精品解析：江苏省无锡市金桥双语实验学校2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省无锡市滨湖区金桥双语实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程）判断各选项． 【详解】解：选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项，含有参数，若则方程变为一次方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，方程含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项，只含有一个未知数，最高次数为，且为整式方程，符合一元二次方程的定义． 故选：． 2. 的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系． 根据点与圆的位置关系：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：的半径，点到圆心的距离为， ， 即点在内． 故选：． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆的性质、三角形内心的定义，解题关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的性质和三角形内心的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：选项，对称轴是直线，直径是线段，任何直径所在的直线是对称轴，但直径本身不是对称轴，说法错误，不符合题意； 选项，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径，则不一定垂直，说法错误，不符合题意； 选项，三角形的内心是角平分线的交点，到三边距离相等，等于内切圆半径，说法正确，符合题意； 选项，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，否则不一定，说法错误，不符合题意． 故选：． 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据黄金分割的定义，代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可知，C是的黄金分割点，， ， 故选：C． 5. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小. 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为，则到的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是位似图形、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 的面积为， 的面积为． 故选：． 7. 如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，证明，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．本题考查一线三等角相似模型，平时多归纳总结，可以快速进行解题． 8. 若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的解、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 由已知根代入原方程得与的关系，再代入新方程求解即可． 【详解】解： 方程 的一个根为， ， ， 对于方程， 代入，得 ， ，两边除以，得 ， 即， 或， 或， 即方程根为或． 故选：． 9. 如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明出，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，且旋转至矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正确得到是解题的关键． 10. 如图所示，已知正方形，点为线段上异于端点的一动点，于点，交于点，、交于点，平分交于点．下列结论正确的有（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①过点作于，先证得，进而得出，设，利用勾股定理可得，再由，即可判断①； ②设，则，可证得，则，，再证得，，，即可判断②； ③延长交于，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，可证得，则，设，则正方形的边长为，再利用直角三角形和等腰三角形性质即可判断③； ④由已知可求得，，利用相似三角形的判定和性质即可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 过点作于，如图， 则，，， ，， 设，则， ， ， ， ，故①正确； ②，设，则， 正方形的边长为，， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，故②错误； ③如图，延长交于，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ， ， 在和中， ， ， ，设，则正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ④，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， ，， 由②知， ，即， ，故④正确； 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的求值，解题关键是理解． 将所求分式拆分为两个分式之和，利用已知条件代入计算即可得解． 【详解】解：由 得 ． 故答案为： ． 12. 若将一元二次方程化为的形式，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是配方法，解题关键是熟练掌握配方法． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较系数确定和的值，再计算它们的和． 【详解】解：方程 配方，得 ， 即 ， ，， ． 故答案为：． 13. 据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心月份的参观人数该展览中心月份的参观人数参观人数的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14. 一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为，则该圆锥的母线长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆锥的侧面积公式，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式． 利用圆锥的侧面积公式，其中为侧面积，为底面半径，为母线长，代入已知数值即可求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据圆锥侧面积公式得， 化简得， 解得． 故答案为：． 15. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（2，0） 【解析】 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 所以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示， 则圆心是（2，0）， 故答案为：（2,0）． 16. 如图，在半径为6的☉O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是__________．  【答案】8 【解析】 【详解】如图所示，连接DO，交AC于点F， ∵D是的中点，∴OD⊥AC，∠ABD=∠CBD，∴AF=FC． ∵AO=OB，∴OF=BC． ∵E是BD的中点，∴DE=EB． 又∵OD=OB，∴∠ABD=∠FDE，∴∠FDE=∠EBC． 又∠DEF=∠BEC， ∴△DEF≌△BEC(ASA)， ∴DF=BC，∴OD=BC=6， ∴BC=4． ∵AB是直径，∴∠ACB=90°， ∴AC==8． 17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 18. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作的垂线交于点． （1）若，则______； （2）如图，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】证明，推出，求出即可； 判断出点的运动轨迹是线段，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图中，四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如图中，连接，取的中点，连接，， 在等边三角形中，，是的中点， ，， 又是的中点， ， 在中，，是的中点， ， ， 点，，，四点共圆， 连接，则， 点在以点为端点，上方且与射线夹角为的射线上， 如图，过作于点， 点从点出发，沿边运动到点， 点从点沿运动到点， 在中，， ， 点所经过的路径长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、解直角三角形以及四点共圆的综合运用，解题关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质以及含角的直角三角形的性质得出结论． 三、解答题：本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法． 利用直接开平方法即可求解； 利用因式分解法即可求解； 利用公式法求解即可； 利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：， 这里，，， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， 这里，，， ， ， ，． 20. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据，解不等式即可； （2）由根与系数的关系得出和的值，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：关于的方程有实数根， ， 解得：． 故的取值范围是． 【小问2详解】 解： ，， ， ， 解得，， 又， ． 21. 平行四边形中，点F是边上一点，连接并延长交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， 而， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，再利用得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据平行四边形的性质得到，再由（1）得，则利用相似比可计算出，所以，接着根据平行四边形的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， 即， 解得， ， 四边形ABCD为平行四边形， ，， ， ， ． 22. 如图，已知是的直径，点F和点G在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，连接，， ，且有． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接， 利用角平分线的性质和等腰三角形的性质证明，结合，从而证明是的切线； （2）由是的直径，，可得是等腰直角三角形，使用勾股定理可以计算出的值．根据题意容易证得，则，代入数值计算出，最后使用勾股定理计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 在直角中，， 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，利用圆的性质判定相切和相似三角形是解题关键． 23. 在中，，，，已知经过点C，且与相切于点． （1）在图1中作出（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点D是边上的动点，设与边分别相交于点E、F，求的最小值． 【答案】（1） 解：连接，作线段的垂直平分线交过点D垂直的直线与点O，以O为圆心，为半径作即可，即为所求； ∵在线段CD的垂直平分线上， ∴， ∵于， ∴切于点； （2）的值最小值为 【解析】 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交过点D垂直的直线与点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）连接CO，OD，过点C作于点利用面积法求出CT，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，过点C作于点 在中，， ， ， ， 是直径， ， 当C，O，D共线时，点D与点T重合，此时的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，垂线段最短，的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，垂直平分线的性质和作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24. 某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： （1）若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； （2）若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）每千克元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 25. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得此外，测得窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，，点在光线上，求的长； （2）求，的长． 【答案】（1）（2）的长为，的长为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先证明，根据相似三角形的性质得①，再证明，根据相似三角形的性质得到②，则解①②组成的方程组得，，接着证明，根据相似三角形的性质得到，利用比例的性质得到，然后证明，根据相似三角形的性质得，从而可求出的长； （2）由（1）得的长为，的长为． 【详解】解：（1）， ， ， 即①， ， ， ， 即②， 解由①②组成的方程组： ， 解得， 经检验是原方程组的解； ， ， ， ， ， ， 即， 解得， 答：的长为； （2）由（1）得的长为，的长为． 26. 【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______； 【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长； 【拓展迁移】（3）在矩形中，，，点E、F分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点N和点Q，且，请求出线段的长． 【答案】（1） ；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答案； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ，解直角三角形即可求解； （3）根据四边形是矩形，翻折的性质可得，分类讨论：第一种情况，过点N作于点R，得到四边形是矩形，求出，可证，得到，由可解；第二种情况，设与交于点S，可证，得到，，再证，得到，由可解． 【详解】解：（1）如图1， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）在中，，，，D为边上一点，，交于点E，过点A，D作的垂线，垂足分别为M，N，如图2， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）四边形是矩形， ，， 四边形翻折，得到四边形， ，，，， 第一种情况，如图，过点N作于点R， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，且， ， ， 即， ， ，， ； 第二种情况，如图，设与交于点S， 同理，，， ， ，， ， ， 即， ，， ，， ，， ， ， 即， ， ， ； 综上所述，的长为或 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 27. 如图，已知P为锐角内部一点，过点P作于点B，于点C，以为直径作，交直线于点D，连接，，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当，时，在点P的整个运动过程中， ①若，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的的长； （3）当点P与点C重合，如图设连接与的另一交点为F，若点F是线段的中点，则______． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 又， ； （2）①；②当或6时，为等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）由、知，据此得，根据即可得证； （2）①由题易得，先求，再求即可；②分两种情形：，，分别求解即可． （3）证明，则可得，设，则，，连接、，易得四边形是矩形，，连接，易证垂直平分，则，分别用k表示出、，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图， ， ， 在中， ， ∴， 在中，, ∵， ∴ 解得（负值舍去）； ②当时， 则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ； 当时， 过B作于点H， ，， ， ， ∴， 则， ， 解得（负值舍去），， 设，则， ∵， ∴四边形是矩形， ，， ，且， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上所述，当或6时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：，， ， ， 设，则， ， 连接、， 则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 连接， ， ， 是中点， 垂直平分， ，即， 解得负值舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质，三角函数，矩形的性质和判定，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省无锡市滨湖区金桥双语实验学校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 无法确定 3. 下列说法正确的是（ ） A. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为，则到的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，点，分别在边，上，，若，，则的长度为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在矩形纸片中，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，此时恰好经过点D，连接，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 如图所示，已知正方形，点为线段上异于端点的一动点，于点，交于点，、交于点，平分交于点．下列结论正确的有（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若，则的值为______ ． 12. 若将一元二次方程化为的形式，则______ ． 13. 据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为，则可列方程为_______． 14. 一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为，则该圆锥的母线长为______ 15. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________． 16. 如图，在半径为6的☉O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是__________．  17. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 18. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边运动到点，连接，过点作的垂线交于点． （1）若，则______； （2）如图，在点的运动过程中，以为边，在上方作等边，则边的中点所经过的路径长为______． 三、解答题：本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 20. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根满足，求的值． 21. 平行四边形中，点F是边上一点，连接并延长交的延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的值． 22. 如图，已知是的直径，点F和点G在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，连接，， ，且有． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 23. 在中，，，，已知经过点C，且与相切于点． （1）在图1中作出（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若点D是边上的动点，设与边分别相交于点E、F，求的最小值． 24. 某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： （1）若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； （2）若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 25. 根据以下材料，完成探究任务． 利用相似三角形测高 发现、提出问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践活动．如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙，同学们提出问题如下：围墙的高度是多少米？ 分析问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作： ①当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进地面点时，测得此外，测得窗高，窗户距地面的高度． 解决问题 （1）如图，靠窗放置一张长方形桌子，，点在光线上，求的长； （2）求，的长． 26. 【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______； 【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长； 【拓展迁移】（3）在矩形中，，，点E、F分别为线段和线段边上的一点，以为折痕，将四边形翻折，得到四边形，直线和直线分别交直线于点N和点Q，且，请求出线段的长． 27. 如图，已知P为锐角内部一点，过点P作于点B，于点C，以为直径作，交直线于点D，连接，，交于点． （1）求证：； （2）连接，，当，时，在点P的整个运动过程中， ①若，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形时，求所有满足条件的的长； （3）当点P与点C重合，如图设连接与的另一交点为F，若点F是线段的中点，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $