精品解析：湖南省岳阳市湘一南湖学校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

湘一南湖学校2026年下学期九年级第一次独立作业 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、单选题（本大题共10道小题，每小题3分，满分共30分） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 3、4、6、9 D. 2、3、4、6 3. 一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 6. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=1 C. 顶点坐标为（1，﹣3） D. 最小值为3 8. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 11 C. 1 D. 9. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是________. 12. 为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 13. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 14. 在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是______ 15. 点，是二次函数的图象上两点，则____（填“>”、“<”或“=” ） 16. 关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 三、解答题（本题共8小题，满分共72分） 17. 解方程： （1）． （2） 18. 如图，已知线段与交于点，，，，，求证：． 19. 已知关于x的方程． （1）试说明方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长． 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 21. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品涨价x元． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品涨价多少元． 22. 如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 23. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P横坐标为3时，求的面积； （3）过点P作x轴的垂线，交直线于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 24. 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； （2）①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘一南湖学校2026年下学期九年级第一次独立作业 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、单选题（本大题共10道小题，每小题3分，满分共30分） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是正确记忆相关特殊角的三角函数值． 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 3、4、6、9 D. 2、3、4、6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 一元二次方程x2+x+1＝0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况． 【详解】△=12-4×1×1=-3＜0， 所以方程无实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 5. 若，且对应中线比为，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 6. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以原价25元为初始基数，每次降价后售价为前一次的倍． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 原来的每件25元，第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元， 由最终售价为16元，得． 7. 对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A. 开口向上 B. 对称轴为直线x=1 C. 顶点坐标为（1，﹣3） D. 最小值为3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可直接判断． 【详解】A.a=2＞0，则函数开口向上，故命题正确； B.对称轴是直线x=1，故命题正确； C.顶点坐标是（1，﹣3），命题正确； D.最小值是﹣3，命题错误． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确记忆函数的性质是解决本题的关键． 8. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. 11 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 9. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是________. 【答案】（1,3）； 【解析】 【分析】本题利用二次函数解析式中的顶点式 ，定点坐标为（h,k）,即可得出. 【详解】解：根据顶点式得 ，定点坐标为（1,3）. 故答案为（1,3）. 12. 为优选水稻品种，农科所分析了甲、乙两种水稻的单穗质量（单位：），计算出样本方差分别为，，由此可推断__________种水稻的质量更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】 乙 【解析】 【分析】方差反映数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，质量越稳定，只需比较两种水稻样本方差的大小即可判断． 【详解】解：∵方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，稳定性越好， 又∵，， ∴乙种水稻的质量更稳定． 13. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 14. 在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是______ 【答案】x（x-1）=90 【解析】 【详解】设某一小组共有x个队， 那么每个队要比赛的场数为x-1； 则共赛的场数可表示为x（x-1）=90． 15. 点，是二次函数的图象上两点，则____（填“>”、“<”或“=” ） 【答案】< 【解析】 【分析】将，代入，求出和，比较即可； 【详解】当x=2时，==4； 当x=3时，==7， ∵47， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数值的大小比较，代入相应的坐标求出和，是解答本题的关键． 16. 关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 三、解答题（本题共8小题，满分共72分） 17. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原方程移项得， 因式分解得， 则或， 解得，； 【小问2详解】 解：原方程因式分解得， 整理得， 则或， 解得，． 18. 如图，已知线段与交于点，，，，，求证：． 【答案】， ， ， ， 与是对顶角， ， ． 【解析】 【分析】先根据已知线段长度，算出，，得到两组对应边成比例；再利用对顶角相等得到夹角相等，根据两边对应成比例且夹角相等，证出． 【详解】略． 19. 已知关于x的方程． （1）试说明方程总有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长． 【答案】 （1）证明：∵△＝（m＋2）2－4（2m－1） ＝（m－2）2＋4 ∵（m－2）2≥0 ∴（m－2）2＋4＞0 ∴方程总有两个不相等的实数根 （2）方程的另一个根为x＝3，此等腰三角形的周长为7 【解析】 【分析】（1）根据关于x的方程x2−（m＋2）x＋（2m−1）＝0的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）把x＝1代入方程得m＝2 把m＝2代入方程得x1＝1，x2＝3 ∴方程的另一个根为x＝3 ∵三边为1，1，3不能构成三角形，三边为1，3，3符合 ∴此等腰三角形的周长为7． 【点睛】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． 20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为____________，图①中的值为____________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为____________和____________； （2）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？ 【答案】（1）40，25，4，3 （2）这组数据的平均数是 （3）估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数，部分的百分比，众数，中位数，加权平均数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式，并灵活应用． （1）利用求总数，部分的百分比，众数，中位数的公式和定义进行求解即可； （2）利用加权平均数公式进行求解即可； （3）利用样本频数预估总体频数即可． 【小问1详解】 解：； 3小时人数所占的百分比为， ∴； ∵在该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 中位数为排序后的第20位和21位的平均数， ∴中位数为； 故答案为：40，25，4，3； 【小问2详解】 解：该组数据的平均数为， ∴这组数据的平均数是； 【小问3详解】 解：在所抽取的样本中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生占， 根据样本数据，估计该校1000名学生中，每月参加志愿服务的时间是4h的学生约占，有. 估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350． 21. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品涨价x元． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品涨价多少元． 【答案】（1）该商品每日的销售量为件 （2）该商品涨价5元 【解析】 【分析】通过题目所给的信息列出对应的式子即可解决第一问；通过利润（售价进价）日均销售量列出对应式子即可解决第二小问． 【小问1详解】 解：设日销售量为，由题意得： 【小问2详解】 由题意得：，即 设利润为，则 ， ， 解得，， ， 将舍去，即， 答：该商品涨价5元． 22. 如图，为了测量某条河的宽度，小明站在点，到河岸的距离为，刚好正对河对岸的一棵大树，此时点，，在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了，到达点，此时测得．求这条河的宽度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角函数求出的长度，减去的长度，即可求出的长度． 【详解】解：由题意知，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：这条河的宽度为． 23. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P横坐标为3时，求的面积； （3）过点P作x轴的垂线，交直线于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点P的横坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）由点P横坐标为3，可得，再利用割补法，即可求解； （3）设，由轴，轴，可得，可得，由抛物线的对称性可得，再求得直线的解析式，可得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与坐标轴分别交于点，，， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点P横坐标为3， 当时，， ∴， 如图，过点作轴于点，则， ∵，，，， ∴，，，， ∴ ． 【小问3详解】 解：如图，设， ∵轴，轴， ∴， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴或， 解得，，，， ∴点P的横坐标为或或或． 24. 如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； （2）①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）1； （2）①；②； （3）或 【解析】 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【小问1详解】 解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $