精品解析：甘肃陇南市部分校2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试卷

2026年秋季学期“教学评一体化”学业素养期中检测 九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在二次函数中，一次项为，一次项系数是． 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断． 【详解】解：、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 、当时，，则点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：, 所以方程有两个不相等的实数根． 4. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：令，则， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得：． 5. 若是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2028 D. 2030 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程根的定义求的值，整体代入计算． 【详解】解：是一元二次方程的根． ． ． ． 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据轴，可得出与的面积相等，可推出，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得k的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴， ∴与的面积相等，即， 又∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点坐标即可解答． 【详解】解：二次函数为， 对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：当时，， ∴与y轴交点坐标为，不是，故C说法错误，不符合题意； 选项D：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D说法正确，符合题意． 8. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年月份此款飞行器的产量为台，月份的产量为台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出、月份的产量，再结合月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为， 月份的产量为台， 月份的产量表示为， 月份的产量表示为，即， 题中已知月份的产量为台， 可列方程为， 故选项正确． 9. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 10. 如图，在矩形电子显示屏中，，，光点E从点B出发，以的速度沿的路径向点A匀速运动，同时光点F从点B出发，以的速度沿的路径向点C匀速运动，当光点F到达点C时，两光点同时停止运动，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设运动时间为，推导出，，求出，根据三角形的面积公式推导出，再根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 点的速度为， ，． 点速度为， ， 点到达点停止运动，， ，即， 以为底，高为， ， ，抛物线开口向下，对称轴为直线，且在范围内， 当时，取得最大值， ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据双曲线上的点的横纵坐标之积为，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； 故答案为：3． 12. 已知一元二次方程的一个根是0，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 即或， ∴， 所以一个根是0，另一个根是． 13. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减平移的性质进行运算即可． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后可得： ． 14. 若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的关系式可得反比例函数图象的性质，再根据自变量的取值范围得出答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数的图象位于第一，三象限，在第一象限内，函数值y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 15. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高不变时，像高与物距（蜡烛到小孔的距离）成反比例关系．当时，测得，此时将蜡烛向小孔的方向移动，则蜡烛火焰的像高为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．根据像高与物距（蜡烛到小孔的距离）成反比例关系，当时，，可求出反比例函数解析式，由此即可求解． 【详解】解∶根据题意，设火焰的像高与物距（蜡烛到小孔的距离）成反比例函数解析式为， 当时，， ，解得． 反比例函数解析式为． 将蜡烛向小孔的方向移动，则． 则蜡烛火焰的像高为． 故答案为：2． 16. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 解得：，． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键． 利用解一元二次方程-因式分解法进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 19. 若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】 的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】利用方程根的意义求出参数，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得， ∴原方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个根为． 20. 已知二次函数，列表如下： … … … _____ _____ … （1）请把表格补充完整； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） … … … … （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入，运算即可； （2）根据表格中的数据描点作图即可； （3）根据函数图象寻找范围即可． 【小问1详解】 解：把代入可得：； 把代入可得：， 表格略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 当时，由图象可得：． 21. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 【答案】（1） （2）该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前20天完成此项工程． 22. 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，因其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店销售一种麦秆画，成本为元幅．据调查，这种麦秆画的售价为元幅时，平均每天的销售量是幅，售价每降低元，平均每天就可以多售出幅．设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当这种麦秆画的售价定为每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当这种麦秆画的售价定为每幅元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元，根据题意得，然后化简即可； 由得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元， 则 ， ∵， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由得， ∵， ∴当时，即售价为元时，有最大值，最大值为， 答：当这种麦秆画的售价定为每幅元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大，最大利润是元． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴负半轴上的点，且，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点的坐标，根据即可求出点的坐标，根据点、、的坐标求出的长度和点到的距离，再利用三角形的面积公式即可求出结果． 【小问1详解】 解：把代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把代入， 可得：， 点的坐标为， 把，代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，当时，， ， 点的坐标为， 又点的坐标为， 轴，， 点到的距离为， ． 25. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 26. 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定抛物线顶点坐标和点B坐标，利用待定系数法求解即可； （2）根据“确保道路正常通行”确定支撑柱的横坐标范围，代入抛物线解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴顶点，点， 设抛物线的表达式为， 把点代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∵支撑柱对称安置且要确保道路正常通行， ∴支撑柱到的距离至少为， 令，则， ∴支撑柱的最大高度为． 27. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 【答案】（1） （2），的最小值为 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求出点C的坐标．连接，则的最小值为的长．求出直线的解析式，其与抛物线对称轴的交点即为点Q的坐标，再由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴． 连接， ∵A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长． 直线与抛物线的对称轴的交点即为Q． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， 所以直线的解析式为， 令，得， ∴， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期“教学评一体化”学业素养期中检测 九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 若二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 若是一元二次方程的一个根，则（ ） A. 2024 B. 2026 C. 2028 D. 2030 6. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）． A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标为 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 当时，随的增大而增大 8. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年月份此款飞行器的产量为台，月份的产量为台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 10. 如图，在矩形电子显示屏中，，，光点E从点B出发，以的速度沿的路径向点A匀速运动，同时光点F从点B出发，以的速度沿的路径向点C匀速运动，当光点F到达点C时，两光点同时停止运动，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 12. 已知一元二次方程的一个根是0，则另一个根是________． 13. 将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为________． 14. 若点，都在反比例函数的图象上，则________（填“>”或“<”）． 15. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高不变时，像高与物距（蜡烛到小孔的距离）成反比例关系．当时，测得，此时将蜡烛向小孔的方向移动，则蜡烛火焰的像高为_____． 16. 如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 20. 已知二次函数，列表如下： … … … _____ _____ … （1）请把表格补充完整； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 某工程队修建一条村村通公路，所需天数y（单位：天）与每天修建该公路长度x（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图． （1）求y与x之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； （2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建20米提前多少天完成此项工程？ 22. 麦秆画是一种历史悠久的传统工艺美术品，因其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店销售一种麦秆画，成本为元幅．据调查，这种麦秆画的售价为元幅时，平均每天的销售量是幅，售价每降低元，平均每天就可以多售出幅．设这种麦秆画每幅的售价降低元，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润为元． （1）求与之间的函数关系式； （2）当这种麦秆画的售价定为每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的利润最大？最大利润是多少元？ 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若方程的两实数根为满足，求k的值． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点是轴负半轴上的点，且，求的面积． 25. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 26. 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线形彩虹桥，已知道路的宽为，路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行，桥面最高处到路面的距离为．以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）按计划在该彩虹桥下方对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最大高度． 27. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的表达式； （2）点Q是对称轴上的一个动点，当最小时，求点Q的坐标及的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $