第07讲 拓展二：数列求和（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第07讲拓展二：数列求和 第一部分知识梳理 知识点一：倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相 加法求数列的前n项和. 知识点二：分组求和法 1如果一个数列可写成C,=an±b,的形式，而数列{an},b}是等差数列或等比数列或 可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法 n为奇数 2如果一个数列可写成Cn= b,n为偶数的形式，在求和时可以使用分组求和法 知识点三：裂项相消法 1、等差型 1 -111 On(n+k)kn n+k oe-日k1日 -111 (kn-1)(kn+1)2 kn-1 kn+1 1-11_1 1 如： 4n2-122n-12n+1 ）(尤其要注意不能丢前边的2) 2、无理型 1 Om+k+万k(Vn+k-n 1 如：n+1+√n =Vn+1-√n 3、指数型 (a-1)a 1 1 ①(a+ka°+a+ka+人 2" 11 如：(2*1+k)(2”+)2”+k2+k 4、通项裂项为“+”型 aD-y-y(后+ C-I(-C- n(n+1) 本类模型典型标志在通项中含有(-)”乘以一个分式。 知识点四：错位相减法 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列Cn的通项公式 C,=a,·b,其中an、bn中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已 知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相 减，转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q倍错位相减法 知识点五：奇偶项讨论求和 n为奇数 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式：例如：Cm= b,n为偶数 an为奇数 角度1：求Cn= 6为偶数的前2n现和1， 2n ann为奇数 角度2：求Cm= b 为偶数的前，项和工 n 2、通项含有(-1)的类型；例如：C。=(-1)”a 第二部分题型精讲 题型01倒序相加法 21014 【典例1)(25-26高三下浙江宁波期中)已知/四7+2，则∑(=（） 2025 2027 A. 2 B D.1013 2 C.1012 【典例2】(2026·湖南长沙模拟预测)已知数列{a,}的前n项和 S.=22-4(n∈N),函数f(x)对任意的xeR都有f(+f(1-)=1,数列}满 足=fo+得()++"0 (1)求数列{a},{b.}的通项公式： 【变武】(206有二全国专忽练习》已知数/)=年2，数列a}满元 a=f0+f）(n22ne心)，则一 【变式2】(26-27高二上全国课后作业)己知定义在R上的函数f()的图象的对称中心 为(101l,2).数列{a,}的前n项和为Sn,且满足a,=f(),neN,则S= 【变式3】(25-26高二下·江西九江阶段检测)已知数列亿，}是公比为9(9≠1)的正项等比 数列，且2h6e=0,若f-=4,则f6)+f6,)++f6） 题型02分组求和法 【典例1】(26-27高二上江苏苏州阶段检测)记Sn是数列{a}的前n项和，S,=6S,=12 ，且数列{VS,-n}是等差数列. (1)求{a}的通项公式： n为奇数， (2)若bn= 1 n为偶数，求数列、的前项和。 anam2 b 2n T2n 【典例2】(26-27高三上湖南长沙阶段检测)已知数列{a}的前n项和为Sn,且 Sn+4=2an,等差数列b.}满足b,=7,b,+a=75. (1)求数列{a}和{b}的通项公式： 2)求数列b+(-)a}的前n项和T 【变式1】(26-27高三上北京海淀·阶段检测)已知等差数列{an}满足：4+a4=0, 2a2+a=3 (1)求{an}的通项公式： an,n为奇数， 2)已知b=(2,c.= 6.n为偶数，求{c}前2n项的和7。 【变式2】(26-27高三上湖北开学考试)在数列{a}中，a=1,4=4, an2+2an=3am (1)证明：{a-a,}是等比数列； (2)求{an}的前n项和Sn. 【变式3】(25-26高二下辽宁沈阳期末)已知在正项数列{a}中，a=4,a2a=32,且 lnan,lnan+,lnan+2成等差数列 (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若数列{凸.}满足b.=an+(-)1og2a1,求数列亿.}的前100项和Tm 题型03裂项相消法（等差型) 【典例1】(26-27高二上江苏苏州阶段检测)已知数列{am}满足a=1,且对任意n≥2， 都有to.-lo.=e1+） (1)求数列{a}的通项公式： ②浸么一。，若4+么+么+…+6<织求满足条件的录大整致n 40 【典例2】(26-27高三上：广东深圳阶段检测)已知等差数列{an}前n项和为Sn,且 S,=-27.S0=-40 (1)求数列{an}的通项公式an: (2)设b,=an+2”,记数列{bn}的前n项和为Bn,求B。: ∫1 (3)设数列 anan 的前项和为工，求工· n 【变式1】(26-27高二上福建莆田·阶段检测)设公比为9的等比数列a}的前n项和为 Sn,且Sn=0H-2. (1)求9和a: ∫1 2)记b,=1og,G:数列bh广的前n项和为T,求7 【变式2】(2026陕西宝鸡模拟预测)已知数列{a,}的前n项和为Sn,且Sn=3n2+21 (1)求{a,}的通项公式，并证明{a-2}为等差数列： 1 2若.（2n+la,-2),求6+么++bm 【变式3】(26-27高三上河北沧州开学考试)已知函数f(x)=血V2x-1,曲线y=fx)在 点(n,f(n)处的切线斜率为k,(neN) (1)求k的表达式； (2)设数列{an}满足a。=k,k,求数列{a}的前n项和Sn. 题型04裂项相消法（无理型) 【典例1】(25-26高二下重庆阶段检测)已知数列{am}的前n项和为Sn,且Sn=n2+3n 1 a,Va+aa,工是数列{6，}的前n项和，若> >16,则正整数n的最小值为 () A.30 B.31 C.60 D.61 【典例2】(25-26高二下·全国课堂例题)设数列an}满足an-a1=2a+1an,a=1.设 1 b=- 2 + 2, 若数列b的前”项和为sS,>29,求n的最小值。 {bn} 2 2 【变式1】(2026天津一模)已知数列a,4=la,+am-n+本Nn,则数列a,} 的前9项和为() A.3 B.6 C.2 D.4 【变式2】(2026浙江宁波·二模)已知幂函数f(x)=(2m2-5m+3)xm是非奇非偶函数， 令a=了a++f同aeN),记数列a,}的前m现和为s,则sa=《） A.√2026+1 B.V2026-1 C.V2027+1D.√2027-1 【变式3】(25-26高二上河北石家庄·期末)已知数列{an}中a=1,当n≥1且n∈N 时， a=an+2n+1,记b。= an1+a,，则数列{b,}前99项的和为() A.12 B.11 C.10 D.9 题型05裂项相消法（指数型） 【典例1】(25-26高三上江苏徐州期末)已知数列a}的前n项和为Sn, 及=”牛aaeN),且41.数列6为容比数，有=4-4=4+1 (1)求{a}和bn}的通项公式： 2没<，-之AeN,求数列}的前n项和Z 【典例2】(25-26高二下·黑龙江哈尔滨期末)已知数列{an}满足4=2，an1=2an-1. (1)证明{a-为等比数列： 2)设h,-9。-1 a,a,求数列{6.}的前n项和T 【变式1】(25-26高二下-江西期末)在数列{a}中，a=1,a=2a,+2”. (1)求{a}的通项公式： (2)求{an}的前n项和Sn: Sn1-1 3倒在(2)的条件下，令，n++2,求数列伍，}的前n项和T 【变式2】(25-26高二下黑龙江哈尔滨阶段检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且S,=4,S4=16;数列{b,}满足2”h+2h,+…+2b,=3”-1(n∈N) (1)求数列{a}和bn}的通项公式； 2记c,=(26-2a,-2 anantl 求数列{c}的前n项和T 【变式3】(2026陕西榆林模拟预测)已知数列an}的前n项和为Sn,且a=1,数列 S. 是公差为的等差数列. (1)求{}的通项公式： 2)设6= a,记数列，}的前n项和为T,求使得7>120成立的最小正整数，的值。 题型06裂项相消法（通项裂项为“+”型) 【典例1】(26-27高三上陕西西安阶段检测)记S,为数列{a,}的前n项和，{VS,-n}是 首项与公差均为1的等差数列， (1)求数列a}的通项公式： 2)设么，=（色+） 3.，求数列{亿，}的前2026项的和7 【典例2】(2026河北保定·一模)已知数列{a}的前n项和为Sm,且4=1， SH-&= n+1n2 (1)求Sn 2)若6.=（-1)2m+1 a,a,求数列b,}的前n项和 a-l=a。 【变式1)(2026-湖南三模)已知正项数列{a,}满足4=1，且a.=a+1· (1)证明： {a}为等差数列： (-1)” (2)求数列 amtl-an 的前n项和T, 【变式2】(2026四川攀枝花一模)已知数列{a,}的前n项和为Sn,a.>0neN),且 4,an+l,Sn成等比数列. (1)求数列{a,}的通项公式： 2)若6.=(-).4n a4,记数列6}的前2n现和为7，证明：号≤，<1， 【变式3】(25-26高三上河北阶段检测)在数列{a}中，4=1，(n-)a=nan+1. (1)求{a}的通项公式： 2)若6.=(-1)°4n a1a2,求{b,}的前n项和S, 题型07错位相减法 【典例1】(26-27高二上甘肃期中)己知数列{a}的首项a=1,且满足 a产aeN). 1)设6= a,求证：数列{b,}是等差数列，并求数列{a,}的通项公式： (2)设cn=bn2”,求数列{cn}的前n项和Sn. 【典例2】(26-27高二上甘肃白银阶段检测)数列{a,}的前n项和S,=m2-7n(neN (1)求{a}的通项公式： (2)求{1a.}的前n项和9n (3)令b.=2”a,求数列b.}的前n项和Tn及Tn的最小值. 【变式1】(26-27高三上四川绵阳·开学考试)数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2, 等差数列{b.}中，b,+b=马，b,+b=a4. (1)求{a}b.}的通项公式： 2)若c.=(-)an,求数列{c}的前n项和T. 【变式2】(26-27高二上河北保定期中)己知数列{a}的前n项和为S,且a1=2Sn+2 ,4=2 (1)求证：数列{an}为等比数列： .2n 2)设<.3知，neN,求数列{e,}的前n项和7. 【变式3】(25-26高三上湖南阶段检测)记等差数列{aneN)的前n项和为Sm,满足 a+a4=6,S-a=7」 (1)求a}的通项公式： 2)设6-受，求之五（用含”的代数式表示）· = ann为奇数 题型08奇偶项讨论求和（求，=6，n为偶数的前2n项和7） an 【典例1】(26-27高二上江苏苏州阶段检测)已知数列{a}满足a1+a，数列{b.} 为正项等比数列，且4=6=1，b2+b=6 (1)求数列{an}和bn}的通项公式； bn,n为奇数 (2)设cn= a,a2,n为偶数，求数列{c.}的前2n项和T,。（neN) 【典例2】(25-26高二下·黑龙江佳木斯期中)数列{a}的前n项和为S,满足 2Sn=3m2+n,若b。=2% (1)证明：数列b}为等比数列： an,n为奇数 (2)记Cn= bn,n为偶数，求数列，、的前项和 2 【变式1】(2026高三全国专题练习)已知等比数列{a,}的前n项和为S,数列m}是 公差为1的等差数列，若4=2b,a4-a4=12,S4+2S2=3S】 (1)求数列{a},{亿.}的通项公式： [n。（n为奇数)， b(n+2) (2)设Cn= 2(n为偶数)， Tn为 的前项和，求。 Cn n Tin S 【变式2】(2026-山东济南三模)已知数列{a,}的前”项和为s,'4=1,{a 是公差为 2的等差数列. (1)求{a}的通项公式： an2”+1,n为奇数 (2)令b= an·2”,n为偶数 ，求数列，}的前2m项和。 【变式3】(2026山东泰安三模)已知数列{an}的前n项和为Sn, a =2,am=2S,+2(nEN'). (1)求数列{a}的通项公式： an, n为奇数 2)数列6}满足么。=3-山，为偶数，求数列，}的前2项和1 ann为奇数 题型09奇偶项讨论求和（求，6n为偶数的前n项和工） 【奥例1】（2026云南模拟预测)已知正项数列{a,}的前项和为5，且满足S。-” 2 (1)求{a}的通项公式； 1 (2)记b,= a,(%,+2为奇数 求数列，的前n项和 n.2,n为偶数 {b.} 【典例2】(2026吉林延边三模)数列an}满足4=1，a=2an+1. (1)证明{a.+是等比数列，并求数列{a,}的通项公式： a,+I,n=2k-1, 2若={g:(a,+m=2kkeN,设数列么}的前项和为s,求s 【变式1】(2026天津和平二模)己知neN,数列{a,}满足a=-l,当n≥2时， (n-1)a-na1=3 (1)求数列了的通项公式： 2)数列{2}的前n项和为S,证明：Sn·Sn2<S: (3)若数列b.}满足b1=a,bn=(-)°an24，求数列b.}的前n项和Tn. 【变式2】(25-26高三下·湖南长沙阶段检测)已知数列a的前n项和为Sn,a=1,Sn=n ,数列b}满足6=1，b=2b,+1 (1)求数列{a}{也.}的通项公式 an,n为奇数 2)若数列1c,}满足c,-6,n为偶数，求数列{c}的前n项和工， 【变式3】(25-26高二上湖南岳阳期末)己知数列{a}的前n项和为S,且满足 4a,=3Sn+8,数列{b.}是单调递增的等差数列，么=log,4,且b,-1,b+1,b。+3成等 比数列： (1)求数列{an}和数列b,}的通项公式： an,n为奇数 (2)记m.= bn,n为偶数，求 的前项和 man Tn 题型10通项含绝对值数列求和 【典例1】(26-27高三上天津河西·阶段检测)已知公差不为0的等差数列a}的前n项和 为Sn,且S4=20,a,a,a4成等比数列. (1)求数列{a,}的通项公式： 2记4，-8+十+，证明数列3}是等比数列，并求数列}的前2n项和R: n 3)记c.=12-a,求数列{cn}的前n项和Tn. 【典例2】(26-27高二上江苏连云港阶段检测)已知数列{a,}的前n项和为S,数列 侣}是以5为首项1为公若的学数列 (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列la}的前n项和T 【变式1】(2026四川遂宁模拟预测)己知{a,}是等差数列，亿.}是等比数列，且 a=b=3,a2+a4=2b2,aa3=b3. (1)求{a}和{}的通项公式； (2)求数列1an-18}的前n项和Wn. 【变式2】(25-26高二下·陕西渭南阶段检测)记Sn为数列a,}的前n项和，已知 S,=14n-n2 (1)求{a}的通项公式： (2)求数列{a}的前n项和Tn. 【变式3】(25-26高三上河南信阳期末)设数列{a}是等差数列，亿.}是等比数列已知 b=2a1=2,b2=a2+2,b=2a+2 (1)求{an}和bn}的通项公式： (2)设cn=log2bm1-14,求数列lc}的前n项的和Tn. 第三部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 2027 1.(2027高三全国专题练习)数列{a,}冲，0，n+可)，若{a,}的前n项和为2028 则项数n为() A.2027 B.2024 C.2025 D.2026 2.(25-26高二下·北京顺义期中)若数列a,的通项公式是a。=(-1)”(3n+1)则 4+a2++a0=() A.15 B.12 C.-12 D.-15 3.(25-26高二下四川成都期中)数列n+(-I)°(2n-(n∈N)的前6项和为(） A.25 B.26 C.27 D.28 4.(25-26高二上天津红桥阶段检测)己知数列{a}满足a,=-2n+9,n∈N,则数列 {a.}的前10项和为() A.58 B.52 C.62 D.60 -0+- 5.(25-26高三上·四川-阶段检测)数列3n-+3n+2的前20项和为（） 15 8 16 A. 62 B.31 D.-31 6.已知数列{an}的前n项和为Sn若an+an1=2n+3,a=1,则S2=() A.80 B.85 C.90 D.95 二、多选题 3n-1,n为奇数 7.(25-26高三上：陕西渭南期中)已知数列a,}的通项公式为4，=(-2，n为偶数， 前 n 项和为S,则() A.43=8 B.as>as C.S=42 D S6>2S, 8.(24-25高二上河北沧州阶段检测)已知数列a}的首项为4，且满足 2(n+1)a,-na1=0(neN),则() an A.}为等差数列 B.{a}为递增数列 C.{a}的前n项和Sn=(n-l)-21+4 D.{2的前n项和7-n an 2 三、填空题 9.(26-27高二上江苏苏州阶段检测)已知数列{a}满足a+a7-4=1(k∈N,k≤2026) ,则数列{a,}的前2026项和S6= 10.(2026高三全国专题练习)若S,=1-2+3-4+…+(-1)·n,则S0= S= 四、解答题 11.(26-27高三上四川内江阶段检测)己知数列{a}满足a=2a。+1(n∈N),且 a =1,b =log2(a,+1). (1)证明：数列{a,+为等比数列：并求数列{a,}的通项公式： 1 (2)求数列 ,h广的前n项和g n 12.(25-26高-下上海期末)已知数列{a}的前n项和为S。,Sn+1=2an. (1)求数列{a}的通项公式： (2)令bn=an+2n-1,求数列{b.}的前n项和Tn. 13.(2026宁夏吴忠三模)己知数列{a}的前n项和为Sn,Sn=3”-1,数列b.}是等差数 列，且b=4,b2=a2 (1)求数列{a}和{也}的通项公式： (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn. 14.(2526高-=下安微鲜换阶段检测)已知函数)，景列a,}满足4=1且 a1=f(an),设bn=anal. 1 (1)求证：数列 a. 是等差数列： (2)求数列b}的前n项和S. B能力提升 15.(26-27高二上江苏镇江阶段检测)已知正项数列{a}的前n项和为Sm,且 2√S,-Q+1;数列{b,}是单调递增的等比数列，公比为9，且，b的等差中项为10：么，b, 的等比中项为8 (1)求{a},{b.}的通项公式； an, n为奇数 (2)设cn= 6 n为偶数，为数列的前项和，若存在 使得 fcn n n∈N* T2n-2n2+n≥2b, 成立，求实数九的最大值 16.(26-27高三上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列{a}满足a,=4a+3n≥2，n∈N) ,且4=3 (1)求数列{a}的通项公式： (2)若b。=na,求b}的前n项和T. 17.(2627尚三上广东阶段检测)已知数列a的前n项和为5，且4号， n(eW) (1)求数列{a}的通项公式： 2)记b,=n(2-S,)(neN),若bn≤对neN恒成立，求实数元的取值范围； 3记c,=2n∈N,数列c的前n项和为r’若不等式m<T<k对n∈N 立，求实数m的最大值与整数k的最小值. 18.(25-26高二下·广东湛江期末)Sn为{an}的前n项和，已知4Sn+3an1=1. (1)求{a}的通项公式； 2设-仁旷-2训，来数列}的前，项和 a 19.(25-26高二下湖南邵阳阶段检测)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且a,=3, S6=78 (1)求{an}的通项公式： 2)设b.=(an+1)2”,求数列{，}的前n项和T. 第07讲 拓展二：数列求和 第一部分 知识梳理 知识点一：倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和. 知识点二：分组求和法 1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 知识点三：裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 4、通项裂项为“”型 如：① ② 本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 知识点四：错位相减法 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法． 知识点五：奇偶项讨论求和 1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如： 角度1：求的前项和 角度2：求的前项和 2、通项含有的类型；例如： 第二部分 题型精讲 题型01倒序相加法 【典例1】（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则（    ） A． B． C．1012 D．1013 【答案】A 【分析】运用倒序相加法，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 则有 因此 . 【典例2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； 【答案】(1)，bn 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得，. 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）已知函数，数列满足（，），则 = ______． 【答案】10 【分析】根据的解析式，写出的解析式，然后证明，再用倒序相加法（首尾配对）求和． 【详解】由得， 所以， 设，将各项倒序得， 两式相加，首尾配成对，每对的和均为1，所以，即， 所以． 【变式2】（26-27高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的图象的对称中心为．数列的前项和为，且满足，，则______． 【答案】 【分析】根据函数的对称性可知，再利用倒序相加法进行求和. 【详解】由条件得，即． 于是有，． 又， ， 两式相加，得 ， 故． 【变式3】（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则________. 【答案】4046 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故，， 故，即有. 由，则当时，有， 故， 故所求和为故. 题型02分组求和法 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）记是数列的前项和，，且数列是等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列是等差数列，求得，从而得，再由与的关系，求得的通项公式； （2）由（1）求得，根据等差数列前项和公式求得奇数项的和，由裂项相消求和法求得偶数项的和，即可求得数列的前项和． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 当时，， 所以； ，符合上式， 所以. （2）， 所以， . 所以 . 【典例2】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的前项和为，且，等差数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由，相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件；及是等差数列求解即可； （2）分组后利用等差数列和等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由已知，当时，，即，． 当时，，， 两式相减，得，即，， ∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． ；；， 设等差数列的公差为，则， 所以； （2）由已知， 所以， 由（1）， 因为， ， 所以， 所以. 【变式1】（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知等差数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)已知，，求前项的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，将已知条件转化为关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到和，再利用等差数列通项公式，求得的通项； （2）由的通项得到的表达式，判断的数列类型.因为按的奇偶性分别取和，所以前项和拆分为所有奇数项的和与所有偶数项的和两部分，其中奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，分别利用等差数列、等比数列前项和公式计算两部分的和，相加得到. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题知： 解得，. 故. （2）由题知：. 奇数项：，故. 偶数项：，故. 故前项的和. 【变式2】（26-27高三上·湖北·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前n项和． 【答案】(1)证明：因为，所以， 又，所以，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，所以． 所以 ． 【变式3】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知在正项数列中，，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前100项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得为等比数列，再利用解得即可求. （2）由得到，再利用为偶数时，分组求出，再把代入即可. 【详解】（1）成等差数列， ，即，而， 为等比数列，设公比为. 又，得. （2）， 当为偶数时， ， 所以. 题型03 裂项相消法（等差型） 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用累乘法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和，进而求解不等式得解. 【详解】（1）当时，由，得，则． 因此，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， ， 由，得，又， 所以满足条件的最大整数. 【典例2】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设公差为，由，得，，解得， ∴； （2）由得， ∴； （3）， . 【变式1】（26-27高二上·福建莆田·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由分别取得到关于和的方程组，解方程组即可求出和； （2）由求出，将裂项为，求和后中间项抵消即得. 【详解】（1）由， 当时：①， 当时：②， 由①得，代入②得，解得 代入，得， 所以. （2）由（1）得，所以， 于是， 所以 【变式2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式，并证明为等差数列； (2)若，求． 【答案】(1)， 证明：令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：，所以为等差数列. (2) 【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可. 【详解】（1）令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时， ， 所以. 【变式3】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的表达式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据复合函数求导公式求导计算求解即可； （2）根据裂项相消法计算求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 则，即． （2）由（1）知，， 则 ， 所以数列的前项和． 题型04 裂项相消法（无理型） 【典例1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知数列的前项和为，且，设，是数列的前项和，若，则正整数的最小值为（     ） A．30 B．31 C．60 D．61 【答案】B 【分析】根据前项和为，求出数列的通项公式，根据通项的表达式，利用裂项相消的计算方法求出前项和，列出不等式，求解正整数的取值范围． 【详解】因为，当时，；当时，， ； 综上； 因为， 故， 则 ， 即，即， 解得，故正整数的最小值为． 【典例2】（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列满足．设，若数列的前n项和为，求n的最小值． 【答案】 【分析】由题意根据等差数列通项公式求法可得，进而可得，根据裂项相消法可得，结合题意列不等式计算即可求解. 【详解】由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即．所以， 故，， 所以． 由，得，解得． 又，故的最小值为． 【变式1】（2026·天津·一模）已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 【变式2】（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，当且时， ，记 ，则数列前99项的和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】先用叠加法求出的通项公式，然后代入，裂项求和求解. 【详解】当时， ， 又由满足， 可得. 又由， 可得数列前99项的和为. 故选：D. 题型05 裂项相消法（指数型） 【典例1】（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用得出的通项公式，再结合基本量运算得出的通项公式； （2）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1），， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴， 所以； （2）， 前n项和为． 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，． (1)证明为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)数列中，由，得， 而，所以， 因此为等比数列，其首项为1，公比为2. (2) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）因为，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）略 （2）根据（1）可得，即， 则， 所以. 【变式1】（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式得数列是等差数列，进而求出通项公式； （2）利用错位相减求和法求解； （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 【变式2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求基本量，即可得通项公式，根据递推式得，从而有，作差即可得； （2）根据（1）得，应用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， ； ， ， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足； 综上所述：； （2）， 则； 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 题型06 裂项相消法（通项裂项为“”型） 【典例1】（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）记为数列的前项和，是首项与公差均为的等差数列， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项的和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，求出，再利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为是首项与公差均为1的等差数列， ， 则，当时，， 两式相减得，当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前2026项的和为 . 【典例2】（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 【变式1】（2026·湖南·三模）已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明：由得，， 所以 ， 故是首项为1，公差为1的等差数列； (2) 【分析】（1）证明为等差数列，即证为常数，对条件化简即可证明； （2）先求的表达式，求出，化简通项，再分奇偶讨论前项和即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以由（1）可知，，则. 所以 . 当为偶数时， 当为奇数时， 综上所述，. 【变式2】（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 【分析】（1）根据与的关系求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求数列的前项和，再根据数列的单调性证明. 【详解】（1）由题意. 当时，. 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）略 【变式3】（25-26高三上·河北·阶段检测）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用题干条件构造恒等式，从而得出通项公式，注意检验时是否满足通项公式. （2）由（1）得出，再将进行奇偶讨论，先算出项数为偶数时的和，再计算项数为奇数的和，可以简化运算. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 所以当时，， 所以， 在中，令时，，解得. 对于，，当时，， 符合上式，所以通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 所以. 题型07 错位相减法 【典例1】（26-27高二上·甘肃·期中）已知数列的首项，且满足． (1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)由题可知， 因为，所以，即， . 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． ； (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列的通项公式； （2）利用错位相减法进行求和． 【详解】（1）证明略. 因为数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以，又， 所以. （2）因为，， 所以， ， 所以 ， 故． 【典例2】（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）数列的前n项和（）． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． (3)令，求数列的前n项和及的最小值． 【答案】(1) (2)， (3)（）， 【分析】（1）根据公式，即可求通项公式； （2）根据的正负分界项，分和两种情况求和； （3）设，利用错位相减法求和，再结合数列的单调性求和的最小值. 【详解】（1）当时，, 当时，， 验证当时，，成立， 所以的通项公式为； （2）令，解得，令，解得． ①当时，，则． 此时． ②当时， 因此，的前n项和，； （3），则 两式相减得： 所以（） ， 当时，，时，， ，2，3时单调递减；，5，6…时单调递增，且， 所以. 【变式1】（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）数列的前项和满足，等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知前项和，利用作差，推出是等比数列，代入求出首项，得到；算出，代入条件得到关于等差数列首项、公差的方程组，解出，得. （2）写出，得到等差×等比型数列；写出，两边同乘等比数列公比，两式相减，对中间等比部分求和，化简得到 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减得， ，是等比数列，公比为. 当时，，， 数列的通项公式为. ，， 设公差为，则， ，，数列的通项公式为. （2）由(1)得， 得 ， . 【变式2】（26-27高二上·河北保定·期中）已知数列的前项和为，且，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：由题意可得，当时，，   当时，，，两式相减得，   当时，，满足上式，   所以数列是以为首项，为公比的等比数列． (2) 【分析】(1)利用数列前项和与通项的递推关系，写出时，和已知的两式作差，得到与的递推比例关系，再验证首项符合等比数列定义即可完成证明. (2)先由第一问结论得出的通项，代入化简得到可使用错位相减的差比型数列，通过乘公比后错位相减，整理计算即可得到前项和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以，   所以，①   所以，②   由①②，得，   所以．   【变式3】（25-26高三上·湖南·阶段检测）记等差数列的前n项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和． 【详解】（1）设等差数列首项，公差， ， 化简：，解得：， 通项：. （2）设①， 两边乘：②， ①②，错位相减： ， 则， 所以， 即. 题型08 奇偶项讨论求和（求的前项和） 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，数列为正项等比数列，且， (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和 (． 【答案】(1)， (2)= 【分析】（1）先由递推式取倒数，判定为等差数列求出；再根据等比数列条件建立方程，求出公比得到； （2）对拆分为奇数项、偶数项两组分别求和：奇数项构成新等比数列，利用等比求和公式计算；偶数项通项裂项，用裂项相消求和，最后合并两部分结果. 【详解】（1）由，，可知. 两边同时取倒数： ， 因此是首项为、公差为1的等差数列， 故：. 设公比为且，则， 整理，解得，或（舍去）， 故. （2）将​拆分为奇数项之和与偶数项之和： . 奇数项和： 当为奇数时，，因此数列的奇数项为，对应项为，此数列是首项为1、公比为4的等比数列， 由等比数列求和公式得：. 偶数项和： 当为偶数时，，代入，令偶数下标， 得：， 用裂项相消法求和： . 将两部分和相加，得到最终结果： . 【典例2】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【详解】（1）因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以，故数列为等比数列； （2）由（1）可得， 故 . 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设为的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)设等比数列的公比为,由变形得,解得；结合求得,故.由是公差为1的等差数列及,得,进而得. (2)化简：奇数项,偶数项；将拆分为奇偶项和,奇数项用裂项相消法、偶数项按等比数列求和,最终得. 【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为， 数列是公差为的等差数列，设 即有，即， 由，，，得， 又，所以， 即为，即，代入解得， 可得；． （2）即为 ． 【变式2】（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 【变式3】（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 题型09 奇偶项讨论求和（求的前项和） 【典例1】（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 【典例2】（2026·吉林延边·三模）数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明：由，可得，所以， 因为，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为.； (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，分和，两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，则，所以， 则，且， 因为，可得， 当时，， 其中， ， 所以， 将代入上式，可得； 当时，， 因为，且， 所以， 将代入上式，可得， 综上可得，数列的前n项和为. 【变式1】（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)证明：由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）略 （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 【变式3】（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于可用迭代法，消去，结合构造法求解通项，对于可设出其公差，列方程求解； （2）对于奇数项部分由错位相减法处理，偶数项部分由公式法求和，可先求为偶数时的表达式，然后进而求出为奇数时的结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， 题型10 通项含绝对值数列求和 【典例1】（26-27高三上·天津河西·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)， ， ， 令， ，所以是首项，公比的等比数列， 前项和： (3) 【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件列出关于首项与公差的方程组，求解出，的值，代入等差数列通项公式即可求解； 由得到的通项，先利用等差数列前项和公式求出，进而算出，得到的表达式，依据等比数列定义完成证明，再用等比数列求和公式求出前项和； 由的通项写出，找到绝对值内式子正负分界点，分情况讨论，结合等差数列求和公式分段求出前项和. 【详解】（1）设等差数列公差为， 展开第二个方程：， 因为，所以， 代入， ， ， 故. （2）略. （3），， ①当时，，， 是首项，公差为的等差数列： ， ②当时，前项和， 当时，，从第项开始，首项，公差为， ，， ，， 综上，. 【典例2】（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知数列的前n项和为，数列是以-5为首项，1为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等差数列性质与含绝对值数列求和.由 等差得 ，作差求 ；令 ，知前 3 项为负，对负项＂补项再减＂（ 负项和），分 与 两段求出 【详解】（1）由 ，得 . 当 时： 又 ， 故 （2） 因为，所以 所以 当 当 【点睛】本题考查等差数列通项与前 项和，重点考查判号分段和整体代换求绝对值数列和的能力。 【变式1】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 【变式2】（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 【变式3】（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立关于公差、公比的方程组求解. （2）由（1）求出，再按分段，利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2027高三·全国·专题练习）数列中，，若的前n项和为，则项数n为（   ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【详解】由， 所以， 解得． 2．（25-26高二下·北京顺义·期中）若数列{}的通项公式是 则 （   ） A．15 B．12 C．- 12 D．- 15 【答案】A 【详解】由题意可得，奇数项为负数，偶数项为正数且相邻项数的绝对值之差的绝对值为3， 故 3．（25-26高二下·四川成都·期中）数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】该数列的前项和为. 4．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 5．（25-26高三上·四川·阶段检测）数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出数列的前20项，直接求和即可. 【详解】数列的前20项和为. 故选：C. 6．已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】C 【分析】根据分别求解的奇数项和偶数项的通项，即可分组求和得解，或者根据为等差数列，由求和公式求解. 【详解】方法一：，当时，， 两式相减，得当时，， 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 当为奇数时，； 当为偶数时，. . 方法二： ， ， 故数列是以5为首项，4为公差的等差数列， . 故选：C 二、多选题 7．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数列的通项公式直接计算. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，，则，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，，所以，D选项正确； 故选：ABD. 8．（24-25高二上·河北沧州·阶段检测）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BD 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得等比数列，排除A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则  ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的前2026项和______. 【答案】 【详解】由， 得， 因为， 所以， 所以， 所以. 10．（2026高三·全国·专题练习）若，则________. ________. 【答案】 【分析】利用分组并项求和，结合分类讨论即可求得结果. 【详解】 当为偶数时， 当为奇数时，， 综上可得：， 故答案为： 四、解答题 11．（26-27高三上·四川内江·阶段检测）已知数列满足，且 . (1)证明：数列为等比数列；并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) ∴为等比数列    (2) 【详解】（1） ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 故. （2），， . 12．（25-26高一下·上海·期末）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列，然后利用分组求和法和等差数列，等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以， 所以， 即. 13．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 14．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，数列满足，且，设． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由题意得， ， ， 是首项为，公差为的等差数列． (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，即， ， ． B能力提升 15．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为. (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】(1)利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得. (2)分组求和可得，可将原不等式转化为，可得到的最大值. 【详解】（1）当时，由，得，解得， 当时，由，可得，， 两式相减得， 所以， 即，因为， 所以， 即可得是且公差为的等差数列. 即. 由题意得，即，解得或， 因为是递增的等比数列， 所以，所以，得， 所以， 即，. （2）由(1)得，，， 所以. 若存在使得成立，即能成立， 设，则， 所以是递减数列，故的最大值为， 因此的最大值为. 16．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以． 17．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 的最大值为，的最小值为 【分析】（1）由递推关系式利用等比数列定义求通项； （2）先根据错位相减法求出前项和，得到数列的通项公式，再作差研究数列单调性找到最大值，进而由恒成立求得参数范围； （3）对裂项相消求和，再根据的单调性与取值范围确定的最大值和整数的最小值. 【详解】（1）由递推关系，变形得， 因此数列是首项为、公比为的等比数列. 故，即. （2） ① ， 两边同乘得： ② ， ①②得： ， 因此，则，故. ， 当时，，即； 当时，，即从第2项起单调递减， 因此的最大值为. 由对任意恒成立，得，即的取值范围为. （3）由（2）得， ，因此. 前项和. 又为单调递增数列，故，且. 由对恒成立， 所以，. 即实数的最大值为，整数的最小值为 1. 18．（25-26高二下·广东湛江·期末）为的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【分析】(1)由，取和作差，得到与的递推关系，再求首项，可得通项； (2)将代入化简，得到，然后用错位相减法求和. 【详解】（1）当时，，即. 当时，有. 所以， 所以，即. 由，且，代入得，即，所以. 故从第一项起即为等比数列，公比，首项. 所以. （2）由(1)知，则. 于是. 因为，所以. 因此. 设， 则. 两式相减得， 其中. 所以， 故. 19．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列前项和公式结合已知条件求出，进而求出通项公式； （2）求出，进而列出，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式计算求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，结合，解得， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知：， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $