思维拓展第八讲公因数与公倍数（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

最大公因数 共同因数的最大值 应用情境 分组剪段或周期重合 公因数与公倍数 最小公倍数 共同倍数的最小值 余数与反推 凑整除并检验条件 第08讲 公因数与公倍数综合 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 一根长绳剪成相同小段，问每段尽可能多长，是寻找共同的长度单位；几组铃声从同一时刻开始，问何时再次同时响，是寻找共同经过的时间。把“分得开”与“等得到”区分清楚，才能决定用公因数还是公倍数。图中每小格是个单位时间，甲每格一次、乙每格一次。 知识梳理 最大公因数取各数共同含有的质因数，次数取少的；最小公倍数把需要的质因数补齐，次数取多的。 两个正整数的乘积，等于最大公因数与最小公倍数的乘积。这一公式针对两个数，不能不加检查地套到三个数。 若最大公因数为，可把两数写成，其中互质。此时最小公倍数为。 处理周期时，先说明开始那次算不算、结束时刻包不包括。处理环形布点时，起点与终点是同一点，不能重复计数。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 求与的最大公因数和最小公倍数。 跟踪1 【模拟练习】 求的最大公因数和最小公倍数。 例2 【模拟练习】 两个正整数的最大公因数为、最小公倍数为，求全部不计顺序的数对。 跟踪2 【模拟练习】 两个正整数的最大公因数是，最小公倍数是，其中一个数是，另一个数是多少？ 例3 【模拟练习】 长厘米、厘米的两根绳，剪成相同长度且每段尽可能长的小段，两根均无剩余。每段长多少？共几段？ 跟踪3 【模拟练习】 长米、宽米的长方形场地边界等距设柱，四角都有柱，柱距为整数米且尽可能大。共需几根柱？ 例4 【模拟练习】 三只铃分别每分钟响一次，上午时同时响。在上午时至中午时之间，同时响多少次？包括时，不包括时。 跟踪4 【模拟练习】 甲组每天、乙组每天活动，今天同时活动。从今天之后算起，第次同日活动是在多少天后？ 例5 【模拟练习】 一个正整数除以余，除以余，这个数最小是多少？ 跟踪5 【模拟练习】 一个大于的正整数，除以和都余，这个数最小是多少？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 求与的最大公因数、最小公倍数及两者之和。 A2 【模拟练习】 两个互质的正整数是否一定都是质数？请举例说明。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 两个正整数乘积为，最大公因数为，求最小公倍数，并给出一组可能的原数。 B2 【模拟练习】 两个正整数的最大公因数为，和为，求所有不计顺序的数对。 B3 【模拟练习】 小华把“两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数”推广到三个数。用检验。 B4 【模拟练习】 甲车从时整开始每隔分钟发车；乙车从时分开始每隔分钟发车。两车第一次同时发车是几点？ B5 【模拟练习】 两个正整数的和为，最大公因数为。求所有不计顺序的数对。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 求最小正整数，除以余，除以余，除以余。 C2 【模拟练习】 最小的完全平方数，同时是的倍数，它是多少？ C3 【模拟练习】 一个正整数与的最大公因数为，最小公倍数为。求这个正整数并检验。 真题拓展 真题1 【真题改编】 三条长分别为、、厘米的彩带，要剪成长度相同且尽可能长的小段，每条都正好剪完。每小段长多少厘米？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 公因数与公倍数综合 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 求与的最大公因数和最小公倍数。 解析：，，最大公因数为，最小公倍数为。 跟踪1 【模拟练习】 求的最大公因数和最小公倍数。 解析：三数最大公因数为，最小公倍数为。 例2 【模拟练习】 两个正整数的最大公因数为、最小公倍数为，求全部不计顺序的数对。 解析：提出后，两数变成互质的，且。互质因数对为与，原数对为；的最大公因数为，不能选。 跟踪2 【模拟练习】 两个正整数的最大公因数是，最小公倍数是，其中一个数是，另一个数是多少？ 解析：两数乘积等于最大公因数与最小公倍数的乘积，另一个数为。验算与的最大公因数为，最小公倍数为。 例3 【模拟练习】 长厘米、厘米的两根绳，剪成相同长度且每段尽可能长的小段，两根均无剩余。每段长多少？共几段？ 解析：每段长为两长度最大公因数厘米。共段。 跟踪3 【模拟练习】 长米、宽米的长方形场地边界等距设柱，四角都有柱，柱距为整数米且尽可能大。共需几根柱？ 解析：最大柱距为与的最大公因数米。周长米，闭合一周共根柱，不再加。 例4 【模拟练习】 三只铃分别每分钟响一次，上午时同时响。在上午时至中午时之间，同时响多少次？包括时，不包括时。 解析：共同周期为最小公倍数分钟。相对开始的时刻为分钟，共次。 跟踪4 【模拟练习】 甲组每天、乙组每天活动，今天同时活动。从今天之后算起，第次同日活动是在多少天后？ 解析：共同周期天，今天之后第次在天后。 例5 【模拟练习】 一个正整数除以余，除以余，这个数最小是多少？ 解析：这个数加后是与的公倍数。与的最小公倍数为，所以最小为。 跟踪5 【模拟练习】 一个大于的正整数，除以和都余，这个数最小是多少？ 解析：这个数减后是与的公倍数。它大于，故减后的最小可能值是，原数为。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 求与的最大公因数、最小公倍数及两者之和。 解析：分别为、，和为。 A2 【模拟练习】 两个互质的正整数是否一定都是质数？请举例说明。 解析：不一定，例如与互质，却都是合数。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 两个正整数乘积为，最大公因数为，求最小公倍数，并给出一组可能的原数。 解析：最小公倍数为；可取与，两数确实满足。 B2 【模拟练习】 两个正整数的最大公因数为，和为，求所有不计顺序的数对。 解析：提出后，两数互质且和为，可为，因此原数对为。 B3 【模拟练习】 小华把“两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数”推广到三个数。用检验。 解析：三数最大公因数为，最小公倍数为，乘积却是，与不同，不能这样推广。 B4 【模拟练习】 甲车从时整开始每隔分钟发车；乙车从时分开始每隔分钟发车。两车第一次同时发车是几点？ 解析：甲车时以后的发车时刻为分钟；乙车从时起为分钟。第一次相同为分钟，所以是时分。 B5 【模拟练习】 两个正整数的和为，最大公因数为。求所有不计顺序的数对。 解析：把两数分别除以，得到两个互质正整数，和为。不计顺序的互质数对是，因此原数对为。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 求最小正整数，除以余，除以余，除以余。 解析：每种情况都差凑成整除，所以原数加为的公倍数。最小公倍数为，原数为。 C2 【模拟练习】 最小的完全平方数，同时是的倍数，它是多少？ 解析：。要使各质因数指数都是偶数，至少还要乘，所以最小为。 C3 【模拟练习】 一个正整数与的最大公因数为，最小公倍数为。求这个正整数并检验。 解析：由两数之积等于最大公因数与最小公倍数之积，原数为。和的最大公因数为，最小公倍数为，符合。 真题拓展 真题1 【真题改编】 三条长分别为、、厘米的彩带，要剪成长度相同且尽可能长的小段，每条都正好剪完。每小段长多少厘米？ 解析：先求和的最大公因数：，而，故为。再算，，所以三数的最大公因数为，每小段长厘米。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $