江苏省苏州市2026-2027学年苏科版九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章）

江苏省苏州市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：120分钟，满分：130分） 一、选择题（共24分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A． B． C． D． 2．已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（     ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．如图，这是反比例函数的一部分图象，已知是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，的面积是，则的值是（     ） A． B．6 C．3 D．2 6．2026年大同黄花产业高质量发展大会如期举办，会议期间，每家商户都给其他每家参会商户各赠送一份礼品，一共送出90份礼品，求参会商户数．设参会商户数为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．若一元二次方程的两个实数根分别是、，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．若为方程的解，则的值为________． 10．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 11．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 12．如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 13．在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 14．如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为______． 15．如图，点在等边三角形的内部，连接，，是的中点，连接．若，则的度数的取值范围是___________． 16．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 三、解答题（共82分） 17．解下列方程 (1)； (2)． 18．化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 19．如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 20．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 21．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 22．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程中，是“根差2方程”的是________（填序号）： ①，②，③； (2)已知关于的方程（是常数）是“根差2方程”，求的值． 23．已知：如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 24．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 25．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 26．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 27．如图，的半径为2，直线经过圆心O交于点C，D两点，直径，M是直线上异于点C，O，D的一个动点，所在的直线交于点N，P是直线上另一点，且． (1)如图①，当点M在内部时，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点M在的外部，且时，求的长； (3)如图③，在（2）的情况下，连接，，求阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市2026-2027学年苏科版 九年级上册数学期中考试模拟试卷（第1-3章） （考试时间：120分钟，满分：130分） 一、选择题（共24分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 2．已知的半径为6，点P在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的半径为6，点在的内部， ∴． 3．下列各点不在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数图象上的点满足． A． ，点在函数图象上． B． ，点在函数图象上． C． ，点不在函数图象上． D． ，点在函数图象上． 4．如图，是的直径，点C、D在上，连接、，则图中的弦共有（     ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【详解】解：图中的弦有，共3条． 5．如图，这是反比例函数的一部分图象，已知是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，的面积是，则的值是（     ） A． B．6 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：∵的面积等于， ∴， ∴， ∵反比例函数图象过第二象限， ∴， ∴． 6．2026年大同黄花产业高质量发展大会如期举办，会议期间，每家商户都给其他每家参会商户各赠送一份礼品，一共送出90份礼品，求参会商户数．设参会商户数为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据礼品赠送规则，推导总礼品数与商户数的等量关系. 【详解】解：设参会商户数为， ∵每家商户需向除自身外的家商户各赠送1份礼品， ∴总赠送礼品份数为， 由题意得. 7．若一元二次方程的两个实数根分别是、，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数关系定理，得到的值，再利用一次函数的性质，确定其图象的分布，解答即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程的两个实数根分别是、， ∴ ，， ∴ 一次函数解析式为， ∵ ，， ∴ 一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 8．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 二、填空题（共24分） 9．若为方程的解，则的值为________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，得到关于的关系式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的解， 将代入方程得 ， 整理得， ∴． 10．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，，若从升到，则的变化量为__________． 【答案】 【分析】根据已知的电阻和电流值求出电压，再分别计算和对应的电流，两者的差值即为电流的变化量． 【详解】解：∵当时，，代入， ∴ ， ∴ 电流与电阻的函数表达式为， 当时，代入得， 当时，代入得， ∴的变化量为． 11．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则_____________． 【答案】 【分析】如图，连接、，过O作于H．解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过O作于H． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴. 12．如图，直线与函数的图象交于B，C两点，与y轴交于点A，与x轴交于点D．已知，则__________． 【答案】 3 【分析】联立直线与反比例函数解析式得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，证明，得出线段与的数量关系； 【详解】解：过点B，C分别作轴于点E，轴于点F， 设，， 则， 联立直线与反比例函数得，整理得， 则方程的两个根为， 根据根与系数的关系，得， 对于直线，令，得，即点的横坐标， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， 13．在平面直角坐标系中，对于点和，当时，；当时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据“演绎点”的定义，分和两种情况讨论，结合点在反比例函数图象上的坐标特征列方程求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上，且的横坐标为， ∴， ∵是点的“演绎点”， 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 当时，根据定义得， ∴，解得，符合条件； 综上，的值为或． 14．如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为______． 【答案】 10 【分析】连接，作于点G，利用正方形和等腰三角形的性质证明，进而得出为等腰直角三角形，设，利用勾股定理建立方程，求出解即可． 【详解】解：连接，作于点G， ∵四边形为正方形，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 15．如图，点在等边三角形的内部，连接，，是的中点，连接．若，则的度数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】作的外接圆，圆心为，连接、，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，根据等边三角形的性质以及角的和差得，再分析点的两个临界位置，求出的度数，即可求解． 【详解】解：作的外接圆，圆心为，连接、， ∵点是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴； 当点和点趋近于重合时，可看作圆的切线， 则， ∴， ∵是的中点， ∴点和点也趋近于重合， ∴； 当点和点重合时，则点是的中点， 又∵等边三角形， ∴， ∴，即； 综上，的度数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外接圆、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质，探究出点的运动轨迹是解题的关键． 16．把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． 三、解答题（共82分） 17．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）二次项系数为 1，可用配方法或公式法； （2）先移项，再提取公因式因式分解，注意不要两边同除以 ． 【详解】（1）解：移项得 ， ，，， ， ， 即 ，． （2）解：移项得 ， 提取公因式得 ， 所以 或 ， 即 ，． 18．化简求值：． (1)化简T； (2)若点在反比例函数的图象上，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，反比例函数的定义． （1）根据分式的运算法则化简即可； （2）将点的坐标代入关系式可得，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得，证明是等边三角形，可得，如图，连接，根据切线的性质得，根据圆内接三角形的性质、全等三角形的性质及等边对等角得，，根据，最后由可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，连接，， ∵与相切于点， ∴， 由题意知：内接于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 21．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）把代入密度关于体积的函数解析式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：设密度关于体积的函数解析式为（k为常数，且）． 将坐标代入，得， 解得， ∴密度关于体积的函数解析式为． （2）当时，． 答：该气体的密度为1． 22．定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“根差2方程”；例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“根差2方程”． (1)根据上述定义，下列方程中，是“根差2方程”的是________（填序号）： ①，②，③； (2)已知关于的方程（是常数）是“根差2方程”，求的值． 【答案】(1)①② (2)的值为或 【分析】（1）先分别求出三个方程的两个根，计算两根之差，对照“根差2方程”定义判断； （2）利用求根公式写出两根表达式，用大根减小根等于2建立等式，化简求出m． 【详解】（1）解：①，，，，是“根差2方程”； ②，，，，是“根差2方程”； ③，，，，不是“根差2方程”； （2）解：， ，， 关于的方程（是常数）是“根差2方程”， ， ， ， ， 或， 或， 经检验，当或时，，符合题意， ∴m的值为或． 23．已知：如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：_____，_____．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或者3秒 【分析】（1）速度乘以时间等于行走的距离，据此列式即可； （2）结合（1）的结论，根据三角形的面积公式，列出关于t的一元二次方程，解方程即可作答． 【详解】（1）解：根据运动可知：，， ∴； （2）解：结合（1）的结果，根据题意有：， ∴， 解得： ，， 即：那么2秒或者3秒后，的面积等于 24．如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求k与m的值． (2)为y轴上的一动点，当的面积为2时，求a的值． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)或． 【分析】（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， ∴一次函数的解析式为． 把代入，得， ． 把代入，得， 的值为，的值为． （2）解：当时，， ． 为轴上的一动点， ， ， ． ， ． 或， 或． 25．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点和函数图象，给出如下定义：过点作竖直直线交图象于点；过点作水平直线交图象于点，若存在多个交点，选取横坐标与点最接近的交点为，称线段的长度为点对图象的纵横距． 已知：反比例函数，抛物线，直线． (1)求点对反比例函数的纵横距． (2)当时，点的纵坐标为，若点对抛物线的纵横距等于，直接写出点的横坐标． (3)点在直线上运动，定点，点在线段上，且．当点对反比例函数的纵横距等于时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意计算出点、的坐标，再求出线段的长即可； （2）先计算出点的坐标，设点，表示出点的坐标后，利用勾股定理构造方程，求解出即可； （3）设点的坐标为，表示出点、的坐标，再根据的长构造方程求解出的值．由题意可知，点为的中点，使用中点公式计算出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，将代入，得， ∴点的坐标为， ∴； （2）解：由题意可得，抛物线解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 设，则原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点的横坐标为或； （3）解：设点的坐标为， 将代入，得；将，代入，得； ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，即 ∴， 当时， 整理，得， 解得或， 当时， 整理，得， 解得或， 经检验，或，都符合原方程， ∴点的坐标为或或或， ∵点在线段上，且， ∴点为的中点， 又∵， ∴点的坐标为或或或． 27．如图，的半径为2，直线经过圆心O交于点C，D两点，直径，M是直线上异于点C，O，D的一个动点，所在的直线交于点N，P是直线上另一点，且． (1)如图①，当点M在内部时，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点M在的外部，且时，求的长； (3)如图③，在（2）的情况下，连接，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)与相切． 理由：如图，连接． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 为的半径， 与相切． (2) (3) 【分析】（1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，从而可得，进而得到，再由勾股定理，即可求解； （3）连接，过点N作，垂足为E，根据直角三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ，， ， ，． ， 是等边三角形， ， ， ∵， ， ∵， 即， （负值已舍去）． （3）解：如图，连接，过点N作，垂足为E． 由（2）可知，，． 的半径为2， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $