期中培优：坐标与旋转规律问题、旋转的性质与全等三角形综合问题 专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：坐标与旋转规律问题、旋转的性质与全等三角形综合问题专项训练 期中培优：坐标与旋转规律问题、旋转的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 坐标与旋转规律问题 旋转的性质与全等三角形综合问题 考点一 坐标与旋转规律问题 例1．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·河南开封·期中）【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 考点二 旋转的性质与全等三角形综合问题 例1．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）在中，，点D在边上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得线段，点D的对应点为E．记旋转角为，且． (1)如图①，当时，连接，求证：； (2)当时，连接，作的中线，． ①如图②，若，求线段的长； ②若，，求线段的长（直接写出结果即可）． 例2．（26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 【问题情景】 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，点F在线段上运动（点F不与端点D，E重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【推理证明】 (1)求证：． 【拓展延伸】 (2)如图2，连接交于点H． ①点F在线段上运动的过程中，判断与的位置关系，并说明理由． ②若，点F在线段上运动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 例3．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】 (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是________； 【类比探究】 (2)如图，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．将绕顶点逆时针旋转得到，连接．若，，，则的长为________． 变式1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）做中学：在某次探究等腰直角三角形变换的数学活动中，几位同学做了以下探究与思考． (1)小明将两个大小不同的等腰直角三角形摆放在一起，如图所示，、、三点在一条直线上．求证：． (2)小丽把等腰直角三角形固定，将等腰直角三角形绕着顶点旋转（旋转过程中，始终在三角形的内部），如图所示，在旋转过程中发现线段、、始终满足，请说明理由． (3)如图，在等腰直角三角形中，，，现将线段绕点逆时针方向旋转至（旋转角度小于90度），连接、，作，垂足为，发现线段、、存在数量关系，请直接用等式表示线段、、的数量关系________． (4)如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，将线段分成三段，使得这三条线段长恰好是一个直角三角形的三边长（保留作图痕迹，不写作法）． 变式2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． (1)如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 (2)如图3，当时，若，，求的值． 变式3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，于点． (1)如图1，若，，求的面积． (2)如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． (3)如图3，在（1）的条件下，若点、分别是、边上的两个动点，且满足，连接、，请直接写出取得最小值是多少． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：坐标与旋转规律问题、旋转的性质与全等三角形综合问题专项训练 期中培优：坐标与旋转规律问题、旋转的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 坐标与旋转规律问题 旋转的性质与全等三角形综合问题 考点一 坐标与旋转规律问题 例1．（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴，过第二个点作轴，找到规律即可得到答案． 【详解】解：过点作轴，过第二个点作轴， 则， ， ， ， ， ， ， 同理， 纵坐标每次旋转为一个周期，故，与第四次旋转后的纵坐标一致， 横坐标， 故正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为． 例2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，，先将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理，根据菱形的性质分别求出点、、、、、、的坐标，根据翻折的规律可知第次翻折是第次循环中的第次翻折，得到点的坐标． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作轴， 由图可知，第一次翻折得到菱形， 四边形是菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， 由翻折可知， 轴， ， ，， ， 点的坐标为，点的坐标为， 第二次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第三次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第四次翻折得到菱形， 点的坐标为， 第五次翻折得到菱形， 点的坐标为 第六次翻折得到菱形， 点的坐标为， 由翻折可知， ， 是等边三角形，， ， ， ， 的坐标为， 每翻折次，菱形向右平移个单位长度， ， 第次翻折是第次循环中的第次翻折， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：D． 例3．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，，，，轴，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用求得，进而可得，则可得，进而可求得，，则可得点的坐标为 ，再根据旋转的性质得到规律，进而可求解． 【详解】解：连接，过点作，如图：   ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为 ， 由旋转可知第一次旋转后点的坐标为， 第二次旋转后点的坐标为， 第三次旋转后点的坐标为， 每次旋转，， 每旋转4次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时点的位置和第2次旋转结束时点的位置相同， 第2026次旋转结束时，点的坐标为. 变式1．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形两边与坐标轴重合， ．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第次旋转结束时，完成了次循环，并再旋转两次，与的位置相同， 的坐标为． 变式2．（25-26九年级上·河南开封·期中）【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 变式3．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，每次变换后线段的长度变为原来的2倍，方向顺时针旋转，由此可得，且每旋转6次回到初始方向所在的直线上，通过计算的余数确定点所在的象限及具体位置，最后利用含30度角的直角三角形的性质求出坐标即可. 【详解】解：点的坐标为， ∴， ∵每一次将三角形绕着点顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍， ∴，，，…，， ∴， ∵， ∴每旋转6次，点的对应点回到轴负半轴方向， ∵， ∴点的位置与点的方向相同， ∵点在轴负半轴，顺时针旋转， ∴点在轴正半轴，点在第四象限，且与轴正半轴夹角为， ∴点在第四象限，且， 过点作轴的垂线，垂足为， 在中，，， ∴， ∴， ， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为. 考点二 旋转的性质与全等三角形综合问题 例1．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）在中，，点D在边上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得线段，点D的对应点为E．记旋转角为，且． (1)如图①，当时，连接，求证：； (2)当时，连接，作的中线，． ①如图②，若，求线段的长； ②若，，求线段的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)证明：由旋转知，，． ． ． ， ． ． 又， ； (2)①；②或 【分析】（1）先证明≌，再由全等三角形的性质证明即可； （2）①延长使，则是的中位线，那么，然后证明≌，则，得到，据此计算即可求解； ②分两种情况讨论，在左侧时，以及在右侧时，利用①的辅助线，分类讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，延长使，连接， 是的中线， ， 是的中位线， ， 将绕点B逆时针旋转得线段， ，， ∵， ∴，即， ， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ； ②解：情况一：当在左侧时，设与的交点为G，过B点作于H点． ，， ， 又，， ，， 设，则，则，解得（负值舍）， ， 由①知， ， ∵， ，由①知≌， ， ，， ，， ，， ， ， ， ∵是的中位线， ∴， ， ， ， ， ，， 由（2）知； 情况二：当在右侧时，延长使，连接， 同理可得， ∴， 同上有， ∴， 同上可得， ∴，， 则， ， 是中点， ， 综上，或． 例2．（26-27九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 【问题情景】 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，点F在线段上运动（点F不与端点D，E重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【推理证明】 (1)求证：． 【拓展延伸】 (2)如图2，连接交于点H． ①点F在线段上运动的过程中，判断与的位置关系，并说明理由． ②若，点F在线段上运动的过程中，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明，，，线段绕点A逆时针旋转得到线段，， ，，， ， ． 在和中， ． (2)①． 理由，，，D，E分别为的中点， ，． 在和中， ， ， ， ，即． ②1或． 【分析】（1）利用旋转的性质，结合证明即可； （2）①同（1）利用证明，再根据全等三角形的对应角相等以及等腰直角三角形的性质求解即可； ②分三种情况讨论，画出对应的图形，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）①略； ②分三种情况，，，． ，D，E分别为的中点， ， 由旋转可得，为等腰直角三角形，， 如图1，当时， ， ， ． ， ， ，， ，． ， ， ． 根据勾股定理，得， ， 解得（负值已舍去，线段长不能为负）． 如图2，当时， ． 根据前面的证明，得，， ， ， ， ， ． 当时，则， ， 故点F与点E重合，与点F在线段上运动时，不与端点D、E重合的要求矛盾．此时不成立． 综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为1或． 例3．（25-26九年级上·吉林·期中）【操作发现】 (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数是________； 【类比探究】 (2)如图，在等腰直角内取一点，使，将绕顶点逆时针旋转得到，连接．请猜想与有怎样的位置关系，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图，在等腰直角内任取一点，连接、、．将绕顶点逆时针旋转得到，连接．若，，，则的长为________． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵将绕顶点逆时针旋转得到， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ∴，三点共线， ； (3) 【分析】（1）根据旋转性质得，再利用等腰直角三角形的性质求的度数． （2）由旋转性质得，先判断的形状，再求的度数，进而得出与的位置关系． （3）通过旋转构造全等三角形和等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转得到， ， ∴是等腰直角三角形， ； （2）略 （3）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ， 在中，． 变式1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）做中学：在某次探究等腰直角三角形变换的数学活动中，几位同学做了以下探究与思考． (1)小明将两个大小不同的等腰直角三角形摆放在一起，如图所示，、、三点在一条直线上．求证：． (2)小丽把等腰直角三角形固定，将等腰直角三角形绕着顶点旋转（旋转过程中，始终在三角形的内部），如图所示，在旋转过程中发现线段、、始终满足，请说明理由． (3)如图，在等腰直角三角形中，，，现将线段绕点逆时针方向旋转至（旋转角度小于90度），连接、，作，垂足为，发现线段、、存在数量关系，请直接用等式表示线段、、的数量关系________． (4)如图，已知线段，请用无刻度的直尺和圆规，将线段分成三段，使得这三条线段长恰好是一个直角三角形的三边长（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， (2)理由如下：如图，把绕点A顺时针旋转得到，连接， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴ ； (3) (4) 【分析】（1）由题意易得，由边角边即可证明全等； （2）把绕点A顺时针旋转得到，连接，则可证明，得，得；再证明得，由勾股定理即可求解； （3）过点B作，交的延长线于点F，过点A作，交的延长线于点E，易得，则，再由平行线间距离处处相等得，由题意易得，从而得，再由等腰三角形的性质得，由此即可得线段、、的数量关系； （4）由（2）的结论，以所给线段为底边构造等腰直角，在直角内部作，此角与线段分别相交于点M、N，则这两个交点分线段所成的三条线段长恰好是一个直角三角形的三边长． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：如图，过点B作，交的延长线于点F，过点A作，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，设旋转角为， 则，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故线段、、的数量关系为； （4）解：以所给线段为底边作等腰直角，在直角内部作，此角与线段分别相交于点M、N，则这两个交点M、N分线段为三条线段，由（2）的证明知，此三条线段的长恰好是一个直角三角形的三边长． 作图略． 变式2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． (1)如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 (2)如图3，当时，若，，求的值． 【答案】(1)解：补充完整如下： ， ， ∵当时，，又， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵， ； (2) 【分析】（1）作，交延长线于点，连接，根据证，再根据证，然后得出是等腰直角三角形即可得出结论； （2）作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于，同（1）得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据得出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图，作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于， ， ∵点P是的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ∵当时，由旋转可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴与所成夹角的钝角为， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， 又， ， ， ∴． 变式3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，于点． (1)如图1，若，，求的面积． (2)如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． (3)如图3，在（1）的条件下，若点、分别是、边上的两个动点，且满足，连接、，请直接写出取得最小值是多少． 【答案】(1) (2)解：； 证明如下：如图，过点E作交的延长线于点G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． (3) 【分析】（1）根据已知条件利用等腰直角三角形的性质得出的值，再由勾股定理得出的值，进而求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果； （2）过点E作交的延长线于点G，证得，得出，再证得，，继而得到，由此得出结论； （3）过点C作，取，延长，取点E，使，连接、，，，，且与交于点，证明，得出，根据垂直平分，得出，说明，得出当E、P、F三点共线时，最小，即最小，证明，得出，，求出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点C作，取，延长，取点E，使，连接、，，，，且与交于点，点如图所示： 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当E、P、F三点共线时，最小，即最小， ∴当点P在点处时，最小，且最小值为的长， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $