精品解析：山东济南市历城第一中学2026-2027学年高一高一上学期10月阶段质量评估数学试题数学试题

高一上学期阶段质量评估数学试题 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图象可知，当时，函数的图象与直线的交点有且仅有一个. 即时，只有唯一的值与之对应. 2. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意求，进而根据必要不充分条件的概念可判断. 【详解】函数在区间上不单调，对称轴为， “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件可以是． 故选：C． 3. 设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（ ） A. －4 B. －3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过基本不等式可得，进而可得结论． 【详解】，且， ， 当且仅当即时等号成立， 则有，即得，即的上确界. 故选：D． 4. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是定义在上的奇函数，在上单调递增，且， 可知，当时，；当时，； 由，得或，解得或， 所以不等式的解集为． 5. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 6. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知得出单调性，再应用分段函数单调性列式求解参数. 【详解】依题意，对于任意实数，都有成立， 不妨设，则，，所以在上单调递减， 所以，解得． 7. 已知函数若，则（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论求分段函数值解方程即可求解. 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 8. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 当时，，所以不等式的解集为， 若解集中仅有四个整数，则四个整数为2，3，4，5，所以， 此时，与矛盾； 当时，，不等式，即，则不等式的解集为，不符合题意； 当时，，所以不等式的解集为， 若解集中仅有四个整数，则四个整数可能为2，3，4，5或1，2，3，4， 当整数解为2，3，4，5时，，且，无解， 当整数解为1，2，3，4时，，且，解得． 综上，实数a的取值范围是． 三、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 以下命题正确的是（ ） A. 函数与是相同函数 B. 函数，的值域为 C. 若的解集为，则 D. 已知在上是增函数，若，则有 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同函数定义判断A；利用分离常数法计算可判断B；根据解集与一元二次不等式的关系计算可判断C；根据函数单调性及不等式性质计算可判断D. 【详解】对于A，函数与定义域相同且对应关系完全一致，是相同函数，A正确； 对于B，， 当时，，则，因此， 进而，即值域为，B正确； 对于C，的解集为，说明，且、是方程的两根， 由韦达定理得， ，解得，C错误； 对于D，由可得，， 因为在上是增函数，所以 两式相加得，D正确. 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用1的代换结合基本不等式求最小值，B选项，直接利用基本不等式求积的最大值；C选项，消元后利用二次函数的性质求最小值；D选项，代入，结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为，A选项错误. 对于B，，有，当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，B选项正确； 对于C，， 因为正实数，满足， 则有，解得，即， 则时，的最小值为，C选项正确； 对于D，， 当且仅当时，取等号，又，故等号不成立，D错误； 故选：BC 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若函数，则对，不等式恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 全称命题否定需替换量词并否定结论，符合形式规则；B.二次项系数含参的恒成立问题，勿忘讨论系数为 0 的特殊情况；C.结合奇函数对称性与区间单调性，确定端点函数值后代入计算；D，用作差法将不等式变形为完全平方式，利用平方非负性证明恒成立. 【详解】选项 A，将全称量词 改为存在量词 ，否定结论，A正确； 选项 B，含参二次不等式恒成立需分情况讨论：当 时， 恒成立； 当 时，需满足 且判别式 ，解得 , 综上 的取值范围是 ，选项遗漏了 的情况，B错误； 选项 C，奇函数满足 ； 在 单调递增，因此最大值 ，最小值 ，代入得 ，， 故 ，C正确； 选项 D，对不等式作差验证： ， 差恒非负，因此不等式恒成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义域为的奇函数，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【详解】因为定义域为的奇函数，所以，解得， 又由奇函数可知，解得，所以，所以． 13. 设函数的定义域为，对于任一给定的正数P，定义函数，则称为的“p界函数”．若函数，则下列结论：①；②的值域为；③在上单调递减；④函数为偶函数．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【解析】 【详解】由，解得， 对于，对于①，，故①错误， 对于②，当时，，当或时，， 故的值域为，故②正确， 对于③，当时，，图象开口向上，对称轴为， 故在上单调递减，故③正确， 对于④，， 故函数为偶函数，故④正确，故正确的结论为②③④．正确的结论有3个. 14. 设函数，若存在最小值，则a的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得在上单调递增，对应值域为， 当时，在上单调递减，对应值域为， 而， 若，则（舍），此时，不存在最小值， 若，则，即，此时，则最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增，对应值域为， 此时，则最小值为0，综上，，故a的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，，且． （1）求的值及集合； （2）设全集，求； （3）求的子集个数． 【答案】（1），，； （2） （3）4个 【解析】 【分析】（1）将代入中,即可求得的值，根据的值，即可求出集合； （2）先求出全集，再根据求解即可； （3）求出，再列举出其子集即可. 【小问1详解】 根据题意得：，， 将代入中的方程得：， 解得， 则，； 【小问2详解】 因为，， 所以； 【小问3详解】 的所有子集为，，，．共4个． 16. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. （1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? （2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 【答案】（1）规划时，面积最少 （2）步道至少有7米. 【解析】 【分析】（1）根据条件建立建造费用的等量关系，消元转化并由基本不等式计算即可； （2）根据条件建立建造费用的等量关系，分解因式配凑定值由基本不等式计算即可. 【小问1详解】 根据题意建造健身步道的费用为，内部的建造费用为， 即，所以有， 而公园占地面积 ， 当且仅当时取得等号， 所以规划时占地面积最少； 【小问2详解】 根据题意有：，即， 而， 当且仅当，即时取得等号. 所以规划时，即步道至少为7米. 17. 已知函数且满足． （1）求的值； （2）用定义判断并证明在上的单调性； （3）命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则． 因为，所以，且，即， 所以，即， 故在上单调递增． （3）2 【解析】 【分析】(1) 将代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可求出参数的值; (2) 由第一问求得函数解析式，利用单调性定义证明：设，作差并对差式变形，判断差值正负，从而证明函数在上单调递增； (3) 由第二问可知在上单调递增，求得区间上最大值为；将 “存在，使得成立” 转化为，解不等式求出的最大值. 【小问1详解】 ，． 由，得，故． 此时. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增，故在上单调递增， 于是在上的最大值为． “存在，使得成立”等价于在上的最大值不小于，即，解得． 所以实数的最大值为2. 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）且说明，关于对称轴对称,进而利用换元法，利用基本不等式1的代换可求的最小值； （3）分，和，结合二次函数的性质可求得函数在区间上的最大值． 【小问1详解】 设（）， 由，得． ， 又， ，解得，， ． 【小问2详解】 ， 图象关于直线对称， 且，，且，，，． ， 设，则，， 原式． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当，即，时取等号， 此时，， 原式的最小值为． 【小问3详解】 ，其对称轴为，开口向下． ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，对称轴在区间内， ； ③当，即时，在上单调递增， ． 综上所述，. 19. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，当时，求的取值范围； （3）设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 【答案】（1）​ （2）​ （3）​ 【解析】 【分析】（1）先确定根式的定义域，再利用平方根函数的单调性解不等式． （2）将化为关于的二次式恒正，按二次项系数及判别式讨论参数． （3）分别求出两个集合对应的开区间，把任意到某个的距离不超过转化为区间端点的覆盖条件，再按与的关系分类． 【小问1详解】 由有意义，得． 在此范围内，等价于，所以． 故． 【小问2详解】 由为全体实数，得对任意实数，都有． 当时，二次项系数，上式不可能对任意实数恒成立． 当时，上式化为，满足条件． 当时，二次项系数为正，要使上式对任意实数恒成立，需判别式小于，即，解得． 综上，． 【小问3详解】 设，． 由，得． 又． 当时，； 当时，； 当时，． 当且时，对给定的，存在使的充要条件为． 因此，由为开区间，题设条件等价于，即其左端点不小于、右端点不大于． 当时，且，解得且，所以． 当时，，不满足题意． 当时，必须有，从而，与矛盾． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期阶段质量评估数学试题 试卷满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（ ） A. B. C. D. 2. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（ ） A. －4 B. －3 C. D. 4. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 以下不等式正确的是（ ） A. 如果，，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 6. 已知函数满足对于任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若，则（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 8. 若，且不等式的解集中有且仅有四个整数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 以下命题正确的是（ ） A. 函数与是相同函数 B. 函数，的值域为 C. 若的解集为，则 D. 已知在上是增函数，若，则有 10. 设正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若函数，则对，不等式恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知定义域为的奇函数，则的值为______． 13. 设函数的定义域为，对于任一给定的正数P，定义函数，则称为的“p界函数”．若函数，则下列结论：①；②的值域为；③在上单调递减；④函数为偶函数．其中正确的结论有______个． 14. 设函数，若存在最小值，则a的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设，，且． （1）求的值及集合； （2）设全集，求； （3）求的子集个数． 16. 如图（示意），在公路的一侧有一块空地，在这块空地上规划建造一个口袋公园（如图中），其中道路与为健身步道，内为绿化景观与健身设施等，由于路面材质的不同，段的造价为每米3万元，段的造价为每米2万元，内部的造价为每平方米2万元.设的长为x米，的长为y米. （1）若建造健身步道的费用与建造内部的费用相等，则如何规划可使公园占地面积（只考虑内部）最少? （2）若建造公园的总费用为30万元，则健身步道至少有多长? 17. 已知函数且满足． （1）求的值； （2）用定义判断并证明在上的单调性； （3）命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 18. 已知二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）若两个不相等的正数，满足，求的最小值； （3）求函数在区间上的最大值． 19. 已知函数和，定义集合． （1）设，，求； （2）设，，当时，求的取值范围； （3）设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $