精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市巴盟杭锦后旗2025-2026学年上学期九年级数学期中测试卷

2025年10月九年级数学学科测试调研卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、缺少条件，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 把方程配方成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项变形后，配方得到结果，即可确定出与的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 可得，， 故选：A． 【点睛】此题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 4. 若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≤ B. k＜ C. k≤且k≠1 D. k≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根， ∴且， 解得：k≤且k≠1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 5. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：依题意，， ∵， ∴该函数图象开口向上，故选项A不符合题意； 当时，函数的最小值为1，故选项B不符合题意； 函数图象的对称轴为直线，故选项C符合题意； 当时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性、增减性等知识点．掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式的特点可知对称轴为，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选D． 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：；方程的两个根是；；当时，的取值范围是；当时，随的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系． 由抛物线与轴有两交点，可得，可判断；由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一交点坐标，从而可得方程的两个根，可判断；由抛物线的对称轴为直线，可得与的关系，由抛物线经过，，可得，，可判断；由抛物线的开口方向，结合方程的两个根，可得当时，的取值范围，可判断；由图象可得当时，随的增大而增大，可判断． 【详解】解：∵抛物线与轴有两交点， ∴， ∴， ∴正确； ∵抛物线与轴交于，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与轴另一交点坐标为， ∴方程的两个根是，， ∴正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线经过，， ∴，， ∴， ∴， ∴正确； ∵抛物线开口向下，方程的两个根是，， ∴当时，的取值范围是， ∴不正确； 由图象可得当时，随的增大而增大， ∴正确， ∴正确的有，共4个． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 已知是方程的一个根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值．根据一元二次方程根的定义可得，即，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 10. “少年强，则国强”，为丰富学生的校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，某校组织了学生篮球赛，共有若干支队伍报名参赛．参赛的每两支队伍之间都要进行一场比赛，受场地和时间限制，每天都安排4场比赛，赛程持续7天．则参赛队伍共有___________支． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键在于审清题意．根据题意，可得关系式为：球队总数每支球队需要比赛的场数总场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设参赛队伍共有x支， 由题意得，， 解得，或（舍去）． 答：参赛队伍共有支． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 12. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 三、解答题（本大题共64分） 13. 选择合适的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： 解得 【小问2详解】 解： 解得 14. 已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2． （1）求的值； （2）当x为何值时，． （3）请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2）3或 （3） 函数图象如图所示， 时x的取值范围为：． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，求出横坐标为2的交点坐标是解题的关键． （1）把交点的横坐标2代入直线解析式求出交点坐标，再代入抛物线解析式计算即可求出a的值； （2）将a的值代入方程，再解方程即可； （3）利用五点法作出抛物线图象，利用两点法作出直线解析式，然后找出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：时，， 所以，交点的坐标为， 把交点坐标代入抛物线得，， 解得； 【小问2详解】 解：由得， ∴， ∴， 解得或； 【小问3详解】 略 15. 已知关于的方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的周长为10 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的意义证明即可； （2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程，确定出三边长，根据三角形的三边关系定理可得此情况舍去． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4， ∴， 解得， ∴方程为， 解得或， ∴、的值分别为2、4， ∴的周长为； 当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， ∴方程为， 解得， 此时，不符合三角形的三边关系，舍去； 综上，的周长为10． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 16. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】（1） （2）的值为8 （3） 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【小问1详解】 解：依据题意，， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； 【小问3详解】 略 17. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）17元 （3）；当时，日销售利润最大，最大利润1400元 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质解决问题，解答时求出二次函数的解析式，是解题的关键． （1）根据题意得到函数解析式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 解得：或（不符合题意舍去）， 答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元． 【小问3详解】 解：根据题意得， ， ， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当时，日销售利润最大，最大利润1400元． 18. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是线段上的一个动点，平行于y轴的直线交抛物线于点F，求面积的最大值； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线的解析式，然后设，则，根据题意表示出面积，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）首先求出的长度，然后设点P的坐标为，根据列出方程求解即可． 【小问1详解】 将，代入， 得：，解得：， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴ ∴， 当时，的面积有最大值． 【小问3详解】 ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，设点P的坐标为． ∵， ∴， 即或， 解得：，，，， ∵存在满足的点P，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月九年级数学学科测试调研卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程配方成的形式，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 3. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≤ B. k＜ C. k≤且k≠1 D. k≥ 5. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示下列结论：；方程的两个根是；；当时，的取值范围是；当时，随的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 已知是方程的一个根，则的值为____． 10. “少年强，则国强”，为丰富学生的校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，某校组织了学生篮球赛，共有若干支队伍报名参赛．参赛的每两支队伍之间都要进行一场比赛，受场地和时间限制，每天都安排4场比赛，赛程持续7天．则参赛队伍共有___________支． 11. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 12. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 三、解答题（本大题共64分） 13. 选择合适的方法解方程． （1） （2） 14. 已知抛物线与直线的一个交点的横坐标是2． （1）求的值； （2）当x为何值时，． （3）请在所给的坐标系中，画出函数与的图象（草图），并根据图象，直接写出时的取值范围． 15. 已知关于的方程． （1）求证：取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 16. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 17. 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为（元），日销量为（件），日销售利润为（元）． （1）求与的函数关系式； （2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元； （3）求日销售利润（元）与销售单价（元）的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 18. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点E是线段上的一个动点，平行于y轴的直线交抛物线于点F，求面积的最大值； （3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $