专题1：小数乘法和除法（二）（思维拓展）-苏教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题一 小数乘法和除法（二） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：小数乘小数的算理与笔算（进阶推理） 3 考点二：积的近似值与最值范围（进阶应用） 5 考点三：一个数除以小数的算理与笔算（算理强化・奥数题型） 6 考点四：商的近似值与实际取整策略（思维拓展） 8 考点五：循环小数与规律探究（思维拓展・奥数题型） 9 第三部分 易错避坑指南 11 易错点 1：积的小数位数不足时，遗漏补 0 占位 11 易错点 2：除数小数点右移，被除数不同步移动 11 易错点 3：实际问题取整方法混淆，进一法去尾法混用 11 易错点 4：循环小数循环节判断错误，周期计数偏差 12 易错点 5：积商与原数的大小关系判断不清 12 第四部分 分层进阶专题精练 13 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 13 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 15 一、能力进阶篇解析 15 二、思维拓展篇解析 18 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应苏教版六年级上册第一单元核心内容，承接五年级下册小数乘整数、小数除以整数的知识基础，以“算理迁移→算法建构→近似策略→规律探究→实践应用” 为主线，系统覆盖小数乘小数算理与笔算、积的近似值、一个数除以小数算理与笔算、商的近似值、有限与循环小数、积商变化规律六大模块，渗透运算能力、数感、推理意识、应用意识等核心数学素养。 专题遵循 “直观建模→算理推导→算法形成→拓展应用” 的认知路径，借助面积模型与分数意义理解小数乘法的意义（求一个数的几分之几是多少）；借助积的变化规律推导小数乘法计算法则，借助商不变规律推导小数除法计算法则；掌握积与商的近似值取法，能结合实际场景选择合理的取整策略；认识有限小数、无限小数与循环小数，探究运算规律；能运用小数乘除法解决实际问题。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域 “数的运算” 主题要求，与 2024 版苏教版教材进度完全同步，为后续混合运算、比例学习筑牢运算根基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 小数乘小数 求一个数的几分之几的意义；积的小数位数规律；竖式笔算与验算 转化计算法、位数匹配法 位数不够时漏补 0，先去 0 再点小数点 积的近似值 四舍五入法取近似值；积的最值范围；实际估算 四舍五入法、边界分析法 近似值末尾的 0 随意去掉 小数除以小数 商不变规律；小数点同步移动；笔算方法 商不变转化法、对位计算法 除数移几位，被除数移不同位数 商的近似值 四舍五入法；进一法；去尾法；实际场景选择 场景匹配法、策略选择法 不看场景统一用四舍五入 循环小数 有限与无限小数；循环节；周期问题；规律探究 周期计数法、规律归纳法 循环节判断错误，周期计数偏差 积商规律 积与因数的大小关系；商与除数的大小关系；小数点移动变化规律 变化逆推法、规律验证法 变化方向判断混淆 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 转化计算法 小数乘除笔算 ①小数乘小数先按整数乘；②看乘数共几位小数；③积从右往左数位点小数点 ①除数化整数；②被除数同步移；③按整数除法算 乘看小数位，积点对应位 除数先化整，被除数同步移 边界分析法 近似值最值问题 ①确定近似值的四舍五入边界；②最大对应四舍情况；③最小对应五入情况 最大看四舍，最小看五入 商不变转化法 小数除法计算 ①看除数小数位数；②除数被除数同时右移相同位数；③按整数除法计算 除数化整数，同步移小数点 周期计数法 循环小数数位问题 ①找出循环节确定周期；②总数除以周期看余数；③余几对应第几位 找周期，算余数，对应位 错中逆推法 看错小数点问题 ①分析看错后的倍数变化；②根据错误结果逆推原数；③计算正确结果 看变化，逆推原，算正确 三、数学思维提升 1. 转化迁移思维 核心要点：小数乘除法都可以转化成整数乘除法计算，把新知识转化成旧知识解决，这是运算学习的核心思维方法。转化前后结果的变化规律，是调整得到正确结果的关键。 专题示例：小数乘小数先按整数乘法算出积，两个乘数一共扩大了多少倍，积就要缩小到原来的几分之一；除数是小数的除法，除数和被除数同时扩大相同倍数，商不变，都是转化思想的应用。 2. 近似优化思维 核心要点：很多实际问题不需要精确结果，根据实际需求选择合适的方法取近似值，既能满足需要，又简便高效。不同的场景对应不同的取整策略，体现了灵活解决问题的优化意识。 专题示例：装油需要油壶，哪怕剩一点油也需要多一个瓶子，用进一法；做衣服布料不够做一件就舍去，用去尾法，不同场景用不同策略。 3. 规律探究思维 核心要点：通过计算一组算式，观察积、商的变化规律，或者循环小数的周期规律，经历 “计算→观察→猜想→验证→结论” 的过程，培养归纳推理能力。 专题示例：计算、、…… 观察商的规律，就能归纳出几除以 9 的商的特点，这就是规律探究的过程。 4. 错中逆推思维 核心要点：计算中看错小数点、数字出错时，不用重新计算，通过分析错误与正确结果之间的倍数关系，逆向推导出正确结果，这是奥数中经典的解题思维。 专题示例：小马虎把一个乘数的小数点向右移了一位，积就扩大了 10 倍，错误积除以 10 就是正确的积，不用知道另一个乘数也能求解。 5. 建模应用思维 核心要点：生活中的归一问题、工程问题、分段问题等，都可以用小数乘除法建立模型解决。把实际问题转化成数学模型，用运算解决问题，体现数学的应用价值。 专题示例：路程、速度、时间的关系，总价、单价、数量的关系，都可以用小数乘除法建立模型，解决各类实际问题。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：小数乘小数的算理与笔算（进阶推理） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础笔算与算理 题目：一块长方形胡萝卜地长 2.4 米、宽 1.6 米，这块菜地的面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 单位转化验证：2.4 米 = 24 分米，1.6 米 = 16 分米 （平方分米）= 3.84 平方米 ② 分数算理推导： ③ 竖式笔算：先按整数乘法计算，两个乘数一共有两位小数，从积的右边数出两位点上小数点，得 3.84。 【答案】3.84 平方米 【知识点睛】本题考查小数乘小数的算理与笔算方法，是本单元的核心基础。小数乘小数的核心思想是 “先转化为整数乘法，再还原小数点位置”。 解题时要遵循三步法：第一，先不考虑小数点，按整数乘法算出积；第二，统计两个乘数中一共有几位小数；第三，从积的右边起数出对应位数，点上小数点。 算理本质是积的变化规律：两个乘数分别扩大 10 倍，积就扩大 100 倍，所以最终积要缩小到原来的百分之一。 特别注意：当积的小数位数不够时，要在前面用 0 补足，再点小数点；如果积的末尾有 0，要先点小数点，再去掉末尾的 0，顺序不能颠倒。 典型例题 2（思维拓展型）—— 错中求解（奥数题型） 题目：小马虎计算一道小数乘法时，把其中一个乘数 2.5 的小数点看丢了，结果得到的积是 75。正确的积应该是多少？ 解题步骤： ① 分析看错的变化：把 2.5 的小数点看丢，看成了 25，乘数扩大到原来的 10 倍； ② 分析积的变化：一个乘数扩大 10 倍，另一个乘数不变，积也扩大到原来的 10 倍； ③ 逆推正确结果：错误的积是扩大 10 倍后的结果，正确的积要缩小到错误积的十分之一， 。 【答案】7.5 【知识点睛】本题是小数乘法中的经典 “错中求解” 奥数题型，考查积的变化规律的逆向应用。 解题核心不是硬求另一个乘数，而是先分析看错前后乘数发生了怎样的倍数变化，再根据积的变化规律还原正确结果。 积的变化规律可以概括为：一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几；一个乘数不变，另一个乘数除以几，积也除以几。因此，当乘数的小数点被向右看错一位时，乘数扩大 10 倍，积也扩大 10 倍；要得到正确结果，就需要把错误积除以 10。 这类题还可以进一步拓展到两个乘数都看错小数点的情况。解题时要分别分析每个乘数的变化倍数，再把两个倍数相乘，得到积的总变化倍数，最后逆向还原。这类题能训练学生的逆向推理能力，是小学奥数中常见的思维训练题型。 考点二：积的近似值与最值范围（进阶应用） 典型例题 1（能力进阶型）—— 四舍五入求近似值 题目：苹果每千克 6.25 元，购买 1.5 千克苹果，要付多少元？（得数保留两位小数） 解题步骤： ① 先列乘法算式计算总价：单价 × 数量 = 总价 （元） ② 按要求保留两位小数，看千分位数字：千分位是 5，根据四舍五入法，向百分位进 1； ③ 得出近似结果：（元）。 【答案】9.38 元 【知识点睛】本题考查用四舍五入法求积的近似值，是实际应用的基础题型。 求积的近似值的通用步骤：先精确计算出完整的积，再看需要保留的小数位数，多看一位，小于 5 就舍去，大于等于 5 就向前一位进 1。 特别注意：表示钱数时，通常保留两位小数，对应人民币的 “分”；近似值末尾的 0 不能去掉，它代表了精确度，比如 2.0 和 2 精确度不同，末尾的 0 起到占位和表示精度的作用。 典型例题 2（思维拓展型）—— 积的最值范围（奥数题型） 题目：一个两位小数乘 3.2，积保留一位小数是 9.6。这个两位小数最大是多少？最小是多少？ 解题步骤： ① 分析近似值的边界：积保留一位小数是 9.6，有两种情况： “四舍” 得到 9.6：积最大是 9.64，百分位的 4 舍去，此时积最大； “五入” 得到 9.6：积最小是 9.55，百分位的 5 进 1，此时积最小； ② 求最大的两位小数：积最大时，对应的乘数最大，，因为是两位小数，取 3.01； 验证：，符合要求； ③ 求最小的两位小数：积最小时，对应的乘数最小，，两位小数取 2.99； 验证：，符合要求。 【答案】最大是 3.01，最小是 2.99 【知识点睛】本题是积的近似值的最值问题，属于奥数经典题型。解题关键是逆向思考近似值的两种情况：“四舍” 得到的近似值比准确值小，对应最大值；“五入” 得到的近似值比准确值大，对应最小值。 这类题的通用解题步骤：先根据近似值确定积的最大和最小值，再分别除以已知乘数，根据题目要求的位数取数，最后正向验证。 这类题能很好地培养逆向思维与严谨性，是近似值部分的高阶拓展题型。解题时要注意，最大值和最小值对应的是积的边界，再反推乘数，不能直接用近似值除以乘数。 考点三：一个数除以小数的算理与笔算（算理强化・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 基础笔算与商不变规律 题目：一根绿彩带长 1.2 米，每 0.24 米剪一段，可以剪成多少段？ 解题步骤： ① 单位转化验证：1.2 米 = 120 厘米，0.24 米 = 24 厘米 （段） ② 商不变规律推导：把除数转化成整数，除数 0.24 扩大 100 倍变成 24，被除数 1.2 也要同时扩大 100 倍变成 120，商不变； ③ 竖式笔算：先把除数的小数点向右移动两位变成整数，被除数的小数点也向右移动两位，位数不够补 0，再按整数除法计算。 【答案】5 段 【知识点睛】本题考查除数是小数的除法算理与笔算，是本单元的重难点。核心原理是商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。 笔算三步法：一看，看除数有几位小数；二移，除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，除数变成整数，被除数位数不够补 0；三算，按照除数是整数的除法计算。 特别注意：被除数小数点移动的位数和除数必须相同，不能除数移两位、被除数只移一位，这是高频易错点。 典型例题 2（思维拓展型）—— 商的变化规律（奥数题型） 题目：计算时，如果被除数扩大到原来的 10 倍，除数缩小到原来的，商会怎么变化？新的商是多少？ 解题步骤： ① 先算原来的商： ② 分析变化对商的影响： 被除数扩大 10 倍，商就扩大 10 倍； 除数缩小到原来的，商反而扩大 10 倍； ③ 总变化：商一共扩大倍； 新的商：。 【答案】商会扩大到原来的 100 倍，新的商是 1500 【知识点睛】本题考查商的变化规律的综合应用，是奥数高频考点。 核心规律可以总结为两点：第一，被除数扩大 / 缩小几倍，商就扩大 / 缩小相同倍数；第二，除数扩大 / 缩小几倍，商反而缩小 / 扩大相同倍数。 解题技巧：分别分析被除数和除数对商的影响，再把两个倍数相乘，就是商的总变化倍数。这类题不用一步步计算，通过规律就能快速判断商的变化，能很好地培养推理能力。 拓展：如果被除数和除数同时变化，要注意方向，同向变化看哪个倍数大，反向变化倍数相乘。 考点四：商的近似值与实际取整策略（思维拓展） 典型例题 1（能力进阶型）—— 四舍五入求商的近似值 题目：海狮的游速是 40 千米 / 时，它的游速大约是多少米 / 分？（得数保留两位小数） 解题步骤： ① 统一单位：40 千米 = 40000 米，1 时 = 60 分 ② 计算每分钟游速：40000÷60≈666.67（米 / 分） ③ 验证：保留两位小数，除到第三位小数，第三位是 6，向前一位进 1，结果约 666.67。 答：大约是 666.67 米 / 分 【答案】大约是 66.67 米 / 分 【知识点睛】本题考查用四舍五入法求商的近似值。 求商的近似值时，一般先除到比需要保留的位数多一位，再用四舍五入法取结果。 注意：单位换算时先确认进率，千米与米的进率是 1000，避免进率记错导致结果错误。 典型例题 2（思维拓展型）—— 进一法与去尾法辨析 题目：根据实际情况选择合适的取整方法，并列式解答。 （1）每个油壶可以装 3 千克油，装 40 千克油至少需要多少个油壶？ （2）每套衣服用布 2.2 米，30 米布最多可以做多少套这样的衣服？ 解题步骤： ① 第（1）题： 计算：（个） 分析：13 个油壶只能装 39 千克，还剩 1 千克油也需要 1 个油壶，所以用进一法； （个） ② 第（2）题： 计算：（套） 分析：做 13 套后剩下的布不够再做一套，所以用去尾法，直接舍去小数部分； 得 13 套。 【答案】（1）至少需要 14 个油壶，用进一法；（2）最多可以做 13 套，用去尾法。 【知识点睛】本题考查商的近似值的实际应用，辨析进一法和去尾法的适用场景。 · 进一法：不管小数部分是多少，都向整数部分进 1，适用于装东西、运货物、租车等场景，有剩余就必须多一个单位。 · 去尾法：不管小数部分是多少，都直接舍去，适用于做衣服、买东西、裁布料等场景，有剩余不够一份就舍去。 · 解题关键是结合实际场景判断，不能一概用四舍五入法，体现了数学的实用性。判断时可以结合生活常识：装东西只能多不能少，做东西只能少不能多。 考点五：循环小数与规律探究（思维拓展・奥数题型） 典型例题 1（能力进阶型）—— 循环小数周期问题（奥数题型） 题目：计算的商，它的循环节是什么？商的小数点后面第 50 位数字是多少？ 解题步骤： ① 计算商： ② 确定循环节：重复出现的数字是 “09”，所以循环节是 09，周期长度是 2； ③ 计算第 50 位：（组），没有余数，说明正好是第 25 组的最后一个数字； 每组的第二个数字是 9，所以第 50 位数字是 9。 【答案】循环节是 09；小数点后面第 50 位数字是 9。 【知识点睛】本题考查循环小数的认识与周期问题，是奥数经典题型。 解决这类题的第一步是正确识别循环节，循环节是小数部分中依次不断重复出现的最短数字组。第二步是确定周期长度，也就是循环节包含几个数字。第三步是用 “总位数 ÷ 周期长度” 判断余数，根据余数找到对应位置上的数字。 周期问题的通用判断方法：余 1 对应循环节第 1 个数字，余 2 对应循环节第 2 个数字，以此类推；如果没有余数，就对应循环节最后一个数字。 这类题常见错误是把循环节判断过长，或者把周期数错。例如，把的循环节误认为是 0909，实际上最短重复片段是 09。此外，还要注意区分 “小数点后第几位” 和 “循环节中第几个数字”，两者不能混淆。 典型例题 2（思维拓展型）—— 循环小数规律探究 题目：先计算下面各题，找规律，再直接写出后面算式的得数。 　　　　 　　　　 解题步骤： ① 逐个计算： ② 观察规律：几除以 9，商就是零点几的循环，循环节就是被除数； ③ 根据规律直接写出： 【答案】规律：一个一位数除以 9（9 除外），商就是循环节为这个数的纯循环小数。 得数依次是、、、、、。 【知识点睛】本题考查循环小数的规律探究，经历 “计算→观察→归纳→应用” 的完整过程。 通过计算发现规律，再用规律直接写结果，体现了归纳推理的价值。这类题的核心是从特殊到一般，通过几个具体例子归纳出普遍规律。 拓展：99、999 做除数也有类似的规律，几除以 99，商就是两位循环的零点零几，这是数学中很有趣的数字规律。 补充概念：小数部分位数有限的叫有限小数，小数部分位数无限的叫无限小数；循环小数是无限小数的一种，无限小数还包括无限不循环小数。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：积的小数位数不足时，遗漏补 0 占位 错误示例：计算，算完整数乘法得 6，直接点小数点得 0.6，小数位数不够没有补 0。 正确分析：两个乘数一共有两位小数，积应该有两位小数，位数不够要在前面补 0，正确结果是 0.06。 修正方法：点小数点前先数两个乘数的小数位数之和，积的小数位数要和它相等；位数不够时，在积的左边补 0，补够位数再点小数点。 易错点 2：除数小数点右移，被除数不同步移动 错误示例：计算，除数小数点右移两位变成 24，被除数只右移一位变成 12，导致结果错误。 正确分析：根据商不变规律，除数和被除数的小数点必须向右移动相同的位数，除数移几位，被除数就移几位。 修正方法：计算除数是小数的除法，先看除数有几位小数，就先把除数的小数点右移几位，再把被除数的小数点也右移相同位数，位数不够补 0，再开始计算。 易错点 3：实际问题取整方法混淆，进一法去尾法混用 错误示例：做衣服的问题用进一法，装油的问题用去尾法，和实际场景不符。 正确分析：装东西、运东西，有剩余就必须多一个，用进一法；做物品、买东西，不够一份就舍去，用去尾法。 修正方法：解题时先思考场景：“至少需要” 一般用进一法，“最多可以” 一般用去尾法；结合实际意义判断，结果要符合生活常识。 易错点 4：循环小数循环节判断错误，周期计数偏差 错误示例：的循环节当成 1231，或者周期数错算成 4 位。 正确分析：循环节是依次不断重复出现的最短的数字组，123 依次重复，循环节就是 123，周期是 3。 修正方法：找循环节时，观察小数部分从哪一位开始重复，重复的最短片段就是循环节；周期数就是循环节的数字个数。 易错点 5：积商与原数的大小关系判断不清 错误示例：认为一个数乘小数，积一定比原数小；一个数除以小数，商一定比原数大。 正确分析：一个数乘大于 1 的数，积比原数大；乘小于 1 的数，积比原数小。 一个数除以大于 1 的数，商比原数小；除以小于 1 的数（0 除外），商比原数大。 修正方法：判断时先看乘数或除数是大于 1 还是小于 1，再根据规律判断大小，不要一概而论。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，8 题） 1. 直接写出得数。 　　 　 　 2. 笔算： 3. 笔算： 4. 填空：的积有（ ）位小数；的商的最高位在（ ）位。 5. 判断：循环小数一定是无限小数，无限小数也一定是循环小数。（ ） 6. 每个礼盒需要 0.8 米彩带，10 米彩带最多可以做多少个这样的礼盒？ 7. 计算，得数保留一位小数。 8. 已知，商的小数点后面第 20 位数字是（ ）。 二、思维拓展篇（难度★★★★，4 题） 9. 小马虎计算一道除法题时，把除数 0.36 的小数点看丢了，得到的商是 2.4。正确的商应该是多少？ 10. 一个两位小数乘 1.8，积保留一位小数是 6.0。这个两位小数最大是多少？最小是多少？ 11. 先找规律，再直接写出得数。 　　 　 　 　 12. 一根绳子对折 3 次后，每段长 0.45 米。这根绳子原来长多少米？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】 0.56；60；0.096 【解题步骤】 ① ：先算，两个乘数共有两位小数，从右数两位点小数点，得 0.56； ② ：除数被除数同时扩大 100 倍，转化为； ③ ：先算，两个乘数共有三位小数，位数不够补 0，得 0.096。 【知识点睛】本题考查小数乘除口算，分别运用积的小数位数规律和商不变规律。 小数乘法口算技巧：先按整数乘法口算，再数小数位数点小数点。小数除法口算技巧：利用商不变规律，把除数化成整数再口算。 易错提醒：第三题容易错算成 0.96，要注意两个乘数共有三位小数，积的位数不够时要补 0 占位。 2. 【答案】 2.87 【解题步骤】 ① 先按整数乘法计算：； ② 确定小数位数：2.05 有两位小数，1.4 有一位小数，一共有三位小数； ③ 从积的右边数出三位点上小数点，得 2.870，化简为 2.87。 【知识点睛】本题考查小数乘小数的竖式笔算。解题遵循 “先整数乘，再点小数点” 的步骤。 注意：积的末尾有 0 时，要先点小数点，再去掉末尾的 0，不能先去 0 再点小数点。计算完成后可以用估算检验：2 乘 1.4 是 2.8，0.05 乘 1.4 是 0.07，合起来 2.87，结果合理。 3. 【答案】 1.2 【解题步骤】 ① 移动小数点：除数 0.56 有两位小数，除数和被除数的小数点同时向右移动两位，转化为； ② 按整数除法计算：。 【知识点睛】本题考查除数是小数的除法笔算。核心是利用商不变规律，把除数转化为整数再计算。 注意：被除数小数点移动的位数必须和除数相同，不能只移动除数的小数点。计算完成后可以用乘法验算：，和被除数一致，说明结果正确。 4. 【答案】 三；十分 【解题步骤】 ① 积的小数位数：4.3 有一位小数，0.28 有两位小数，1+2=3，所以积有三位小数； ② 商的最高位：0.192÷0.24 转化为 19.2÷24，整数部分 19 小于 24，个位不够商 1，需商 0 占位，所以商的最高位在十分位。 【知识点睛】本题考查积的小数位数判断和商的数位判断。 积的小数位数规律：积的小数位数等于两个乘数的小数位数之和。 商的数位判断：先把除数化成整数，看被除数的整数部分和除数的大小关系，大于等于除数，商的最高位就和被除数的对应位对齐；小于就往后退一位，个位不够商 1 时最高位在十分位。 5. 【答案】 × 【解题步骤】 ① 循环小数的小数部分位数无限，所以循环小数一定是无限小数； ② 无限小数分为循环小数和无限不循环小数，所以无限小数不一定都是循环小数。 【知识点睛】本题考查有限小数、无限小数、循环小数的概念辨析。 三者的关系：小数分为有限小数和无限小数；无限小数又分为循环小数和无限不循环小数。循环小数是无限小数的一种，但无限小数不只有循环小数。 易错提醒：容易误认为无限小数都是循环小数，实际上还有无限不循环小数，比如圆周率 π 就是无限不循环小数。 6. 【答案】 12 个 【解题步骤】 ① 计算理论个数：（个）； ② 结合实际判断：剩下的 0.5 份彩带不够做一个完整的礼盒，所以用去尾法，舍去小数部分，得 12 个。 【知识点睛】本题考查去尾法的实际应用。 解题关键是结合场景判断取整方法：做物品时，不够做一个就舍去，用去尾法，不能用四舍五入。 类似的场景还有裁布料、买东西等，都是只能少不能多，有剩余不够一份就舍去。 7. 【答案】 8.0 【解题步骤】 ① 精确计算：； ② 保留一位小数：写成 8.0，末尾的 0 保留。 【知识点睛】本题考查积的近似值。 注意：近似值末尾的 0 表示精确度，不能省略。8 和 8.0 数值相等，但精确度不同，8 精确到个位，8.0 精确到十分位。题目要求保留一位小数，就必须写成 8.0。 8. 【答案】 4 【解题步骤】 ① 确定循环节：循环节是 142857，周期长度是 6； ② 计算余数：（组）……2（个）； ③ 对应数字：余数是 2，对应循环节的第 2 个数字，也就是 4。 【知识点睛】本题考查循环小数的周期问题。 解题方法：先找循环节确定周期，再用总位数除以周期看余数。余几就对应循环节的第几个数字，没有余数就对应最后一个数字。 易错提醒：容易数错循环节的位数，或者把余数和位置对应错。本题中余数是 2，对应第 2 个数字 4，不是第 1 个数字 1。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】 240 【解题步骤】 ① 分析看错的变化：除数 0.36 的小数点看丢，变成 36，除数扩大到原来的 100 倍； ② 分析商的变化：除数扩大 100 倍，商反而缩小到原来的； ③ 逆推正确的商：错误的商是缩小后的结果，正确的商是错误商的 100 倍，。 【知识点睛】本题是除法中的错中求解问题，考查商的变化规律的逆向应用。 核心规律：除数扩大几倍，商反而缩小几倍；除数缩小几倍，商反而扩大几倍。 解题时先分析除数的变化倍数，再反向变化得到正确的商。这类题和乘法错中求解思路一致，都是先分析变化，再逆向还原，是奥数中经典的错中求解题型。 10. 【答案】 最大是 3.35，最小是 3.31 【解题步骤】 ① 确定积的边界：积保留一位小数是 6.0，“四舍” 时积最大，为 6.04；“五入” 时积最小，为 5.95； ② 求最大两位小数：积最大时乘数最大，，两位小数取 3.35； 验证：，符合要求； ③ 求最小两位小数：积最小时乘数最小，，两位小数取 3.31； 验证：，符合要求。 【知识点睛】本题是积的近似值最值问题，属于奥数进阶题型。 解题关键是逆向思考近似值的两种情况：四舍对应最大值，五入对应最小值。先确定积的最大和最小值，再分别反求乘数。 注意：结果取两位小数时，要考虑第三位小数的取舍，不能直接除完就取两位，要验证是否符合近似要求。 11. 【答案】 ；； 【解题步骤】 ① 观察规律：几除以 99，商就是循环节为两位的循环小数；被除数是一位数时，循环节十位补 0，就是 “0 几”； ② 对应写出： 【知识点睛】本题考查循环小数的规律探究，是 9 做除数规律的拓展。 规律总结：一个数除以 99，商就是循环节为这个数的两位循环小数；如果被除数是一位数，循环节前面补 0。 这类规律探究题的核心是从特殊到一般，通过已知的例子归纳规律，再应用规律解决新的问题，体现归纳推理的数学思想。 12. 【答案】 3.6 米 【解题步骤】 ① 分析对折次数与段数的关系：对折 1 次分成 2 段，对折 2 次分成 4 段，对折 3 次分成段； ② 计算总长度：每段长 0.45 米，总长米。 【知识点睛】本题是小数乘法的折叠问题，属于实际应用类拓展题。 核心规律：对折 n 次，就分成段。总长度 = 每段长度 × 段数。 易错提醒：容易误认为对折 3 次是 6 段，实际上每次对折段数翻倍，是 2 的 n 次方段，不是 n 乘 2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $