精品解析：福建泉州市泉港区第一中学2026-2027学年上学期高一第一次月考数学试卷

泉港一中2026-2027学年上学期第一次月考试卷 高一数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“关于的方程有两个负根”的条件（ ） A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A. B. C. D. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13. 若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 14. 若，满足，且，则_______． 四、解答题:本题共5小题，共77分 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知命题：，，命题：，恒成立． （1）若是假命题，求实数的取值范围； （2）若和至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数对任意，总有，且对，都有. （1）判断并用定义证明函数的单调性； （2）解关于的不等式. 18. 某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比随着时间(天）的变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和. （1）若第一次投放亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高； （2）政府第一次投放亿元消费券，天后准备再次投放亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高，试求的最小值. 19. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉港一中2026-2027学年上学期第一次月考试卷 高一数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集与补集的定义求解. 【详解】， ，， 故选：C. 2. “”是“关于的方程有两个负根”的条件（ ） A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【详解】若的方程有两个负根，则，故. 故关于的方程有两个负根的等价条件为， 而为的真子集， 故“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题：，， 其否定：，. 4. 已知，，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A： ， ， 即，故A错误； 选项B： ， ，又， ， 即，故B错误； 选项C： ， ， ， 异号，， ，故C正确； 选项D： ，，， 又， ， ， 异号，， ，故D错误． 5. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，由已知条件确定，且，展开后利用均值不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则， 所以， ，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的图象数形结合分析即得解. 【详解】解：函数在区间上单调递增， 所以， 所以 故选：C 7. 已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 8. 若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.(在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以  ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C: 因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10. 已知，为正实数，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 11. 已知不等式，下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【详解】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 13. 若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出分段函数的两段表达式的范围，其并集为，基于此列出关于a的不等式，解出即可． 【详解】①时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，，当时，， 因此，时，，完全覆盖值域要求； ②时，，因此，时，； 结合整体值域为，可知， 则，解得，同时又因为，所以，所以a的范围为， a的最小值为． 故答案为：． 14. 若，满足，且，则_______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 四、解答题:本题共5小题，共77分 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知全集，集合，，. （1）当时，求，； （2）若是的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；或． （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算求解； （2）根据充分条件得到集合的包含关系，进而列出不等式组求解. 【小问1详解】 当时，. 因为， 所以； 因为或， 所以或． 【小问2详解】 因为是的充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是． 16. 已知命题：，，命题：，恒成立． （1）若是假命题，求实数的取值范围； （2）若和至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若是假命题，则“，”是真命题， 当时，，显然满足题意； 当时，则关于的一元二次方程无实数根， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）知若是真命题，则或， 若是真命题，则，解得， 所以当和至少有一个是真命题时， 或或， 即实数的取值范围为或． 17. 已知函数对任意，总有，且对，都有. （1）判断并用定义证明函数的单调性； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）函数是上的减函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）任取，设，根据已知条件可得，从而由函数单调性的定义即可证明； （2）由已知条件及（1）问函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 解：函数是上的减函数，证明如下： 由题意，令，有，解得， 任取，不妨设， 则， 因为，则，所以，即， 所以函数是上的减函数； 【小问2详解】 解：因为函数对任意，总有， 所以不等式，即，也即， 又由（1）可知函数为上的减函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券，已知每投放亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比随着时间(天）的变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和. （1）若第一次投放亿元消费券，则接下来多长时间内都能使消费总额至少提高； （2）政府第一次投放亿元消费券，天后准备再次投放亿元的消费券，若希望第二次投放后的接下来两天内全市消费总额仍然至少提高，试求的最小值. 【答案】（1）天内；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意分段列出不等式组，求解，然后取并集即得x的取值范围，从而得解； （2）依题意，列出不等式，并分离参数，然后利用换元方法和基本不等式求相应最值，从而得到所求. 【详解】依题意得a=2, ，解得， ，解得， ， 即第一次投放亿元消费券，则接下来天内都能使消费总额至少提高； （2）依题意得； 在上恒成立，， 设 ，. 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的求解，不等式恒成立问题. 注意：（1）不等式恒成立问题，分离参数后所得式子如果不是特别复杂以至于很难处理，一般常用分离参数法解决； （2）对于二次分式函数的最值，若分子或分母中的式子是一次的，一般作换元，用一个字母t表示这个一次式，二次分式可以表示为t函数，一般可用基本不等式或者对勾函数的性质求得相应最值；若分子分母都是二次式，则可以通过分离常数，先将分子转化为一次式在进行处理. 19. 已知函数，， （1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值； （2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解； （2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可； （3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集. 【小问1详解】 ，可化为， 移项整理得，不等式的解集为或， 或是方程的两个跟，且. 将代入方程，可得，解得. 把代入方程，得到，因式分解为， 即，故，. 【小问2详解】 由（1）知，，则，，，， 当且仅当时，即时，等号成立， ，恒成立， ，，， ，， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不等式，即，因式分解为， ，的两根为，， ①当，即时，不等式，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $