精品解析：广西壮族自治区来宾高级中学2026-2027学年高三上学期9月阶段性检测数学试题

来宾高级中学2027届高三9月阶段性检测 数学试题 时间：120分钟分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有一组数据为、、、、、、、，则该组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将该组数据按从小到大的顺序排列为：、、、、、、、，该组数据共有个， 所以中位数为排序后第位和第位数据的算术平均值，即. 2. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 3. 已知随机变量，则下列结论不成立的是（ ） A. 越小，则的测量结果在内的概率越大 B. 的测量值大于10的概率为0.5 C. 的测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D. 的测量结果落在内的概率与落在内的概率相等 【答案】D 【解析】 【分析】结合正态分布的对称性、对曲线形态的影响，逐一判断各选项结论是否成立，选出不成立的选项. 【详解】已知随机变量，即正态分布的均值，正态曲线关于直线对称. 选项A：越小，正态曲线越“瘦高”，数据越集中在均值附近，因此落在内的概率越大，结论成立; 选项B：由正态曲线关于对称，可得，结论成立; 选项C：与关于对称，根据正态分布对称性，，结论成立; 选项D：区间与不关于对称，因此对应概率不相等，结论不成立. 4. 在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图， . 5. 书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设表示“乙取到语文书”，表示“甲取到语文书”，再根据全概率公式即可求解. 【详解】用表示“乙取到语文书”，表示“甲取到语文书”， 则． 故选：B. 6. 已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得该直三棱柱的底面是一个等腰三角形，底边长， 边的高，从而， 所以此三棱柱的体积为. 7. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 8. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，结合和事件、对立事件的概率公式计算可得. 【详解】由题意可知，，故A，B正确； 事件为事件的对立事件，且事件两两互斥， ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【答案】BCD 【解析】 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B、C的真假，根据圆锥的性质及三角形面积公式，知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假. 【详解】A：且为不同的三个点，若为不同平面且，，，，则，则为异面直线与题设矛盾，故为同一平面，正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； C：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误； D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面，若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：BCD 11. 一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设长方体未知的两棱长分别为，，由长方体对角线就是外接球直径得半径，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项． 【详解】设长方体未知的两棱长分别为，则，， 设外接球半径为，则， 球体积为，，当且仅当时等号成立， 所以． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，第60百分位数为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】首先给定数据已按从小到大排序，样本容量，， 排序后数据的第6项为，第7项为，因此. 13. 的展开式的第8项的系数为_________（结果用数值表示）. 【答案】960 【解析】 【分析】根据二项式定理求出展开式中的第8项，由此即可求解． 【详解】因为，展开式的第8项为， 所以，的展开式的第8项的系数为960. 故答案为：960 14. 已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量， 则，令，可得. 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，    设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求解； （2）利用频率分布直方图，结合平均数的求法，即可求解； （3）先求出样本中三段分数的人数，再求出的可取值及对应概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意有：，解得：. 【小问2详解】 若以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为： . 【小问3详解】 根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在，，各段的同学人数比例为，所以样本中三段分数的同学人数为1人，3人，4人， 所以随机变量的可取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，平面平面，，，． （1）求证：平面平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为平面平面，且平面平面， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得线面垂直，然后由面面垂直的判定得到面面垂直； （2）由（1）得到三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，得到点坐标及空间向量坐标，由空间向量的数量积求得平面和平面的法向量，再利用空间向量的数量积求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，且在正方形中， 所以以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以，， 设平面的一个法向量，则， 令，则，即. 设平面的一个法向量，则， 令，则，即. 设平面与平面的夹角为， 则. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得它到平面的距离为？请说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，为中点， 所以． 因为侧面底面，平面平面平面， 所以平面． （2） （3） 存在点，且，使得到平面的距离为，理由如下： 由（1）知， 令，则． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以为平面的一个法向量． 因为点到平面的距离为， 则， 又，则， 故存在点，且，使得到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）根据为中点，可得，再根据面面垂直的性质即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）令，利用空间向量表示出到平面的距离，建立方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知平面，且平面， 所以． 因为， 所以四边形为平行四边形． 又因为，所以． 以为坐标原点，以为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为 则，即， 令，得， 平面的一个法向量为． 设直线与平面的夹角为， 则． 【小问3详解】 略 19. 甲、乙、丙三位主播进行连麦直播.流量从甲主播开始.每次流量更新时，当前持有流量的主播会随机（等可能）将流量推送给另外两位主播中的一位. （1）求次推送后，流量在乙主播手中的概率； （2）设次推送后流量在甲手中的概率为. （ⅰ）证明：是等比数列，并求； （ⅱ）求次推送后，流量在乙主播手中的概率的表达式. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由次推送后流量在甲手中的概率为， 若第次流量在甲手里，则第次一定推送给乙或丙； 若第次流量不在甲手里，则第次中持有者有的概率推送给甲， 所以不在甲手中的概率为，所以递推关系式为， 即，可得， 易知，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，所以 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据题意，得到递推关系式为，结合等比数列的定义和等比数列的通项公式，即可求解； （ii）根据题意，得到乙和丙被推送的概率相同，即，利用，结合的表达式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，流量从甲主播开始，每次推送，主播只能把流量等可能推送给另外两人， 所以推送每个人的概率为，即第一次：甲乙或甲丙，且概率均为, 当时，流量在乙主播手中，可分为三种情况： ①甲乙甲乙，其概率为； ②甲乙丙乙，其概率为； ③甲丙甲乙，其概率为； 所以其概率为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ii）解：由题意知，每次推送，主播只能把流量等可能推送给另外两人， 所以乙和丙被推送的概率完全相同，可得， 设流量在丙主播手中的概率为，可得，即， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 来宾高级中学2027届高三9月阶段性检测 数学试题 时间：120分钟分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若有一组数据为、、、、、、、，则该组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，则下列结论不成立的是（ ） A. 越小，则的测量结果在内的概率越大 B. 的测量值大于10的概率为0.5 C. 的测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D. 的测量结果落在内的概率与落在内的概率相等 4. 在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 书架上有3本语文书，2本数学书，甲、乙两位同学先后从书架上任取一本书，则乙取到语文书的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 中国篮球职业联赛中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 用表中数据来估计概率，记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中为假命题的是（ ） A. 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B. 过空间中任意三点有且仅有一个平面 C. 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D. 通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 11. 一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，第60百分位数为，则________． 13. 的展开式的第8项的系数为_________（结果用数值表示）. 14. 已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 16. 某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求的值； （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值； （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在内的人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 17. 如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，平面平面，，，． （1）求证：平面平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得它到平面的距离为？请说明理由． 19. 甲、乙、丙三位主播进行连麦直播.流量从甲主播开始.每次流量更新时，当前持有流量的主播会随机（等可能）将流量推送给另外两位主播中的一位. （1）求次推送后，流量在乙主播手中的概率； （2）设次推送后流量在甲手中的概率为. （ⅰ）证明：是等比数列，并求； （ⅱ）求次推送后，流量在乙主播手中的概率的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $