第1章 三角形 专题提优3：全等中的图形变换和动态问题及作图题 讲义 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦全等三角形核心知识点，系统整合图形变换（旋转、折叠）、动态问题（动点运动）及作图应用，构建从基础判定到综合应用的学习支架，助力学生衔接全等性质与复杂情境分析。 资料以图形变换和动态问题为载体，通过分层例题（如旋转折叠中的全等证明、动点速度与全等关系探究）培养学生几何直观与推理意识，结合网格作图、SSA不全等探究等设计，发展空间观念与创新意识。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固知识，弥补综合应用短板。

专题提优3：全等中的图形变换和动态问题及作图题 图形变换和动态问题中的全等 一、图形变换中的全等 1. 将两个全等的Rt和按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点. (1) 连接，求证：. (2) 若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图②，求证：. (3) 若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③，你认为(2) 中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系. 答案： (1) 如图①，连接.在Rt和Rt中，. (2) 如图②，连接.在Rt和Rt中，RtRt. (3) 不成立，关系为，解析：如图③，连接，和都是直角三角形.在Rt和Rt中，. 2. 已知：如图①，纸片Rt. (1) 将沿着折叠，使得与重合，为折痕，展开后如图②所示.试判断与的位置关系，并说明理由. (2) 在(1) 的条件下，连接，过点作，点为垂足，如图③所示. ①将沿折叠，点能与点重合吗?请说明理由. ②图中与全等的三角形有________个.(3) 将图②中纸片沿剪开得，如图④所示，将另一张纸片与拼接，边与边恰好重合(点与点或点重合)，若，且的面积与的面积相等，试探索与的数量关系，并说明理由. 答案： (1) MN∥BC. 理由：与重合，为折痕，.(2) ①点能与点重合.理由如下：， ，.由(1) 可得、在和中，与重合，为折痕，. 在和中， PM=MC.∴将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合. ②3 解析：与重合，为折痕，.由①可得(AAS)，(AAS)，、.综上，题图中与全等的三角形有3个. (3) 或.理由如下：①当为锐角三角形时，如图①，过点作于点，过点作点与边恰好重合，即.在和中，.，即. ②当为钝角三角形时，如图②，过点作于点，过点作的延长线于点与边恰好重合，即..在Rt和Rt中，.∠.∠，即. 二、动态问题中的全等 3. 如图，在四边形中，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动. (1) 若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等?请说明理由. (2) 若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，某时刻能够使与全等? 答案： (1) 与全等.理由如下：点为的中点，点的速度都是经过后，5cm.在与中， (2) 与全等时，①若，则7.5cm，点的运动速度为；②若，点的运动速度为5(cm/s)点的运动速度与点的运动速度不相等，舍去，点的运动速度为时，能够使与全等. 4. 如图，与相交于点，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发.当点到达点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为. (1) 求证：； (2) 写出线段的长(用含的式子表示)； (3) 连接，当线段经过点时，求的值. 答案： (1) 在和中，(SAS)，. (2) 当时，cm；当时，，则 (3) 如图，由(1)得，， 在和中，(ASA)，.当时，，解得；当时，，解得.综上所述，当线段经过点时，的值为1或2. 5. 如图①，.点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动.它们运动的时间为. (1) 若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等?请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系. (2) 如图②，将图①中的“”改为“”，其他条件不变.设点的运动速度为，是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由. 答案： (1) ，且.理由如下：当时，.在和中，，即. (2) 存在满足条件的值及相应的值.①若，则.可得解得②若，则，可得解得综上所述，存在或，使得与全等. 与全等有关的作图题 一、网格作图 1. 在如图所示的网格中，是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点)，请画出与有一条公共边且全等(不含)的所有格点三角形. 答案：如图，，，，即为所求. 2. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点.已知点均在格点上. (1) 仅用无刻度的直尺在网格中画，画，垂足为； (2) 比较大小：，理由是________； (3) 点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作直线(保留作图痕迹，不写作法). 答案： (1) 如图①所示，，即为所求. 解析：如图②，取格点，，，则格点，在格线上，设格线交于点，由题意得，，.同理可得即为所求. (2) < 垂线段最短 (3) 如图③，即为所求. 二、非网格作图 3. 如图，在中，，且. (1) 作的平分线，交于点；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2) 在(1)的条件下，连接，证明：. 答案： (1) 如图，为的平分线. (2) 如图，连接，由(1) 知，在和中，(SAS)，.又. 4. 通过“探索三角形全等的条件”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等.下 面请你来探究. 探究：已知：. 求作：，使(即两边和其中一边所对的角分别相等). (1) 实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程.(保留作图痕迹) ①画；②在线段的上方画；③画；④顺次连接相应顶点得所求三角形. (2) 观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有________个；其中三角形(填三角形的名称)与明显不全等，因此可得结论：________. (3) 猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢?存在与否，请举一例尺规作图验证(提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图). (4) 归纳与总结：用一句话归纳(3). 答案： (1) 作图如图①所示. (2) 两 两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 (3) 如图②，当时，按步骤作图，可得. 如图③，当时，按步骤作图，也可得. (4) 两个三角形的两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等(合理即可) 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题提优3：全等中的图形变换和动态问题及作图题 图形变换和动态问题中的全等 一、图形变换中的全等 1. 将两个全等的Rt和按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点. (1) 连接，求证：. (2) 若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图②，求证：. (3) 若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③，你认为(2) 中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系. 2. 已知：如图①，纸片Rt. (1) 将沿着折叠，使得与重合，为折痕，展开后如图②所示.试判断与的位置关系，并说明理由. (2) 在(1) 的条件下，连接，过点作，点为垂足，如图③所示. ①将沿折叠，点能与点重合吗?请说明理由. ②图中与全等的三角形有________个.(3) 将图②中纸片沿剪开得，如图④所示，将另一张纸片与拼接，边与边恰好重合(点与点或点重合)，若，且的面积与的面积相等，试探索与的数量关系，并说明理由. 二、动态问题中的全等 3. 如图，在四边形中，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动. (1) 若点的运动速度与点的运动速度相等，经过后，与是否全等?请说明理由. (2) 若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，某时刻能够使与全等? 4. 如图，与相交于点，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发.当点到达点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为. (1) 求证：； (2) 写出线段的长(用含的式子表示)； (3) 连接，当线段经过点时，求的值. 5. 如图①，.点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动.它们运动的时间为. (1) 若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等?请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系. (2) 如图②，将图①中的“”改为“”，其他条件不变.设点的运动速度为，是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由. 与全等有关的作图题 一、网格作图 1. 在如图所示的网格中，是格点三角形(即顶点恰好是网格线的交点)，请画出与有一条公共边且全等(不含)的所有格点三角形. 2. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点.已知点均在格点上. (1) 仅用无刻度的直尺在网格中画，画，垂足为； (2) 比较大小：，理由是________； (3) 点在射线上，请用无刻度的直尺和圆规作直线(保留作图痕迹，不写作法). 二、非网格作图 3. 如图，在中，，且. (1) 作的平分线，交于点；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2) 在(1)的条件下，连接，证明：. 4. 通过“探索三角形全等的条件”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等.下 面请你来探究. 探究：已知：. 求作：，使(即两边和其中一边所对的角分别相等). (1) 实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程.(保留作图痕迹) ①画；②在线段的上方画；③画；④顺次连接相应顶点得所求三角形. (2) 观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有________个；其中三角形(填三角形的名称)与明显不全等，因此可得结论：________. (3) 猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢?存在与否，请举一例尺规作图验证(提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图). (4) 归纳与总结：用一句话归纳(3). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $