思维拓展第七讲约数个数与约数和（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学苏教版

第07讲 约数个数与约数和 解析 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 求的约数个数。 解析：，选法数为。 跟踪1 【模拟练习】 的正约数中，奇数约数共有多少个？ 解析：。奇约数不含因数，可从的指数和的指数中选择，共个。 例2 【模拟练习】 求的所有约数之和。 解析：，约数和为。 跟踪2 【模拟练习】 求除自身以外所有正约数的和。 解析：，全部约数的和为。去掉，得到。 例3 【模拟练习】 某正整数的约数个数是奇数，它的平方根是否一定为整数？ 解析：一定。否则约数全成两两不同的配对，个数必为偶数；个数为奇数说明有约数与自身相乘等于原数。 跟踪3 【模拟练习】 小于、恰有个约数的正整数有哪些？ 解析：恰有个约数的数是质数的平方。小于的质数为，所求为。 例4 【模拟练习】 ，其中为正整数，且恰有个约数，求。 解析：，得，所以。 跟踪4 【模拟练习】 ，均为正整数，且有个约数，求最小的。 解析：，指数对为；对应，最小为。 例5 【模拟练习】 的正约数中，有多少个是的倍数？ 解析：。是的倍数时，因数的指数可选，因数的指数可选，因此共有个。 跟踪5 【模拟练习】 的正约数中，有多少个是的倍数？ 解析：，而。满足条件时，的指数只能选，的指数可选，的指数可选，共个。 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 把的所有约数相加，但不算本身，和是否仍等于？ 解析：其余约数为，和为。这样的数称为完全数。 A2 【模拟练习】 一个正整数恰有个约数，它是多少？是质数吗？ 解析：只能是；质数须恰有两个正约数，因此它不是质数。 B组 综合运用 B1 【模拟练习】 的约数中，有多少个完全平方数？ 解析：平方约数的各质因数指数必须为偶数。因数可选指数，因数可选，因数只能选，共个，为。 B2 【模拟练习】 的约数中，有多少个偶数？ 解析：。偶约数中的指数可选，其他两种质因数各有种选法，共个。 B3 【模拟练习】 质数的平方的全部约数之和为，求。 解析：。试相邻的质数，时和，时和；更大的质数使和更大，故。 B4 【模拟练习】 的正约数中，既是奇数又不是的倍数的约数有几个？ 解析：。所求约数不含因数和，只可选择是否含因数，即和，共有个。 B5 【模拟练习】 正整数满足且的最大公因数是。有多少组有序数对？ 解析：。要使两数互质，同一种质因数必须全部分给其中一个数。因数和各有种分配方式，共组有序数对。 C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 最小的恰有个约数的正整数是多少？ 解析：把拆成大于的因数乘积，可为、、。原数分别为、、，最小候选为，所以最小是。 C2 【模拟练习】 一个完全平方数恰有个正约数，求满足条件的最小正整数。 解析：完全平方数的质因数指数都是偶数。或，相应指数形式为或。最小候选分别为和，所以最小为。 C3 【模拟练习】 一个正整数的所有正约数之和为，求所有符合条件的数。 解析：若原数大于，其约数至少包括和它本身，所以原数不超过。逐一检查至，只有的约数和，以及的约数和。因此为或。 真题拓展 真题1 【真题改编】 自然数有个约数，有个约数，有个约数。求的最小值。 解析：乘使约数个数恰好翻倍，说明不含质因数。设的指数为，其他质因数贡献的选法数为，则、，相减得、。其他质因数只能有一个，指数为；选最小可用质数，得。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 约数个数与约数和 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 知识思维导图 情境探路 制作一张整除表时，同一个数可以按不同约数平均分组。把约数全部写出来适合小数，遇到较大的数就容易漏。分解质因数后，每个约数都对应一次“每种质因数选几个”的决定；这些选择还能帮助求约数和、筛选平方约数和倒推原数。图中把的约数排成方阵：每向右一格乘，每向下一格乘。 知识梳理 若，其中为不同质数，则约数中可选至个、可选至个，共种。本讲约数都指正约数。 约数和可把各质因数的幂次和相乘。例如，约数和为；展开后每个约数恰出现一次。 通常约数两两配对，只有原数是完全平方数时，有一个约数与自己配对，因此约数个数为奇数。 反求原数时，把约数个数拆成若干个大于的因数，再分别确定质因数的指数；还要比较不同的质因数分配，才能确定最小值。 例题与跟踪练习 例1 【模拟练习】 求的约数个数。 跟踪1 【模拟练习】 的正约数中，奇数约数共有多少个？ 例2 【模拟练习】 求的所有约数之和。 跟踪2 【模拟练习】 求除自身以外所有正约数的和。 例3 【模拟练习】 某正整数的约数个数是奇数，它的平方根是否一定为整数？ 跟踪3 【模拟练习】 小于、恰有个约数的正整数有哪些？ 例4 【模拟练习】 ，其中为正整数，且恰有个约数，求。 跟踪4 【模拟练习】 ，均为正整数，且有个约数，求最小的。 例5 【模拟练习】 的正约数中，有多少个是的倍数？ 跟踪5 【模拟练习】 的正约数中，有多少个是的倍数？ 分层训练 A组 基础巩固 A1 【模拟练习】 把的所有约数相加，但不算本身，和是否仍等于？ A2 【模拟练习】 一个正整数恰有个约数，它是多少？是质数吗？ B组 综合运用 B1 【模拟练习】 的约数中，有多少个完全平方数？ B2 【模拟练习】 的约数中，有多少个偶数？ B3 【模拟练习】 质数的平方的全部约数之和为，求。 B4 【模拟练习】 的正约数中，既是奇数又不是的倍数的约数有几个？ B5 【模拟练习】 正整数满足且的最大公因数是。有多少组有序数对？ C组 挑战思考 C1 【模拟练习】 最小的恰有个约数的正整数是多少？ C2 【模拟练习】 一个完全平方数恰有个正约数，求满足条件的最小正整数。 C3 【模拟练习】 一个正整数的所有正约数之和为，求所有符合条件的数。 真题拓展 真题1 【真题改编】 自然数有个约数，有个约数，有个约数。求的最小值。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $质因数分解 逐个选择每种质因数的指数 约数和 各质因数幂的和再相乘 约数个数与和 约数个数 各指数加一后相乘 约数条件 结合奇偶、平方与倍数筛选