45°或72° (4) 或或 解析：设另一个角是，表示出一个角是是顶角，是底角时，，解得，顶角是；②是底角，是顶角时，，解得，顶角是；③与都是底角时，，解得，顶角是.综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或. 三、三角形形状不明确时需分类讨论 4. 在中，是边上的高，，则的度数为________. 答案：或 解析：①当顶角为锐角时，，；②当顶角为钝角时，.综上所述，的度数为或. 5. 如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数为________. 答案：或或 解析：①如图①，.②如图②，.③如图③，.故答案为或或. 四、腰上的中线引起的分类讨论 6. 已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是________. 答案：8或4 解析：如图①②，是腰的中线，，或或. 7. 已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为和两部分，求它的三边长. 答案：设腰长为，则有或，所以或.①当腰长为时，可得底边长为；②当腰长为时，可得底边长为.所以等腰三角形的三边长为或. 五、垂直平分线引起的分类讨论 8. 已知线段的垂直平分线上有两点，若，则________. 答案：60°或100° 解析：如图，垂直平分，垂足为，，.①当点在线段上，时，则.②当点在的延长线上，时，则..综上所述，的度数为或. 9. 在中，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的底角________. 答案：或 解析：符合题意的图形有两种：①如图①，当为锐角三角形时，交点在腰上.由题意可得，故. ②如图②，当为钝角三角形时，交点在腰的延长线上.由题意可得，故，.综上所述，或. 六、构造等腰三角形中的分类讨论 10. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是________. 答案：10°或100° 解析：如图，有点与点两种情况.①在中，，，由作图可知；②由作图可知..综上所述，的度数是或. 11. 有一张三角形纸片，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是________. 答案：或或 解析：由题意知与均为等腰三角形，对于可能有①，此时；②，此时，此时.综上所述，的度数可以是或或. 12. 有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长两条直角边中的一条，画出扩充后的等腰三角形绿地的示意图. 答案：①，如图①； ②，如图②； ③，如图③； ④，如图④； ⑤，如图⑤； ⑥，如图⑥. 七、动点与动线引起的分类讨论 13. 如图，在中，，，边绕点顺时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，则所有可能的取值是________. 答案：130或100或160 解析：由旋转可得为等腰三角形，分三种情况讨论.①当时，.②当时，，.③当时，，.综上所述，所有可能的取值为130或100或160. 14. 如图，，点是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当s时，是等腰三角形. 答案：或10 解析：当且点在上时，是等腰三角形.如图①所示，，解得.当且点在延长线上时，是等边三角形，如图②所示.当时，，解得.故答案为或10. 15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角)，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点.若是等腰三角形，则的度数为________. 答案：或或 解析：由翻折得.当时，如图①，.在中，，，.当时，则，这与与交于点矛盾，这种情形不存在，舍去.当时，有两种情形：一是点在线段上时，如图②，.在中，.二是点在线段的延长线上时，如图.又.在中，.综上所述，的度数为或或. 八、“新定义”中的分类讨论 16. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为________. 答案：6 解析：是等腰三角形，底边， .当时，是“倍长三角形”；当时，，根据三角形三边关系，此时构不成三角形，不符合题意，当等腰是“倍长三角形”，底边的长为3时，腰的长为6. 17. 【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”. 【理解】(1) 如图①，在中，，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数. (2) 如图②，已知是一个顶角为的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数. 【应用】(3) 在中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值：________. (4) 在中，，和分别是的“好好线”，点在边上，点在边上，且，请你根据题意画出示意图，并求的度数. 答案：(1) 如图所示. (2) 如图所示(任选一种即可). (3) 解析：如图①，，，则和都是等腰三角形，最大内角为.如图②，，则和都是等腰三角形，最大内角为，但此时既有“好线”又有“好好线”，应舍去.如图③，，则和都是等腰三角形，最大内角为.如图④，，则和都是等腰三角形，最大内角为.如图⑤.，则和都是等腰三角形.，最大内角为.如图⑥，，，则和都是等腰三角形，，最大内角为.综上，中最大内角的所有可能值为.(4) 如图⑦，当时，又，.设，则，解得.如图⑧，当时，.设，则.又，解得.如图⑨，当时，又.又.故的度数为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提优5 等腰三角形中的分类讨论 一、腰和底不明确时需分类讨论 1. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________. 2. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为10，则另两边长分别为________. 二、顶角和底角不明确时需分类讨论 3. (1) 若等腰三角形的一个角为，则顶角为________. (2) 若等腰三角形的一个角为，则顶角为________. (3) 若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为________ (4) 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少，则顶角度数为________. 三、三角形形状不明确时需分类讨论 4. 在中，是边上的高，，则的度数为________. 5. 如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数为________. 四、腰上的中线引起的分类讨论 6. 已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是________. 7. 已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为和两部分，求它的三边长. 五、垂直平分线引起的分类讨论 8. 已知线段的垂直平分线上有两点，若，则________. 9. 在中，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的底角________. 六、构造等腰三角形中的分类讨论 10. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是________. 11. 有一张三角形纸片，点是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则的度数可以是________. 12. 有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长两条直角边中的一条，画出扩充后的等腰三角形绿地的示意图. 七、动点与动线引起的分类讨论 13. 如图，在中，，，边绕点顺时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，则所有可能的取值是________. 14. 如图，，点是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当s时，是等腰三角形. 15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角)，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点.若是等腰三角形，则的度数为________. 八、“新定义”中的分类讨论 16. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，则腰的长为________. 17. 【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”. 【理解】(1) 如图①，在中，，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数. (2) 如图②，已知是一个顶角为的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数. 【应用】(3) 在中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值：________. (4) 在中，，和分别是的“好好线”，点在边上，点在边上，且，请你根据题意画出示意图，并求的度数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $