精品解析：广西壮族自治区来宾市第一中学2026-2027学年高三上学期10月演练数学试题

来宾一中2027届高三10月演练（数学） （时间：120分钟 总分：150分） 一．单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的75百分位数为（ ） A. 8.7 B. 9.0 C. 8.85 D. 8.6 4. 已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列前项和为，且，，则（　　） A. 81 B. 96 C. 108 D. 192 6. 已知圆和交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为2 D. 的最小值是4 10. 在的展开式中（ ） A. 所有系数的绝对值之和为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若为数列的前项和，且满足，，则 三．填空题（共15分） 12. 已知，则______． 13. 已知随机变量，，且，若，则__________． 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四．解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为2，求的周长． 16. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： （1）异面直线与所成角的大小的余弦值； （2）直线与平面所成角的大小的正弦值； （3）二面角的大小的余弦值. 17. 一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，3张卡片上的数字是3，10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； （2）记所取3张卡片上的数字的中位数为，求的分布列及数学期望. 18. 已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 19. 已知函数的定义域为，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质. （1）若，判断函数在下列区间上是否具有性质；①；②； （2）若对任意实数都成立，当时，，若在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）对于满足的任意实数和，在区间上都有性质，且对于任意，当时，均满足.设，，试判断数列的单调性，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来宾一中2027届高三10月演练（数学） （时间：120分钟 总分：150分） 一．单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元一次不等式求出集合，再求出两集合的交集，最后求交集在实数集上的补集. 【详解】，解得， 所以， 所以， 所以． 2. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故选：A 3. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的75百分位数为（ ） A. 8.7 B. 9.0 C. 8.85 D. 8.6 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意，所以该组数据的75百分位数为. 故选：C. 4. 已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量垂直，数量积等于0，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角． 【详解】，， ，， ，设与的夹角为，， 则由两个向量的夹角公式得， 故选：C. 5. 等比数列前项和为，且，，则（　　） A. 81 B. 96 C. 108 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出的首项和公比，再求即可. 【详解】设公比为，因为，又， 两式相除得，观察可得，从而， 所以. 故选：B. 6. 已知圆和交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆方程相减求得直线方程，然后求得一个圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长． 【详解】由已知，两圆方程相减得，这是两圆公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 故选：B． 7. 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，若 ， 在 上单调递增，不合题意； 若，讨论可知最小值， 有两个零点，最小值即可. 【详解】 若 ，则恒成立， 在 上单调递增，至多有一个零点，不合题意. 若 ，令 得. 当时 ， 当时， 所以 在 处取最小值 又当 时 （因为而） 当 时 ， 所以 有两个零点当且仅当最小值小于 0，即 因为 ，故，解得 . （端点检验：当 时最小值为 ， 只有一个零点 ，不合题意.故 . 8. 已知双曲线的上、下焦点分别为、，是的上支上的一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理，结合双曲线的对称性可得，再建立不等关系求出离心率的范围. 【详解】设该内切圆在、上的切点分别为、， 由切线长定理可得，，， 又，，则， 即，解得， 由，即，得，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： ①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； ②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； ③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二．多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设正实数m，n满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为2 D. 的最小值是4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据题意得，化简后可判断；对于B，利用作差法即可判断；对于C，利用基本不等式可求最值；对于D，由题意得，代入得关于的二次函数，进而可求最值. 【详解】对于A选项，，故，故A正确； 对于B选项，因为， 所以，故B错误； 对于C选项，因为，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确； 对于D选项，因为， 所以， 故当，时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 10. 在的展开式中（ ） A. 所有系数的绝对值之和为 B. 项的系数为 C. 系数最大项为第3项 D. 有理项共有5项 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用展开式系数绝对值之和与展开式系数和相等判断A，根据二项展开式的通项公式可得，令，运算求解即可判断B，由第项的系数为，列不等式组分析运算判断C，令，分析运算即可判断D. 【详解】对于A：在的展开式中所有系数的绝对值之和与的展开式中所有系数的和相等， 故令，可知展开式的系数之和为，故A错误； 对于B：因为的展开式的通项公式 ，， 令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，所以， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则，所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若为数列的前项和，且满足，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“调和数列”的定义可以确定为等差数列，再利用等差数列的性质可判断A选项；利用等差数列的定义求得其通项公式，可判断B选项；根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，可判断C选项；求出数列的通项公式，结合放缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，依题意可得为等差数列，由， 根据等差数列的性质得，则可得， 所以，，则，故错误； 对于B选项，由，且，，可得，， 则，所以，，则，故正确； 对于C选项，由为等差数列，可得， 所以，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D选项，由已知可得，所以，，则， 所以，， 当时，成立， 当时，， 所以， ， 综上所述，对任意的，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据题中的定义结合等差数列的相关知识求解. 三．填空题（共15分） 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合平方关系求得，再利用两角和的正弦公式求解. 【详解】由，得， 整理得，解得，则， . 故答案为：. 13. 已知随机变量，，且，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项分布的期望公式写出，再结合期望的线性性质代入构造关于的方程求出，利用正态分布的对称性求解连续型随机变量概率． 【详解】，， ，，即，解得， ， 由对称性可得， 又， ， ． 故答案为：． 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，， 则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． 四．解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若的面积为2，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解； （2）由余弦定理和面积公式，列出方程，求得，进而求得，进而得到三角形的周长. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又因为，所以，则． 由，可得． 【小问2详解】 解：由余弦定理得． 因为，所以，所以． 所以，可得． 所以的周长为． 16. 在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： （1）异面直线与所成角的大小的余弦值； （2）直线与平面所成角的大小的正弦值； （3）二面角的大小的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量法求解. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. （3）求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设与面所成角为，因此， 所以直线与平面所成角的大小的正弦值为. 【小问3详解】 设平面法向量为， 则，令，得， 因此， 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 17. 一盒中装有10张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，3张卡片上的数字是3，10张卡片除数字不同外其他均相同，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； （2）记所取3张卡片上的数字的中位数为，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 数学期望【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合排列组合即可求解， （2）分别求解的概率，即可得分布列，进而根据公式求解期望. 【小问1详解】 所取3张卡片上的数字完全相同,则需要所取3张均为1，或者均为2，或者均为3，故概率为, 【小问2详解】 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字1，故概率为, 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字2，或者3张卡片分别为1，2，3，故概率为, 若，则所取的3张卡片中至少有2张是数字3，故概率为, 故的分布列为 1 2 3 故 18. 已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设，结合及点在椭圆上求得，即可得直线方程；（ii）设直线方程联立椭圆，应用韦达定理及得到，再分类讨论求直线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【小问1详解】 由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得，即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为，直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为． 19. 已知函数的定义域为，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质. （1）若，判断函数在下列区间上是否具有性质；①；②； （2）若对任意实数都成立，当时，，若在区间上具有性质，求实数的取值范围； （3）对于满足的任意实数和，在区间上都有性质，且对于任意，当时，均满足.设，，试判断数列的单调性，并说明理由. 【答案】（1） ①不具有；②具有 （2） （3）单调递增，理由如下： 由在区间上都有性质， 则在，上，且， 又，所以，即，对于， 因， 令，因，所以， 所以，即， 所以数列是单调递增的. 【解析】 【分析】(1)由对称轴，即可判断； (2)求出在上的函数解析式，根据在上没有最小值，即可讨论的情况，得出结果； (3)由在区间上都有性质，可以得出以及，进而结合，可得，对于，利用进行证明即可. 【小问1详解】 ，对称轴为， 当时，有最小值，不具有性质； 当时，递增，无最小值，具有性质. 【小问2详解】 由题知，当时，， 则当，即时， ， 所以当时，， 所以， 那么，当时，无最小值，符合题意； 当时，需满足，即，解得； 当时，无最小值，符合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $