思维拓展第十讲不定方程初步（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

明确范围 正整数还是非负整数 有序列举 逐一检验防止遗漏 限制取值 利用奇偶、余数和大小 不定方程初步 变形成积 因数配对并检查顺序 第10讲 不定方程初步 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 的正整数有序解有多少组？若改成非负整数呢？ 解析：正整数时可取至，共组；非负整数时可取至，共组。每个唯一对应一个。 跟踪1 【模拟练习】 ，要求均为正整数且，有多少组？ 解析：在正整数解中筛选，只有，共组；不满足严格小于。 例2 【模拟练习】 求的所有非负整数解。 解析：由奇偶性，为偶数，且不超过。依次取，得到。 跟踪2 【模拟练习】 求的所有正整数解。 解析：看除以的余数，须为的倍数；又，所以，，仅一组。 例3 【模拟练习】 元和元商品两种都买，共花元，写出所有买法。 解析：设件数分别为，。除以余且，所以或，相应或，得到两种买法。 跟踪3 【模拟练习】 元和元商品两种都买，共花元，求各买几件。 解析：，看除以的余数，除以余；又，所以，。 例4 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 解析：因两项都为正，都大于。通分得，两边补，得。正因数配对为，所以。 跟踪4 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 解析：通分并配方，得。由于，取正因数对，得到；不符合。 例5 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 解析：两边加，得到。因均为正整数，且，因数对可为，所以。 跟踪5 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 解析：两边加得。符合要求的因数对为，因此。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 的非负整数有序解有多少组？ 解析：可取至，共种，每个对应唯一的。 A2 【模拟练习】 有没有整数解？ 解析：没有。左边无论怎样取整数都是偶数，不可能等于奇数。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 求的所有正整数解。 解析：看除以的余数，是的倍数，且，故或。分别得。 B2 【模拟练习】 的非负整数有序解有多少组？ 解析：固定后，的选法依次为种，共组。按分类不重复也不遗漏。 B3 【模拟练习】 元、元、元硬币共枚，总面值元，三种都有。各有几枚？ 解析：设三种数量为，两式相减得。为正且也为正，只需试；前者使为负，不行；后者得。因此分别为枚。 B4 【模拟练习】 一个三位数的各位数字之和是，百位数字是个位数字的倍。求所有这样的三位数。 解析：设个位为，百位为，十位为。由数字范围得，三位数依次为。 B5 【模拟练习】 正整数满足且。求所有有序数对。 解析：是偶数，因此是偶数；由得，所以只可能为。逐一计算并筛选，得到和。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 只有元券和元券，每种可用任意非负整数张。不能恰好凑出的正整数金额中，最大的是多少元？ 解析：元无法凑出；、、均可凑出。在这三个连续金额上不断加，可覆盖所有更大整数，所以最大为元。 C2 【模拟练习】 求的所有正整数有序解。 解析：，故，只能。于是；由奇偶性为偶数，且，只能，得到。唯一解为。 C3 【模拟练习】 只用元券和元券，每种可用任意非负整数张。不能恰好凑出的正整数金额中，最大的是多少元？ 解析：不能凑出：若，则；按除以的余数检查，须有除以余，矛盾。另一方面，，，，，，，。这七个连续金额都能凑出，不断加即可得到所有更大的整数，所以最大为元。 真题拓展 真题1 【真题改编】 甲商品每件元，乙商品每件元。每名学生至少买一件，花费都小于元；任意两人的购买数量组合不同，其中有人只买一种，也有人两种都买。最多有多少名学生？ 解析：按乙商品件数分类。买件乙时，甲可买至件，有种；买件乙时，甲可买至件，有种；买件乙时，甲可买至件，有种；买件乙时，甲可买或件，有种。共种，每种安排一名学生即可达到，所以最多人。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 不定方程初步 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 买两种商品，只给总价时，可能不止一种买法。若题目又说“两种都买”或“允许某一种不买”，答案还会改变。本讲先说清整数的取值范围，再用奇偶、整除和有序列表缩小选择，最后把找到的每组数放回情境检验。 知识梳理 正整数从开始，非负整数还包括。解写成有序数对时，第一数和第二数有各自含义，不能随意交换。 先根据总量给一个未知数定范围，再利用奇偶性或余数限制步长；每选定一个数，另一个数就能算出来。 求所有解要说明为什么没有遗漏。常见办法是从最小允许值出发，按固定步长逐个检查到最大允许值。 有些分数等式可先乘共同分母，再在两边补上同一个数，凑成两个整数的乘积。这时可用约数配对列出全部可能。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 的正整数有序解有多少组？若改成非负整数呢？ 跟踪1 【模拟练习】 ，要求均为正整数且，有多少组？ 例2 【模拟练习】 求的所有非负整数解。 跟踪2 【模拟练习】 求的所有正整数解。 例3 【模拟练习】 元和元商品两种都买，共花元，写出所有买法。 跟踪3 【模拟练习】 元和元商品两种都买，共花元，求各买几件。 例4 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 跟踪4 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 例5 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 跟踪5 【模拟练习】 求正整数，使，并要求。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 的非负整数有序解有多少组？ A2 【模拟练习】 有没有整数解？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 求的所有正整数解。 B2 【模拟练习】 的非负整数有序解有多少组？ B3 【模拟练习】 元、元、元硬币共枚，总面值元，三种都有。各有几枚？ B4 【模拟练习】 一个三位数的各位数字之和是，百位数字是个位数字的倍。求所有这样的三位数。 B5 【模拟练习】 正整数满足且。求所有有序数对。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 只有元券和元券，每种可用任意非负整数张。不能恰好凑出的正整数金额中，最大的是多少元？ C2 【模拟练习】 求的所有正整数有序解。 C3 【模拟练习】 只用元券和元券，每种可用任意非负整数张。不能恰好凑出的正整数金额中，最大的是多少元？ 真题拓展 真题1 【真题改编】 甲商品每件元，乙商品每件元。每名学生至少买一件，花费都小于元；任意两人的购买数量组合不同，其中有人只买一种，也有人两种都买。最多有多少名学生？ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $