第二十九章圆单元检测卷2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章圆单元检测卷 一、单选题（共30分） 1.(本题2分)如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=36°，则∠AOB的度数是（) A.36° B.72° C.64° D.54° 2.(本题2分)如图，OA是⊙O的半径，AB是⊙0O的弦，OC⊥AB于点C,若OA=5,AB=8,则OC的 长为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(本题2分)如图，AB是⊙O的直径，BC=BD.若∠AOC=110°，则∠BOD的度数为() B D A.140° B.70° C.65 D.55° 4.(本题2分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆， 已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O直径长为6米.若点C为运行轨道的最低 点，则点C到弦AB所在直线的距离是（) 试卷第1页（共3页） 水面 A 图1 图2 A.1米 B.2米 C.(3-5)米 D.(3+5米 5.(本题2分)如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E,OB=CD=2,则OE长为（) A.1 B.5 C.2 D.5 6.(本题2分)下列说法中正确的是（) A.长度相等的两条弧是等弧 B.平分弦的直径一定垂直于弦 C.过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 7.(本题2分)如图，点A,B,C,D都在⊙O上，OA⊥BC,∠CDA=30°，则∠AOB的度数为() A.30° B.40° C.50° D.60° 8.(本题2分)下列关于三角形外心的说法中，错误的是（) A.三角形的外心到三个顶点的距离相等 B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C.等腰三角形的外心在三角形内 试卷第1页（共3页） D.任何一个三角形有且只有一个外接圆 9.(本题2分)如图，点A,B,C是⊙O上的三个点，OB=OC=3,∠A=70°，则扇形BOC的面积为( 0。 B A D.2π 10.(本题2分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB、OD.若∠BCD=110°，则∠BOD的度数是（ A D A.70° B.110° C.120° D.140° 11.(本题2分)用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应先假设这个三角形中（ A.内角都不小于60° B.锐角都不大于60° C.内角都小于60° D.锐角都大于60° 12.(本题2分)如图，点A,B,C在⊙O上，点D在AC延长线上.若∠AOB=110°，则∠BCD=( B C D A.35° B.55° C.60° D.70° 试卷第1页（供3页） 13.(本题2分)一个扇形的半径是6，扇形的圆心角150°，那么这个扇形面积是() A.15元 B.10元 C.5π D.2.5元 14.(本题2分)如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根 绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（) A.8V5 B.95 C.10w3 D.63 15.(本题2分)分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形.如 图，等边△ABC的边长为2，则图中阴影部分的面积为（) A.2π-35 B号-5 c. 4π D. 2元+5 二、填空题（共8分） 16.(本题2分)如图，AB是⊙O的直径，∠B=30°，则∠A的度数为 B 17.(本题2分)如图，在⊙0中，AB=CD,∠AOB=40°，则∠COD=° 试卷第1页（共3页） 18.(本题2分)已知一个扇形的面积为12πcm2,圆心角的度数为108°，则它的弧长为. 19.(本题2分)如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，大圆的半径为10，小圆 半径为7.若AB=16,则弦CD的长是 AC万B 三、解答题（共62分） 20.(本题6分)如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC,求证：AB=CD D A 21.(本题6分)如图，在⊙O中，AB=AC,∠A=120°，求∠ABC的度数. 22.(本题7分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD⊥AB,垂足为点E,连接BC,CD=4v5, BE=2,求△ABC的面积. 试卷第1页（供3页） B E D 23.(本题7分)如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，且AD=BC.求证： D B (1)∠AOC=∠BOD; (2)AACD≌ABDC. 24.(本题8分)如图，在△ABC中，∠A=70°，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E. D (1)若AD=CD,求∠C的度数. (2)若DE=BE,求∠C的度数. 25.(本题8分)如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD=BE,C为弧AB上一点，连 接CD、CE、CO,且CD=CE.求证：C为AB的中点. E B 26.(本题8分)如图，四边形ABCD内接于一圆，延长BC到点E. 试卷第1页（共3页） E (1)求证：∠DAB=∠DCE; (2)连接AC、BD,若∠DAB=65°，CD平分∠ACE,求∠ADB的度数. 27.(本题12分)已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线BD是⊙O的直径 D 0 图① 图② (1)如图①，连接OA,CA,若OA⊥BD,求证：CA平分∠BCD; (2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，判断四边形ADCE的形状，并说明理由 四、解答题 试卷第1页（供3页） 《第二十九章圆单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 5 6 1 8 10 答案 B B B C B D D C C D 题号 11 12 13 14 15 答案 C B A D A 1.B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理 根据圆周角定理求解即可， 【详解】解：：点A、B、C在⊙O上，∠ACB=36°， ∠AOB=2∠ACB=72°， 故选：B 2.B 【分析1本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得4C=方B=4,由勾股定理得出OC=3, 熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键， 【详解】解：AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点C, :AC=AB=4,∠AC0=90°， 2 .0C=V0A-AC2=V52-42=3, 故选：B. 3.B 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等 弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键.由在同圆中等弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD从而求 得答案。 【详解】解：：AB是⊙O的直径，∠AOC=110°， 答案第1页（共2页） ∴.∠BOC=70°， BC=BD, .∠BOC=∠BOD=70° 故选：B. 4.C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键 连接OC,OC交AB于D,由垂径定理得AD=BD=4B=2(米)，再由勾股定理得OD=V5(米)，然 21 后求出CD的长即可. 【详解】解：连接OC,OC交AB于D, 水面 D B .------- --J--2 图2 由题意得：OA=OC=3米，OC⊥AB,AB=4米， :AD=BD=AB=2(米)，∠AD0=90, 2 .0D=VOA2-AD2=V32-22=V5(米)， :CD=0C-0D=(3-5)米， 即点C到弦AB所在直线的距离是(3-⑤)米， 故选：C. 5.B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE的长，再在Rt△OCE中利用勾股定理求出 OE的长即可. 【详解】解：：AB为⊙O直径，CD⊥AB,OC=OB=CD=2, 答案第1页（共2页） .CE=2CD=1, 在RtAOCE中，OE=VOC2-CE2=V22-12=V3. 6.D 【分析】本题考查圆、矩形和平行四边形的性质.选项A错误，因为等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合； 选项B错误，因为平分弦的直径不一定垂直于弦（如弦为直径时）；选项C不正确，只有在同一平面内，过 一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；选项D正确，因为对角线互相平分可得平行四边形，对角线相等可 得矩形 【详解】：A:长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，故不是等弧，∴.A错误，不符合题意； ·B:当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴B错误，不符合题意； :C:在同一平面中，过一点（无论点在直线上还是外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，∴原说法没 有限制在同一平面内，C错误，不符合题意； :D:对角线互相平分的四边形为平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形，.D正确，符合题意. 故选：D. 7.D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的 关键；连接OC,由题意易得∠AOC=2∠CDA=60°，然后根据等腰三角形的性质可进行求解. 【详解】解：连接OC,如图所示： :∠CDA=30°， .∠AOC=2∠CDA=60°， OA⊥BC,OC=OB, ∴.∠AOB=∠AOC=60°， 答案第1页（共2页） 故选：D. 8.C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项. 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确. B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确. C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误。 D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确， 9.C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角∠BOC的度数，再利用扇形面积公式计算即可. 【详解】解：：∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A=70°， .∠B0C=2∠A=140°， .0B=OC=3, 扇形B0C的面积=140元32=1409m7 360 360=2元. 10.D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理即可计算出答案。 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,，∠BCD=1I0 .∠A=180°-∠BCD=70°， 由圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=140°」 11.C 【分析】本题考查反证法的应用，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设其反面成立，原命题 为“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”，其反面应为“在三角形，中所有内角都小于60°”。 【详解】解：原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于60°”的否定是“在三角形中，所有内角都小于 60°”，因此应先假设这个三角形中内角都小于60°. 答案第1页（共2页） 故选：C. 12.B 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，添加辅助线构造圆周角是解题的关键， 设点E是优弧AB上（不与A,B重合）一点，连接AE、BE,由圆周角定理求出∠E的度数，由圆内接四 边形的性质可得∠ACB的度数，由邻补角性质即可求∠BCD的度数， 【详解】解：设点E是优弧AB上（不与A,B重合）一点，连接AE、BE, E A C D :∠AOB=110°， ∠E)2A0B=550 :四边形ACBE内接于⊙O, .∠ACB=180°-∠E=125°， .∠BCD=180°-∠ACB=55°. 故选：B. 13.A 【分析1本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式S。号一 (n是扇形圆心角的度数）)，由 360 此即可求解。 【详解】解：S=150×π×6 =15π， 360 故选A. 14.D 【分析】首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可. 【详解】连接AC,过B作BD⊥AC于D, 答案第1页（共2页） Dn--- 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为2×2π=4r,AC=6r 180 则n=120, :BC=BA,BD⊥AC, .∠ABD=60°， 由AB=6,可求得BD=3, AD=33,AC=24D=63, 即这根绳子的最短长度是6√3. 15.A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和扇形面积的计算，解直角三角形，能根据图形得出阴影部分的面积 =三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积是解此题的关键 过A作AD⊥BC于D,则BD=CD=1,AD=√3，再求出△ABC和扇形面积，利用阴影部分的面积等于三 块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积求解 【详解】解：过A作AD⊥BC于D, AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， D :AD⊥BC, :BD=CD=1,AD=BDxtan LABC=3BD=3, 答案第1页（共2页） aMBC的面积为BC·AD=v5, 60m×222 ·S扇形BAC三 cm2, 36031 2 S影=3×行π-3×V3=2π-33， 3 故选：A. 16.60° 【分析】直径所对的圆周角是直角. 【详解】解：AB是⊙O的直径， .∠C=90°， ∠B=30°， ∴.∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-30°=60°. 17.40 【分析】根据“圆心角、弧、弦的关系”求解即可. 【详解】解：：AB=CD, AB=CD, :∠AOB=40°， .∠COD=∠AOB=40°. 18. 6v10 5 πcm 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式. 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长. 【详解】解：设扇形的半径为rcm, 由扇形的面积公式S=n 360 代人入已知数据 1082=12m, 360 解得r2=40, 答案第1页（共2页） .r=2√10（取正值）， 由弧长公式1=，” nr, 180 特1-1*2i而=g*2wi0-6o (cm). 故答案为： 6W10 πcm. 5 19.2√13 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键 作OE1B于点B,连授01、0OC,根锯垂径定理可得4B=B=)B=8,CE=DE=CD,再利用勾 股定理分别求出OE和CE的长，即可得出答案 【详解】解：如图，作OE⊥AB于点E,连接OA、OC, D/B :OE⊥AB,AB=16, :.AE=BE=AB=8,CE=DE=CD,∠OEA=90°， 2 .OA=10, .OE=A2-AE2=6, OC=7, ∴.CE=V0C2-0E2=V13, .CD=2CE=213 故答案为：2√13. 20. 证明：：AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC ·.AD+BD=BC+BD AB=CD 答案第1页（共2页） :AB=CD 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答. 【详解】略 21.30° 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是 解题的关键.根据AB=AC，得到AB=AC,根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,于是得到答案. 【详解】解：：AB=AC, :AB=AC, .∠ABC=∠ACB, :∠A=120°， 1 ·∠ABC=。×(180°-120)=30°. 22.12√5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据AB是⊙O的直径，AC是弦，CD⊥AB,得出 CE=CD=25,再运用勾股定理列式0C-CE+0E,代入数值计算，得出半径是6，再运用三角形的 面积公式列式进行计算，即可作答. 【详解】解：连接OC, A B E D ,·CD⊥AB 、、ED=2×45=之5， 设⊙O的半径为r,则OE=r-2, OC2 CE2+0E2, 答案第1页（共2页） ·2=r-2)2+(25)2, .r=6, Sm=)CE-AB-)×2V5x12=12N5, 2 2 23.(1) 证明：：AD=BC, ·AD+CD=BC+CD, ·AC=BD, ∴.∠AOC=∠BOD. (2) 证明：：AD=BC, .AD=BC, :∠AOC=∠BOD, :AC=BD, CD=CD, .△ACD≌△BDC(SSS). 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定。 (1)根据AD=BC得出AC=BD,再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； (2)根据AD=BC得出AD=BC,根据∠AOC=∠BOD得出AC=BD,即可证明. 【详解】(1)略 (2）略 24.(1)70° (2)55° 【分析】(1)连接BD,先根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°，进而可知BD是AC的垂直平分线，再 根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出∠C的度数； 答案第1页（共2页） (2）由题意可知四边形ADEB是⊙O的内接四边形，可得∠DEB=110°，根据等边对等角结合三角形内角 和求出∠EBD=35°，最后根据三角形外角的性质即可求出∠C的度数. 【详解】(1)解：连接BD, ○ :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， AD=CD, ∴.BD是AC的垂直平分线， .BC=BA, .∠C=∠A=70°； (2)解：：以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E, ·.四边形ADEB是⊙O的内接四边形， .∠DEB=180°-∠A=110°， DE=BE, :∠EDB=∠EBD=180°-∠DEB=35°， :∠ADB是△CDB的一个外角， ∴.∠C=∠ADB-∠EBD=55° 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质， 三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键， 25. 证明：：OA=OB,AD=BE, 答案第1页（共2页） .OD=OE 在△OCD和△OCE中， 「OD=OE CD=CE, OC=OC .AOCDSAOCE(SSS), .∠COD=∠COE, ·AC=BC,即C为AB的中点. 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关 键.由SSS证明△OCD2△OCE,得出对应角相等∠COD=∠COE,由圆心角，弧，弦的关系即可得出结 论. 【详解】略 26.(1) 证明：：四边形ABCD内接于一圆， .∠DAB+∠DCB=180°， '∠DCE+∠DCB=180°， .∠DAB=∠DCE; (2)50° 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补 (1)根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB=180°，根据同角的补角相等证明结论； (2)根据角平分线的定义得出∠ACE，再根据圆周角定理推论即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得∠DAB=∠DCE, :∠DAB=65°， .∠DCE=65°， 答案第1页（共2页） :CD平分∠ACE, .∠ACE=2∠DCE=130°， ∠ACB=180°-∠ACE=50°， .∠ADB=∠ACB=50°. 27.(1) 证明：.OA⊥BD, AB=AD, .∠ACB=∠ACD, 即CA平分∠BCD; (2) 解：四边形AECD是平行四边形，理由如下 延长AE交BC于M,延长CE交AB于N, AE⊥BC,CE⊥AB, M 图2 .∠AMB=∠CNB=90°， :BD是⊙O的直径， .∠BAD=∠BCD=90°， .∴.∠BAD=∠CNB,∠BCD=∠AMB, .AD NC,CDI AM .四边形AECD是平行四边形， 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解 题的关键。 (1)由垂径定理证出∠ACB=∠ACD,则可得出结论； 答案第1页（共2页） (2)延长AE交BC于M,延长CE交AB于N,通过两组对边互相平行，证明四边形AECD是平行四边形， 可得出答案， 【详解】(1)略 (2）略 答案第1页（共2页） 第二十九章圆单元检测卷 一、单选题（共30分） 1．（本题2分）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）如图，OA是的半径，AB是的弦，于点C，若，则OC的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（本题2分）如图，是的直径，．若，则的度数为（    ） A．140° B．70° C．65° D．55° 4．（本题2分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，直径长为6米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（   ） A．1米 B．2米 C．米 D．米 5．（本题2分）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 6．（本题2分）下列说法中正确的是（   ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径一定垂直于弦 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 7．（本题2分）如图，点都在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题2分）下列关于三角形外心的说法中，错误的是（     ） A．三角形的外心到三个顶点的距离相等 B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点 C．等腰三角形的外心在三角形内 D．任何一个三角形有且只有一个外接圆 9．（本题2分）如图，点A，B，C是上的三个点，，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（本题2分）如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 11．（本题2分）用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角不小于”时，应先假设这个三角形中（   ） A．内角都不小于 B．锐角都不大于 C．内角都小于 D．锐角都大于 12．（本题2分）如图，点，，在上，点在延长线上．若，则（    ） A． B． C． D． 13．（本题2分）一个扇形的半径是6，扇形的圆心角，那么这个扇形面积是（    ） A． B． C． D． 14．（本题2分）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 15．（本题2分）分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共8分） 16．（本题2分）如图，是的直径，，则的度数为_______． 17．（本题2分）如图，在中，，，则______°． 18．（本题2分）已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 19．（本题2分）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 三、解答题（共62分） 20．（本题6分）如图，已知、为的两条弦，，求证：． 21．（本题6分）如图，在中，，，求的度数． 22．（本题7分）如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 23．（本题7分）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 24．（本题8分）如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 25．（本题8分）如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点． 26．（本题8分）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 27．（本题12分）已知四边形内接于，对角线是的直径 (1)如图①，连接若，求证：平分； (2)如图②，E为内一点，满足，，判断四边形的形状，并说明理由 四、解答题 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第二十九章圆单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C B D D C C D 题号 11 12 13 14 15 答案 C B A D A 1．B 【分析】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理． 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵点A、B、C在上，， ∴， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，由勾股定理得出，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：是的弦，且于点， ，， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等的性质是解答本题的关键．由在同圆中等弧所对的圆心角相等得从而求得答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可． 【详解】解：连接，交于， 由题意得：米，，米， （米），， （米）， 米， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 6．D 【分析】本题考查圆、矩形和平行四边形的性质．选项A错误，因为等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；选项B错误，因为平分弦的直径不一定垂直于弦（如弦为直径时）；选项C不正确，只有在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；选项D正确，因为对角线互相平分可得平行四边形，对角线相等可得矩形． 【详解】∵ A： 长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，故不是等弧，∴ A错误，不符合题意； ∵ B∶ 当弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴ B错误，不符合题意； ∵ C∶ 在同一平面中，过一点（无论点在直线上还是外）有且仅有一条直线与已知直线垂直，∴原说法没有限制在同一平面内， C错误，不符合题意； ∵ D∶ 对角线互相平分的四边形为平行四边形，对角线相等的平行四边形为矩形，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键；连接，由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项． 【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确． C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点， 故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误． D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确． 9．C 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：与是同弧所对的圆周角与圆心角，， ， ， 扇形的面积． 10．D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 11．C 【分析】本题考查反证法的应用，反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设其反面成立，原命题为“在三角形中，至少有一个内角不小于”，其反面应为“在三角形，中所有内角都小于”。 【详解】解：原命题“在三角形中，至少有一个内角不小于”的否定是“在三角形中，所有内角都小于”，因此应先假设这个三角形中内角都小于． 故选：C． 12．B 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，添加辅助线构造圆周角是解题的关键． 设点是优弧上（不与，重合）一点，连接、，由圆周角定理求出的度数，由圆内接四边形的性质可得的度数，由邻补角性质即可求的度数． 【详解】解：设点是优弧上（不与，重合）一点，连接、， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选：B． 13．A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数），由此即可求解． 【详解】解：， 故选A ． 14．D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 15．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和扇形面积的计算，解直角三角形，能根据图形得出阴影部分的面积=三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积是解此题的关键． 过A作于D，则，，再求出和扇形面积，利用阴影部分的面积等于三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积求解． 【详解】解：过A作于D， ，， ， ，， 的面积为， ∴， ， 故选：A． 16． 【分析】直径所对的圆周角是直角． 【详解】解：是的直径， ， ， ． 17．40 【分析】根据“圆心角、弧、弦的关系”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 18． 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 20． 证明：∵、为的两条弦， ∴ ∴ ∴ 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答． 【详解】略 21． 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 23．(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即C为的中点． 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论． 【详解】略 26．(1) 证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理推论即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 27．(1) 证明：， ， ， 即平分； (2) 解：四边形是平行四边形，，理由如下 延长交于，延长交于， ，， ， 是的直径， ， ，， ∴ 四边形是平行四边形， 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理平行四边形三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）由垂径定理证出，则可得出结论； （2）延长交于，延长交于，通过两组对边互相平行，证明四边形是平行四边形,可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $