精品解析：福建泉州现代中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

泉州现代中学2026-2027学年高一年上学期第一次月考 数学 考试科目：数学 满分：150 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 4. 下列选项说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 8. 已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的不同真子集个数为8 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的取值范围是_____. 13. 若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 14. 若x，y是正实数，，则的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 16. 若，解关于的不等式. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 18. 回答下列问题 （1）已知，，且 ①求的最小值；②求的最小值：③求的最小值． （2）已知，，且，若恒成立，求的取值范围 19. 对任意正整数，定义集合．设，定义：，． （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州现代中学2026-2027学年高一年上学期第一次月考 数学 考试科目：数学 满分：150 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】由全称量词命题的否定可得， 原命题的否定为：. 3. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 4. 下列选项说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，通过举反例排除错误选项，验证正确选项即可得出结论. 【详解】A选项，举反例：， 满足，但是，，A错误. B选项，举反例：， 即成立，但是，B错误. C选项，，，，C错误. D选项，由可知：（如果两边就相等）， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，得到，D正确. 5. 已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，利用交集为空集讨论参数的取值范围． 【详解】因为； 且； 因为，故． 6. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 8. 已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求解不等式，根据必要不充分条件列不等式组求解范围，得到最大值. 【详解】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故选：B． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项BC不正确. 故选：AD. 10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的不同真子集个数为8 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 11. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质求代数式的范围. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 14. 若x，y是正实数，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【小问1详解】 因为集合，， 所以； 【小问2详解】 因为集合，， 所以． 又因为， 所以； 【小问3详解】 因为集合，， 所以或， 可得或． 16. 若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】将分解因式可得，讨论的范围即可求解. 【详解】由得， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得, 综上，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【点睛】本题考查含有参数的一元二次不等式的解法，属于基础题. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求，； （2）若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 可知或，则. 【小问2详解】 若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 18. 回答下列问题 （1）已知，，且 ①求的最小值；②求的最小值：③求的最小值． （2）已知，，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①令，求出的范围，从而得到的最小值；②利用“”的妙用求解；③利用基本不等式求解. （2）通过换元法利用“”的妙用求的最小值，从而得到的范围. 【小问1详解】 因为，且，所以， ①， 令，则，即， 则， 等号成立的条件为，又，得， 则； ②， ， 等号成立的条件为，解得， 则； ③ , 等号成立的条件为， 又，则， 则. 【小问2详解】 因为，所以设，则 ， 因为，所以，解得， 则 ， 等号成立的条件为， 又，则， 则，满足条件， 则的最小值是， 因为恒成立，所以， 则. 19. 对任意正整数，定义集合．设，定义：，． （1）（填“”或“”）；（填“”或“⊈”）； （2）设，证明：； （3）设，，，，求； 【答案】（1） （2）设，则有： ，，，， ，，， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据集合新定义判断、证明即可； （3）首先根据定义得，然后分类讨论即可求解； 【小问1详解】 因为，，，，所以， 因为集合中元素的每个坐标绝对值都不超过，显然不超过，因此； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则有，． 由，所以必为偶数，因此， 当时，，但，不可能； 当时，，但，不可能； 所以，， 因为，同理得，， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $