一次函数中的三角形面积问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

一次函数中的三角形面积问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 复习导航 先判断底和高是否容易确定，再选择割补或铅垂法；由面积求点或直线时，保留不同位置，检查运动范围。 板块 练习重点 A、基础通关 底和高、坐标差与规范割补 B、难点突破 不同位置、独立面积条件与面积比 C、综合进阶 运动范围、多个面积与图像逆推 D、中考真题精选 近年真题中的面积与函数联系 内容目录 一、由坐标确定底和高 2 二、用割补求三角形面积 5 三、作竖直线分割求面积（铅垂法） 8 四、同底等高与面积比 11 五、已知面积求点的坐标 14 六、用面积条件确定直线 18 七、动点面积的变化 21 A、基础通关 24 B、难点突破 28 C、综合进阶 33 D、中考真题精选 40 一、由坐标确定底和高 求三角形面积，先找容易确定长度的底，再找与这条底垂直的高。若一条边在坐标轴上，或平行于坐标轴，通常先用这条边作底，不必先求另外两条斜边。 若且则是水平线段，底长为点到直线的高为所以底不在轴上时，高不是直接取 若且则是竖直线段，底长为点到直线的高为所以 坐标可以为负，长度不能为负。同侧两点间的距离用较大坐标减较小坐标；分处坐标轴两侧时也是取坐标差的绝对值。若三点在同一直线上，就不能构成三角形。 若顶点是一次函数图像与坐标轴的交点，与轴相交时令与轴相交时令先求精确坐标，再算底和高；不要用图上量出的近似长度代替计算。 如：以为底，底长高为面积为这里不能把点的纵坐标直接当高。 例1、在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点求点的坐标及的面积。 【解析】令得所以令得 且与互相垂直，所以 变式1-1、直线与两坐标轴分别交于点则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】B。两交点为对应的线段长分别为所以面积为纵坐标为不表示高为负数。 变式1-2、已知则的面积为______。 【解析】水平底长为点到直线的高为面积为 变式1-3、已知点在直线上，且横坐标为 求的面积。 【解析】将代入，得所以 以竖直线段为底，底长为对应的高为所以面积为 二、用割补求三角形面积 三角形的三条边都不便直接作底求高时，可以把它分成容易计算的三角形，或者补成一个较大的三角形，再减去多出的部分。这就是割补法。若原图已有水平边或竖直边，先检查能否直接用底高公式，不必为了使用割补而多作辅助线。 常见做法是把一条边延长，与坐标轴相交。交点在边的哪一侧，要由坐标或直线表达式确定。不能仅凭示意图决定该相加还是相减。 例如在同一直线上，且在线段上，则由和组成，故如果在线段上，原三角形被分成两块，就应把两块面积相加。 选辅助线时，优先让新三角形出现水平或竖直的底，且交点容易求出。同一个图可以有多种割补方式，但没有必要把所有点的坐标都求一遍。已经给出的小三角形面积，可以直接用于面积和差。 算完后检查三件事：分出的部分是否恰好覆盖所求图形；是否重复计算了某一块；用作高的线段是否垂直于所选底。图形在坐标轴下方时仍用正的长度计算。 如：直线与轴交于且在线段上。因此 例2、已知点在直线上，且横坐标为求的面积。 【解析】代入得将延长交轴于点令得所以 点在线段上，故 变式2-1、已知则的面积为______。 【解析】直线为与轴交于点在线段上，故所求面积为两个三角形面积之和： 变式2-2、已知则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】C。线段平行于轴，长为点到直线的高为直接算得面积不必另作割补。 变式2-3、在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，且求的面积。 【解析】由得点的纵坐标为点在第一象限且在直线下方，连接 将与合在一起， 其面积也等于与的面积之和。 因此 确定点所在位置后，直接利用已知面积即可，不必再求它的横坐标。 三、作竖直线分割求面积（铅垂法） 当底边倾斜时，直接求点到直线的垂直距离往往不方便。可以过点作平行于轴的直线，交直线于点点的横坐标相同，线段的长度容易由纵坐标差求出。 若点在线段上，分成和两块都以竖直线段为底，对应的高分别是点到直线的水平距离。两高之和等于横坐标之差的绝对值。 因此，当时，这里的是竖直线段，不是斜边所对应的高，不能把公式中的擅自换成的长度。 若点在底边的延长线上，两小三角形的面积应相减，两条水平距离之差仍为所以同一个公式仍可使用。点在直线上方或下方时，都取两纵坐标差的绝对值。 若本来就是竖直线段，则不使用这个构造：直接以为底，用点到直线的水平距离作高。选方法时先看底的方向，不必每题都作竖直分割线。 同样也可以作水平线分割。两个小三角形以同一条水平线段为底时，对应的高可由纵坐标差求出。若题设中某一点的纵坐标固定，过它的水平线与另一边的交点容易求出，水平分割可能更简便。两种分割都从底和高出发，按已知条件选择，不必每题都作竖直线。 如：过点作竖直线，与交于则所求面积为不必先求斜边的长度。 例3、已知求的面积。 【解析】直线的表达式为过点作平行于轴的直线，交于点得所以 点在线段上。以为共同的底，两小三角形的高分别为故 变式3-1、已知则的面积为______。 【解析】直线为过作竖直线交的延长线于得两小三角形相减，面积为 变式3-2、已知则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】D。直线为横坐标为的点的纵坐标为点在直线下方，所以面积为 变式3-3、已知点在直线上，且横坐标为 求的面积。 【解析】代入得为竖直线段，长为点到直线的水平距离为 因此这里直接用底高公式即可；过点作竖直线不会与直线相交。 四、同底等高与面积比 两个三角形共用一条底时，面积比等于它们对应的高之比；对应的高相等时，两三角形面积相等。反过来，在底相同且面积相等的条件下，对应的高也相等。 如果两个三角形的底在同一直线上，并且共用另一个顶点，那么它们的高相同，面积比就等于底长之比。这个结论由面积公式直接得到，不需要使用相似三角形。 设点在线段内部，点不在直线上，则求分点时，既要看比的次序，也要看点的范围。题目只给两个面积的比为而不指定哪个面积较大时，需要分别讨论两种次序。 同底等面积不表示两个顶点一定在同一条水平线上。若底为水平线段，两顶点可能在底所在直线的同侧，也可能在两侧；应比较到这条直线的距离，而不是直接比较纵坐标。 点沿着一条与固定底所在直线平行的直线运动时，到底的高不变，面积也不变。底倾斜时，可以先用两条平行直线上相同横坐标的点确定竖直距离，再用前一方法求面积；不必引入点到斜线的距离公式。 如：点在线段上，且两三角形共用从点到底所在直线的高，所以 例4、已知点在线段上，且 求点的坐标。 【解析】两三角形以为底时，高相同，所以故 点在线段上，因此它的横坐标为纵坐标为即 变式4-1、已知点在线段上。若与中较小面积与较大面积的比为则点的坐标为______。 【解析】或两三角形等高，故或所以或相应横坐标为或 图中表示点的两种位置。 变式4-2、已知下列各点中， 能使与面积相等的是（ ）。 A. B. C. D. 【解析】B。两三角形同底点到底所在直线的距离为点的纵坐标应为或只有选项B符合。 变式4-3、已知点在直线上。求的面积。 【解析】直线为设与它横坐标相同的点在所在直线上，坐标为因此与无关。 由竖直分割的面积公式，点在给定直线上任意位置，面积都为 五、已知面积求点的坐标 由面积求点，先确定一条固定的底，把面积条件化成高度或竖直线段长度。若动点可以在底所在直线的两侧，就要分别保留两侧的位置，不能只根据示意图取一侧。 水平底的长度为面积为时，对应的高为若底所在直线为动点的纵坐标可能是或再利用点所在的直线、射线或线段，确定其余坐标并筛选。 底倾斜且两端横坐标不同时，可以先用铅垂法把面积条件化为同一横坐标处两纵坐标差的绝对值，再分成两个一次方程。两种符号分别对应底线的两侧，不是任意添上正负号。 求出的坐标必须同时满足面积条件和位置范围。对于正的面积，三点不能共线；对于有限线段，还须检查端点是否允许取到。 如果动点所在的直线与底所在直线平行，面积可能处处相同。给定面积等于这个定值时，整条运动直线上的点都符合；不等于这个定值时，没有符合条件的点。不能默认每道题都恰有两个答案。 当给定面积含有待定参数时，先写出面积随点的位置变化的关系，再检查各个位置是否落在允许范围内。端点对应的面积可能改变符合条件的位置个数，不能只数方程算出的根。 如：水平底长所在直线为若面积为高为则第三个顶点的纵坐标可能为或还需结合它所在的直线确定横坐标。 例5、已知点在轴上，且求点的坐标。 【解析】所以点到直线的距离为 点可在直线上方或下方，其纵坐标为或因此或 变式5-1、已知点在轴正半轴上，且 则点的坐标为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】C。对应的水平距离为故横坐标为或点在正半轴上，只能取 变式5-2、已知点在直线上，且求点的坐标。 【解析】直线为设与它横坐标相同的点在直线上，则 由面积条件，即分别解和得或 代回运动直线，得或 变式5-3、已知若直线上至少存在一点使则的值为______。 【解析】或直线为两条直线上同横坐标的点，其纵坐标相差所以面积恒为 要至少存在一个符合条件的点，必须有解得或这两种情况下，给定直线上的所有点都符合；其余值都没有符合条件的点。 六、用面积条件确定直线 用面积确定直线，核心是把面积条件变成一个点的位置，再用两个不同点确定直线。若一个坐标轴上的交点已经给出，通常先用这个固定长度作底，由面积求另一个轴上的交点。 面积给出的是非负长度，不能直接确定交点在坐标轴的正半轴还是负半轴。题设没有限定方位时，需要把两种位置都检查；题设已限定时，只保留相应的一种。 过三角形的一个顶点作直线，分割对边时，两小三角形等高。可以先用面积比求对边上的分点，再由该顶点和分点确定直线，不必先设复杂的函数式。 要区分“求直线”与“求一次函数表达式”。竖直直线可以写成但不能写成水平直线写成也不属于的一次函数。先看题目所求对象，再筛选。 本节用一个已知交点或已知顶点把条件化为一次关系。不要未经检查，就把两个坐标轴交点都未知的面积题一律套成同一种方程；先充分利用已经给出的坐标和方位。 得到多条候选直线时，后面给出的限制要逐条检查。若要求恰有一条直线符合，只有其中一条符合的情况才能保留；两条都符合的情况应去掉，范围的边界也要单独检查。 如：一条直线经过与轴正半轴交于且由得到再用确定表达式 例6、在平面直角坐标系中，直线经过与轴正半轴交于点且求这条直线的表达式。 【解析】由得点在轴正半轴上，故 设表达式为代入得因此表达式为 变式6-1、在平面直角坐标系中，直线经过与轴交于点且则这条直线的表达式为______。 【解析】或由面积得未限定点所在半轴，因此均须保留。 图中表示点在轴正、负半轴的两种位置。 变式6-2、已知点在线段上，且求直线的表达式。 【解析】两三角形共用从点到轴的高，所以故得 直线经过表达式为 变式6-3、在平面直角坐标系中，已知点在轴上，且求所有符合条件的直线 【解析】以为底，对应的高为由得所以或 当时，为竖直直线，写成当时，由两点确定直线 因此两条直线为和题目求的是直线，不能漏掉竖直直线。 图中分别对应上述两种位置，竖直直线也已画出。 七、动点面积的变化 动点面积题先写清运动时间与坐标的关系，再计算面积。起点、速度、终点共同决定时间范围；求最值或解方程以后，都不能忘记这个范围。 若动点在一条线段上匀速运动，横坐标和纵坐标通常可写成时间的一次式。固定底时，对应高度也可由坐标差得到；面积随时间的变化要结合点在底所在直线的哪一侧。 动点经过底所在直线时，高先减小再增大，需要分段去掉绝对值。该时刻三点共线，不能构成三角形；若研究完整的面积变化图像，可以明确约定此时面积为 路径转弯、速度改变或中途停留，也可能需要分段。分段点不一定是面积为的点；每一段都要按真实位置写坐标，并检查前后两段在衔接时刻得到的面积是否相同。 一次式在一个闭区间上的最大值、最小值可以比较两端；分段一次变化还须检查分段点。面积达到某个值可能发生在不同阶段，要分别解各段并检查各自的时间范围。 比较两个面积中较大者时，先找两面积相等的位置，判断它是否在允许范围内，再分段确定哪一个面积较大，比较分段点和端点。不能不看运动范围，就直接认定两面积相等时一定取得所求最小值。 由面积不等式得到的位置范围，还要与动点允许运动的范围取共同部分。若求符合条件的一段位置的长度，先确定实际的两个端点；某一端受到允许运动范围的端点限制后，不能继续把它向外延伸，长度的表达式也可能随之改变。 如：底在轴上、长为动点的纵坐标为且则面积为由增加到最大值在时取得。 例7、已知点从出发，沿线段向运动，速度为每秒个单位长度。设运动时间为秒，的面积为 （1）求与的关系式，并写出的取值范围。 （2）求运动过程中的最大值。 【解析】（1）故点的坐标为以为底，水平距离为所以 （2）随增大而增大，故时最大，最大值为 变式7-1、已知点从原点出发，沿轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动秒停止。设运动时间为秒，的面积为三点共线时记 （1）求与的关系式。 （2）当时，求的值。 【解析】（1）故即时，时， （2）第一段解得第二段解得两者均在对应范围内。因此或 变式7-2、已知点从出发，沿运动，其中速度始终为每秒个单位长度，到达后停止。则运动过程中面积最大的持续时间为______秒。 【解析】沿运动时，高从增加到面积从增加到沿运动时，高一直为面积保持故最大面积持续秒。 变式7-3、已知点从出发，沿轴正方向先以每秒个单位长度运动秒，停留秒，再以每秒个单位长度运动秒后停止。设从出发起经过秒，则的面积为时，的值为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】C。前秒点到达面积增至随后秒面积保持再次运动时，纵坐标为令得位于最后一段内。 A、基础通关 1、直线与两坐标轴交于点则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】B。两交点为底和高为所以面积为 2、已知过点作竖直线交于点下列算式中，能正确求出面积的是（ ）。 A. B. C. D. 【解析】C。直线为所以两端横坐标差为面积应为不是斜边所对应的高。 3、已知记的面积分别为则（ ）。 A. B. C. D. 【解析】D。三个高分别为底相同，所以 4、已知则的面积为______。 【解析】水平底长高为面积为 5、已知则的面积为______。 【解析】竖直底长水平高为面积为 6、已知点在轴正半轴上，且则点的坐标为______。 【解析】由得符合正半轴范围。 7、直线与交于点分别与轴交于点求的面积。 【解析】联立得所以另有故 以为底，对应高为所以面积为 8、已知求的面积。 【解析】直线为与轴交于所以点在线段上。 由割补， B、难点突破 1、在平面直角坐标系中，已知点在直线上，且则点的坐标为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】A。第一个面积条件给出结合运动直线，得到或第二个条件给出 只有同时符合。 图中同时满足两个面积条件， 只满足第一个面积条件。 2、已知则的值为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】C。以两坐标轴上的边为底，得直线为在处纵坐标为与点相差故 三者之和为点在原三角形外，三块并非把原三角形恰好分完，不能把它们的面积和直接写成 3、已知点在直线上，且不与点重合。若与中较小面积与较大面积的比为则点的坐标为______。 【解析】或两三角形等高，故或 在线段内部，得到或点在点左侧时，由得在点右侧时，由得四种位置均应保留。 图中是内部两种位置，是外部两种位置。 4、点在直线上，其中三点的横坐标依次为过点作平行于轴的直线，与过点且平行于轴的直线交于点过点作平行于轴的直线，与过点且平行于轴的直线交于点则______。 【解析】所以 两直角三角形面积分别为比为两底变化时对应的高也变化，不能直接把横向距离之比当作面积比，也不必求出和 5、在平面直角坐标系中，已知点在直线上，且求点的坐标。 【解析】设分别以为底，两面积为因此 这等价于或解得或所以或 两点均能构成题设中的两个三角形。这里两底不等长，面积相等不表示两个高相等。 图中对应两种解；两条虚线分别为表示面积相等时点所在的两条直线。 6、已知点都在轴上，且点为线段的中点，则的面积可能为______。 【解析】或底所以点到轴的距离分别为 若两点在轴同侧，竖直线段中点到轴的距离为面积为若在两侧，中点到轴的距离为面积为 题设没有给出两点所在半轴，不能只取面积的平均值。 下图左侧表示点在轴同侧，右侧表示两点在两侧；关于轴对称的两种情况，所得面积分别相同。 7、在平面直角坐标系中，已知点在直线上，且 （1）求点的坐标。 （2）已知直线与轴的交点位于点上方，求直线的表达式。 【解析】（1）由得或结合得或 （2）当时，直线为与轴交点的纵坐标符合条件。 当时，直线为其与轴交点的纵坐标不符合条件。所求为 下图左、右分别对应虚线表示各自的直线 8、已知点在轴上的线段上运动，其纵坐标满足记当某三点共线时，对应面积记为 求的最小值，并写出取得最小值时点的所有位置。 【解析】两底长度都为设点到直线的距离分别为则两直线相距点在两直线之间时，两距离之和为在外侧时，两距离之和大于所以的最小值为且当时取得。 也可用复核：当时，当时，当时，因此取得最小值的全部点为其中不是只有一个点。 C、综合进阶 1、已知点满足若恰有一个位置的点使其中则的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】C。面积为在上，面积由减至在上，面积由增至 当时，两段各有一个位置；当时，只有后一段有一个位置；当时无解。因此所求为 2、已知点从出发，沿运动，其中速度始终为每秒个单位长度，到达后停止。设从出发起的时间为秒，的面积为三点共线时记下列表示与关系的图像中，正确的是（ ）。 【解析】B。在前秒，点的纵坐标为所以从第秒至第秒，点在上运动，面积保持 图像依次经过第秒的折点来自三点共线，第秒的折点来自运动转弯，两种原因不同。 3、已知点在轴上。记与中较大的面积为某三点共线时，对应面积记为当时，的最小值为______；当时，的最小值为______。 【解析】两个面积分别为和相等时共同值为 在时，较大者为随增大而减小；在时，较大者为随增大而增大。因此第一问最小值为 第二问的范围是不包含此时较大者始终为在时最小，最小值为 4、已知点在轴上，且设满足上述条件的直线中，恰有一条与线段有公共点，则的取值范围为______。 【解析】或底点到直线的距离为所以或对应两条直线分别为 第一条直线在横坐标为处与线段有公共点，当且仅当解得第二条直线相应满足解得 当时，两条直线都与线段有公共点，不符合“恰有一条”。保留只属于其中一个范围的部分，得到或边界都使两条直线符合，必须排除；各只有一条符合，可以保留。 5、在平面直角坐标系中，点从沿轴向运动，点从沿水平方向向运动。两点同时出发，速度均为每秒个单位长度，各自到达终点后停止。点固定不动。设从出发起经过秒，的面积为三点共线时记 （1）求与的关系式。 （2）当时，求的值。 【解析】（1）当时，以竖直线段为底，得 当时，直线为令得交点的横坐标选水平线段为共同的底，是因为点到直线的高都为把沿分成两块，得 因此时，时，时， （2）第一段解得不在本段范围内，舍去。第二、三段分别得到均符合对应范围。因此或 6、在平面直角坐标系中，已知点若都能构成三角形，且求的取值范围。 【解析】以为底，由得或 以竖直底计算，由得 两条件同时成立，先得到或当时，点在直线上，不能构成三角形，还须排除。 因此或或 7、在平面直角坐标系中，已知其中点从出发，沿直线向右运动，速度为每秒个单位长度，运动秒后停止。设运动时间为秒，的面积为三点共线时记与的关系图像如图，折线依次经过 （1）求点的坐标。 （2）求线段的长度。 （3）当时，求的取值范围。 【解析】（1）图像在时面积为说明点到达直线所以由时的面积得所以故 （2）且二者互相垂直。由勾股定理， （3）时，时，分别解不等式并结合各段范围，得或 8、已知点在轴上的线段上运动，其纵坐标满足记某三点共线时，对应面积记为 （1）求的最小值 及取得最小值时的取值范围。 （2）给定实数所有满足的点组成一条长度为的线段。求的值。 【解析】（1）两底长度都为所以当时，在这一区间外，因此最小值为对应 （2）必须有若先不考虑运动范围，由得 还须与同时满足。 当时，两端均未超出运动范围，线段长为不可能为当时，下端已到上端尚未超过长度为令其等于得符合本段范围。 当时，全部运动线段都符合，长度为也不符合。因此 D、中考真题精选 1、（2026·四川攀枝花·第14题）在中，是边上的中线，则的面积为______。 【解析】过点作于点在直角三角形中，所以 因为为中线，以为底，对应的高为得 2、（2025·甘肃·第10题）如图1，在等腰直角三角形中，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止。设点的运动路程为的面积为与的函数图像如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】A。因为两三角形等高，所以点在上运动时，以为底，对应的高不变，面积逐渐增大；点在上运动时，以为底，对应的高不变，面积随减小而减小。因此点到达时面积最大，由图2得 因为两三角形等高，所以又且故得 过点作于点由可知再由勾股定理得所以点是的中点，故点与点重合。因此 3、（2026·江苏盐城·第27题（1）④节选）问题2：在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为 如何用含的式子表示的面积？ ④写出“问题2”的解答过程。 【解析】当时，设直线为它与轴交于点若三点共线，面积为所求式子的值也是以下设以为底，点到轴的距离分别为 若点在轴两侧，两小三角形的面积相加；若在同侧，两小三角形的面积用较大的减较小的。两种情况都得到若某一点在轴上，直接用底和高计算，也得到同一式子。 由可得所以 当时，若或三点共线或点与点重合，面积记为所求式子的值也是其余情况下，为竖直线段，长为点到直线的距离为因此 综上，所求面积为绝对值保证面积不为负；若三点共线，式子的值为 4、（2025·湖南长沙·第24题（2）节选）我们约定：当满足且时，称点与点为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。 请你根据该约定，解答下列问题： （2）若关于的一次函数与（都是常数，且均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和。 【解析】先研究一次函数设其图象上一对“对偶点”的坐标为两个平方都不小于其和为所以且 两点都在直线上，故两式相减，得因为所以因此两条直线分别为 由可知均不为直线与两坐标轴分别交于围成的三角形的两条直角边均长面积为 所求面积之和为图中以为例；若两者符号互换，两图的位置交换，面积之和不变。 两条直线与轴的交点分别记为与轴的交点分别记为 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数中的三角形面积问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 复习导航 先判断底和高是否容易确定，再选择割补或铅垂法；由面积求点或直线时，保留不同位置，检查运动范围。 板块 练习重点 A、基础通关 底和高、坐标差与规范割补 B、难点突破 不同位置、独立面积条件与面积比 C、综合进阶 运动范围、多个面积与图像逆推 D、中考真题精选 近年真题中的面积与函数联系 内容目录 一、由坐标确定底和高 2 二、用割补求三角形面积 5 三、作竖直线分割求面积（铅垂法） 8 四、同底等高与面积比 11 五、已知面积求点的坐标 14 六、用面积条件确定直线 17 七、动点面积的变化 20 A、基础通关 23 B、难点突破 27 C、综合进阶 32 D、中考真题精选 38 一、由坐标确定底和高 求三角形面积，先找容易确定长度的底，再找与这条底垂直的高。若一条边在坐标轴上，或平行于坐标轴，通常先用这条边作底，不必先求另外两条斜边。 若且则是水平线段，底长为点到直线的高为所以底不在轴上时，高不是直接取 若且则是竖直线段，底长为点到直线的高为所以 坐标可以为负，长度不能为负。同侧两点间的距离用较大坐标减较小坐标；分处坐标轴两侧时也是取坐标差的绝对值。若三点在同一直线上，就不能构成三角形。 若顶点是一次函数图像与坐标轴的交点，与轴相交时令与轴相交时令先求精确坐标，再算底和高；不要用图上量出的近似长度代替计算。 如：以为底，底长高为面积为这里不能把点的纵坐标直接当高。 例1、在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点求点的坐标及的面积。 变式1-1、直线与两坐标轴分别交于点则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 变式1-2、已知则的面积为______。 变式1-3、已知点在直线上，且横坐标为 求的面积。 二、用割补求三角形面积 三角形的三条边都不便直接作底求高时，可以把它分成容易计算的三角形，或者补成一个较大的三角形，再减去多出的部分。这就是割补法。若原图已有水平边或竖直边，先检查能否直接用底高公式，不必为了使用割补而多作辅助线。 常见做法是把一条边延长，与坐标轴相交。交点在边的哪一侧，要由坐标或直线表达式确定。不能仅凭示意图决定该相加还是相减。 例如在同一直线上，且在线段上，则由和组成，故如果在线段上，原三角形被分成两块，就应把两块面积相加。 选辅助线时，优先让新三角形出现水平或竖直的底，且交点容易求出。同一个图可以有多种割补方式，但没有必要把所有点的坐标都求一遍。已经给出的小三角形面积，可以直接用于面积和差。 算完后检查三件事：分出的部分是否恰好覆盖所求图形；是否重复计算了某一块；用作高的线段是否垂直于所选底。图形在坐标轴下方时仍用正的长度计算。 如：直线与轴交于且在线段上。因此 例2、已知点在直线上，且横坐标为求的面积。 变式2-1、已知则的面积为______。 变式2-2、已知则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 变式2-3、在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，且求的面积。 三、作竖直线分割求面积（铅垂法） 当底边倾斜时，直接求点到直线的垂直距离往往不方便。可以过点作平行于轴的直线，交直线于点点的横坐标相同，线段的长度容易由纵坐标差求出。 若点在线段上，分成和两块都以竖直线段为底，对应的高分别是点到直线的水平距离。两高之和等于横坐标之差的绝对值。 因此，当时，这里的是竖直线段，不是斜边所对应的高，不能把公式中的擅自换成的长度。 若点在底边的延长线上，两小三角形的面积应相减，两条水平距离之差仍为所以同一个公式仍可使用。点在直线上方或下方时，都取两纵坐标差的绝对值。 若本来就是竖直线段，则不使用这个构造：直接以为底，用点到直线的水平距离作高。选方法时先看底的方向，不必每题都作竖直分割线。 同样也可以作水平线分割。两个小三角形以同一条水平线段为底时，对应的高可由纵坐标差求出。若题设中某一点的纵坐标固定，过它的水平线与另一边的交点容易求出，水平分割可能更简便。两种分割都从底和高出发，按已知条件选择，不必每题都作竖直线。 如：过点作竖直线，与交于则所求面积为不必先求斜边的长度。 例3、已知求的面积。 变式3-1、已知则的面积为______。 变式3-2、已知则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 变式3-3、已知点在直线上，且横坐标为 求的面积。 四、同底等高与面积比 两个三角形共用一条底时，面积比等于它们对应的高之比；对应的高相等时，两三角形面积相等。反过来，在底相同且面积相等的条件下，对应的高也相等。 如果两个三角形的底在同一直线上，并且共用另一个顶点，那么它们的高相同，面积比就等于底长之比。这个结论由面积公式直接得到，不需要使用相似三角形。 设点在线段内部，点不在直线上，则求分点时，既要看比的次序，也要看点的范围。题目只给两个面积的比为而不指定哪个面积较大时，需要分别讨论两种次序。 同底等面积不表示两个顶点一定在同一条水平线上。若底为水平线段，两顶点可能在底所在直线的同侧，也可能在两侧；应比较到这条直线的距离，而不是直接比较纵坐标。 点沿着一条与固定底所在直线平行的直线运动时，到底的高不变，面积也不变。底倾斜时，可以先用两条平行直线上相同横坐标的点确定竖直距离，再用前一方法求面积；不必引入点到斜线的距离公式。 如：点在线段上，且两三角形共用从点到底所在直线的高，所以 例4、已知点在线段上，且 求点的坐标。 变式4-1、已知点在线段上。若与中较小面积与较大面积的比为则点的坐标为______。 变式4-2、已知下列各点中， 能使与面积相等的是（ ）。 A. B. C. D. 变式4-3、已知点在直线上。求的面积。 五、已知面积求点的坐标 由面积求点，先确定一条固定的底，把面积条件化成高度或竖直线段长度。若动点可以在底所在直线的两侧，就要分别保留两侧的位置，不能只根据示意图取一侧。 水平底的长度为面积为时，对应的高为若底所在直线为动点的纵坐标可能是或再利用点所在的直线、射线或线段，确定其余坐标并筛选。 底倾斜且两端横坐标不同时，可以先用铅垂法把面积条件化为同一横坐标处两纵坐标差的绝对值，再分成两个一次方程。两种符号分别对应底线的两侧，不是任意添上正负号。 求出的坐标必须同时满足面积条件和位置范围。对于正的面积，三点不能共线；对于有限线段，还须检查端点是否允许取到。 如果动点所在的直线与底所在直线平行，面积可能处处相同。给定面积等于这个定值时，整条运动直线上的点都符合；不等于这个定值时，没有符合条件的点。不能默认每道题都恰有两个答案。 当给定面积含有待定参数时，先写出面积随点的位置变化的关系，再检查各个位置是否落在允许范围内。端点对应的面积可能改变符合条件的位置个数，不能只数方程算出的根。 如：水平底长所在直线为若面积为高为则第三个顶点的纵坐标可能为或还需结合它所在的直线确定横坐标。 例5、已知点在轴上，且求点的坐标。 变式5-1、已知点在轴正半轴上，且 则点的坐标为（ ）。 A. B. C. D. 变式5-2、已知点在直线上，且求点的坐标。 变式5-3、已知若直线上至少存在一点使则的值为______。 六、用面积条件确定直线 用面积确定直线，核心是把面积条件变成一个点的位置，再用两个不同点确定直线。若一个坐标轴上的交点已经给出，通常先用这个固定长度作底，由面积求另一个轴上的交点。 面积给出的是非负长度，不能直接确定交点在坐标轴的正半轴还是负半轴。题设没有限定方位时，需要把两种位置都检查；题设已限定时，只保留相应的一种。 过三角形的一个顶点作直线，分割对边时，两小三角形等高。可以先用面积比求对边上的分点，再由该顶点和分点确定直线，不必先设复杂的函数式。 要区分“求直线”与“求一次函数表达式”。竖直直线可以写成但不能写成水平直线写成也不属于的一次函数。先看题目所求对象，再筛选。 本节用一个已知交点或已知顶点把条件化为一次关系。不要未经检查，就把两个坐标轴交点都未知的面积题一律套成同一种方程；先充分利用已经给出的坐标和方位。 得到多条候选直线时，后面给出的限制要逐条检查。若要求恰有一条直线符合，只有其中一条符合的情况才能保留；两条都符合的情况应去掉，范围的边界也要单独检查。 如：一条直线经过与轴正半轴交于且由得到再用确定表达式 例6、在平面直角坐标系中，直线经过与轴正半轴交于点且求这条直线的表达式。 变式6-1、在平面直角坐标系中，直线经过与轴交于点且则这条直线的表达式为______。 变式6-2、已知点在线段上，且求直线的表达式。 变式6-3、在平面直角坐标系中，已知点在轴上，且求所有符合条件的直线 七、动点面积的变化 动点面积题先写清运动时间与坐标的关系，再计算面积。起点、速度、终点共同决定时间范围；求最值或解方程以后，都不能忘记这个范围。 若动点在一条线段上匀速运动，横坐标和纵坐标通常可写成时间的一次式。固定底时，对应高度也可由坐标差得到；面积随时间的变化要结合点在底所在直线的哪一侧。 动点经过底所在直线时，高先减小再增大，需要分段去掉绝对值。该时刻三点共线，不能构成三角形；若研究完整的面积变化图像，可以明确约定此时面积为 路径转弯、速度改变或中途停留，也可能需要分段。分段点不一定是面积为的点；每一段都要按真实位置写坐标，并检查前后两段在衔接时刻得到的面积是否相同。 一次式在一个闭区间上的最大值、最小值可以比较两端；分段一次变化还须检查分段点。面积达到某个值可能发生在不同阶段，要分别解各段并检查各自的时间范围。 比较两个面积中较大者时，先找两面积相等的位置，判断它是否在允许范围内，再分段确定哪一个面积较大，比较分段点和端点。不能不看运动范围，就直接认定两面积相等时一定取得所求最小值。 由面积不等式得到的位置范围，还要与动点允许运动的范围取共同部分。若求符合条件的一段位置的长度，先确定实际的两个端点；某一端受到允许运动范围的端点限制后，不能继续把它向外延伸，长度的表达式也可能随之改变。 如：底在轴上、长为动点的纵坐标为且则面积为由增加到最大值在时取得。 例7、已知点从出发，沿线段向运动，速度为每秒个单位长度。设运动时间为秒，的面积为 （1）求与的关系式，并写出的取值范围。 （2）求运动过程中的最大值。 变式7-1、已知点从原点出发，沿轴正方向运动，速度为每秒个单位长度，运动秒停止。设运动时间为秒，的面积为三点共线时记 （1）求与的关系式。 （2）当时，求的值。 变式7-2、已知点从出发，沿运动，其中速度始终为每秒个单位长度，到达后停止。则运动过程中面积最大的持续时间为______秒。 变式7-3、已知点从出发，沿轴正方向先以每秒个单位长度运动秒，停留秒，再以每秒个单位长度运动秒后停止。设从出发起经过秒，则的面积为时，的值为（ ）。 A. B. C. D. A、基础通关 1、直线与两坐标轴交于点则的面积为（ ）。 A. B. C. D. 2、已知过点作竖直线交于点下列算式中，能正确求出面积的是（ ）。 A. B. C. D. 3、已知记的面积分别为则（ ）。 A. B. C. D. 4、已知则的面积为______。 5、已知则的面积为______。 6、已知点在轴正半轴上，且则点的坐标为______。 7、直线与交于点分别与轴交于点求的面积。 8、已知求的面积。 B、难点突破 1、在平面直角坐标系中，已知点在直线上，且则点的坐标为（ ）。 A. B. C. D. 2、已知则的值为（ ）。 A. B. C. D. 3、已知点在直线上，且不与点重合。若与中较小面积与较大面积的比为则点的坐标为______。 4、点在直线上，其中三点的横坐标依次为过点作平行于轴的直线，与过点且平行于轴的直线交于点过点作平行于轴的直线，与过点且平行于轴的直线交于点则______。 5、在平面直角坐标系中，已知点在直线上，且求点的坐标。 6、已知点都在轴上，且点为线段的中点，则的面积可能为______。 7、在平面直角坐标系中，已知点在直线上，且 （1）求点的坐标。 （2）已知直线与轴的交点位于点上方，求直线的表达式。 8、已知点在轴上的线段上运动，其纵坐标满足记当某三点共线时，对应面积记为 求的最小值，并写出取得最小值时点的所有位置。 C、综合进阶 1、已知点满足若恰有一个位置的点使其中则的取值范围为（ ）。 A. B. C. D. 2、已知点从出发，沿运动，其中速度始终为每秒个单位长度，到达后停止。设从出发起的时间为秒，的面积为三点共线时记下列表示与关系的图像中，正确的是（ ）。 3、已知点在轴上。记与中较大的面积为某三点共线时，对应面积记为当时，的最小值为______；当时，的最小值为______。 4、已知点在轴上，且设满足上述条件的直线中，恰有一条与线段有公共点，则的取值范围为______。 5、在平面直角坐标系中，点从沿轴向运动，点从沿水平方向向运动。两点同时出发，速度均为每秒个单位长度，各自到达终点后停止。点固定不动。设从出发起经过秒，的面积为三点共线时记 （1）求与的关系式。 （2）当时，求的值。 6、在平面直角坐标系中，已知点若都能构成三角形，且求的取值范围。 7、在平面直角坐标系中，已知其中点从出发，沿直线向右运动，速度为每秒个单位长度，运动秒后停止。设运动时间为秒，的面积为三点共线时记与的关系图像如图，折线依次经过 （1）求点的坐标。 （2）求线段的长度。 （3）当时，求的取值范围。 8、已知点在轴上的线段上运动，其纵坐标满足记某三点共线时，对应面积记为 （1）求的最小值及取得最小值时的取值范围。 （2）给定实数所有满足的点组成一条长度为的线段。求的值。 D、中考真题精选 1、（2026·四川攀枝花·第14题）在中，是边上的中线，则的面积为______。 2、（2025·甘肃·第10题）如图1，在等腰直角三角形中，点为边的中点，动点从点出发，沿边方向匀速运动，运动到点时停止。设点的运动路程为的面积为与的函数图像如图2所示，当点运动到的中点时，的长为（ ）。 A. B. C. D. 3、（2026·江苏盐城·第27题（1）④节选）问题2：在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为 如何用含的式子表示的面积？ ④写出“问题2”的解答过程。 4、（2025·湖南长沙·第24题（2）节选）我们约定：当满足且时，称点与点为一对“对偶点”。若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”。 请你根据该约定，解答下列问题： （2）若关于的一次函数与（都是常数，且均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和。 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $