精品解析：山东省济南市历城第二中学2024-2025学年高一上学期10月学习质量检测数学试题

2024年10月高一学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定形式是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. “屏占比”变化不确定 6. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调减区间为 B. 若有三个不同实数根，，，则 C. 若恒成立，则实数的取值范围是 D. 对任意的，，不等式恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，则的定义域为__________． 13. 已知,若恒成立,则实数k的最大值为 _____________. 14. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集集合，，． （1）求； （2）若，求a的取值范围． 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）求. 17. 已知函数． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）求在上的最小值； （3）函数的最大值． 18. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时. （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶. 19. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； （3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年10月高一学习质量检测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中， 既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可. 【详解】解：对于A：，则，故为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：为奇函数，函数在，上单调递增，在定义域上不具有单调性，故B错误； 对于C：为奇函数，且在定义域上单调递增，故C正确； 对于D：为偶函数，故D错误； 故选：C 2. 命题的否定形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为命题：，，是全称命题， 所以其否定是特称命题，故为：，. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】当时，成立，故充分性满足， 当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的定义域与值域的求法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 又由函数有意义，可得，解得，所以， 所以. 故选：A. 5. 平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在（0，1）间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比（ ） A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. “屏占比”变化不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小. 【详解】设升级前屏幕面积为a,整机面积为b, 则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小. 故选：B 6. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 7. 已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数在上的单调性以及函数值正负情况，结合奇偶性，可判断函数在上的单调性，以及函数值的正负情况，由此可得不等式的解集. 【详解】由题意知对任意，且，都有，， 则在上单调递减，且当时，；当时，； 又是定义在上的偶函数，则在上单调递增，， 且当时，；当时，； 不妨画出图象示意图如图： 则不等式的解集是， 故选：A 8. 已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可. 【详解】由，即，解得或， 由，即， 当时，不等式为，无解； 当时，不等式解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以，即， 当时，不等式解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则，即， 综上所述，k的取值范围为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分． 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的性质或是做差法，直接判断选项. 【详解】A.由条件可知，，，所以，故A正确； B.因为，所以，所以，故B正确； C.，因为，所以，但是不确定的正负，所以不能判断的正负，所以C错误； D.因为，所以，所以，故D错误. 故选：AB 10. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐一计算判断即可. 【详解】对于A： ，当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B：， 当且仅当 ，即时取得等号，故B正确； 对于C：， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取得等号，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调减区间为 B. 若有三个不同实数根，，，则 C. 若恒成立，则实数的取值范围是 D. 对任意的，，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，作出函数的图象即可判断；对于B，根据题意结合图象的对称性分析运算即可判断；对于C，根据图象结合图象平移分析运算即可判断；对于D，利用作差法计算证明即可. 【详解】对于A，作出函数的图象，如图1所示： 由图可知，的单调减区间为，但不能用并集符号链接，A错误； 对于B，根据题意作交于3点，并且三点的横坐标分别为， 不妨设，易知关于对称，所以， 又因为，所以，B正确； 对于C，当时，显然不成立，不合题意，舍去； 当时，可以通过向左平移个单位得到，如图2 ，显然不成立，舍去； 当时，可以通过向右平移个单位得到，如图3， 以射线与相切为临界. 即，则， ，解得 ，则， 综上所述，实数的取值范围是，C正确； 对于D，对任意的，则， ，当且仅当时，等号成立， 即，则， ，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的定义域为，则的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，即可求解. 【详解】由于定义域为，故， 所以，解得， 故的定义域为， 故答案为： 13. 已知,若恒成立,则实数k的最大值为 _____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据变形后，利用均值不等式求出的最小值即可求解. 【详解】,, , 当且仅当，即时等号成立. 所以， 即实数k的最大值为8， 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了均值不等式，“1”的变形应用，不等式的恒成立，属于中档题. 14. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数t的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，然后由单调性可知恒成立，利用二次函数性质求解即可. 【详解】， 因为在上单调递增，在上单调递增，且连续， 所以在上单调递增， 所以不等式， 所以对任意，恒成立，即 因为开口向下， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集集合，，． （1）求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，由集合的并、补运算求解即可； （2）通过讨论和即可求解. 【小问1详解】 集合，， ； 【小问2详解】 ，， ①当时，，， ②当时，则，解得， 综上所述，a的取值范围为； 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）求. 【答案】（1） （2） 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）将代入，解出集合，结合交集的性质即可得； （2）根据、、分类讨论解出集合，结合交集的性质即可得. 【小问1详解】 当时，有，即，解得， 故，又，则； 【小问2详解】 当时，有，解得，故， 又，则； 当时，有， 解得或，故， 又，则； 当时，有， 解得，故，又，则； 综上所述：当时，； 当时，. 17. 已知函数． （1）已知，若，求实数取值范围； （2）求在上的最小值； （3）函数的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由可得，即关于的不等式，求解即可； （2）得二次函数的对称轴，然后分，，三种情况分类讨论即可； （3）在（2）的基础上分段讨论函数的最值即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以，解得； 故实数取值范围为. 【小问2详解】 函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在上单调递减，故； 综上所述； 【小问3详解】 由（2）可知 当时，在上单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为； 综上所述的最大值为. 18. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时. （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶. 【答案】（1）；（2）故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元． 【解析】 【分析】（1）由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得．从甲地到乙地所用的时间为小时，可得从甲地到乙地的运输成本：．（2）由（1）得：，利用基本不等式即可得解． 【详解】由题意，每小时的燃料费用为， 当时，，解得 从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本： ， ． 故所求的函数为． （2）由（1）得：，当且仅当，即时取等号． 故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. （1）判断集合是否为封闭集，并说明理由； （2）判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； （3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 【答案】（1）集合是封闭集，不是封闭集，理由为： 对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为，， 所以集合不是封闭集； （2）命题为假命题，命题q为真命题，理由为： 对命题：令， 则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故正确； （3） 证明：假设结论成立，设， 若，矛盾，所以，所以有， 设且，否则， 所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕. 【解析】 【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可； (2) 对命题举反例说明即可； 对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； (3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $