4.2.2 等差数列的前n项和公式（八大题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 前n项和与n的比所组成的等差数列 1．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 2．已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（    ） A． B．为等差数列 C．当取得最小值时， D．为递减数列 3．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 题型二 两个等差数列前n项和之比问题 5．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．数列是单调递减数列 B．中的最大项只有 C． D． 7．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 8．设等差数列{an}， {bn}的前n项和分别为An，Bn，且求这两个数列的第9项之比 题型三 等差数列前n项和的其他性质及应用 9．已知为公差不为零的等差数列的前n项和，若，且，则（   ） A．4 B．5 C．10 D．11 10．设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 11．等差数列的前项和是，若，则______． 12．已知等差数列的前项和为. (1)请用倒序相加法证明； (2)若，，，证明：. 题型四 等差数列前n项和的二次函数特征 13．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 14．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 15．设等差数列的前项和为，．若，则的值为______． 16．设等差数列的前n项和为，且． (1)求及数列的通项公式； (2)求的最小值及对应的n的值． 题型五 二次函数法求等差数列前n项和的最值 17．已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 18．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．记为数列的前项和，且，当取最大值时，__________. 20．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 题型六 求等差数列前n项和的最值 21．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（   ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 22．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（     ） A．是递减数列 B． C．，，成等差数列 D．当或4时，取得最大值 23．已知等差数列前项和为，，，则的最小值为_________． 24．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 题型七 根据等差数列前n项和的最值求参数 25．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 26．已知数列是等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若，且时最小，则 B．若，，则的最大值为56 C．若，则的最大值为 D．若，且最小，则 27．已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是______. 28．记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值．以及此时的的取值． 题型八 等差数列的简单应用 29．为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 30．已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是公差为的等差数列； B．当取得最大值时，； C．数列的前项和是， D．数列也是首项为9，公差为等差数列 31．甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后______分钟相遇？ 32．某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 等差数列的前n项和公式 题型一 前n项和与n的比所组成的等差数列 1．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 故选：C． 2．已知公差为的等差数列，其前项和为，且，则下列说法正确的为（    ） A． B．为等差数列 C．当取得最小值时， D．为递减数列 【答案】BC 【分析】利用等差数列前项和的中项性质，先根据、推导、的符号与公差的正负，再结合等差数列的定义、前项和的最值判断规则逐一验证选项. 【详解】∵ 在等差数列中，，， ∴ ，，即，公差. 对于A，∵ ，故 A错误； 对于B，∵ ，∴ ， 则为常数， 所以为等差数列，故 B正确； 对于C，∵ ，，即数列前项都为负，从第项起都为正， ∴ 当取得最小值时，，故 C正确； 对于D，∵ ，∴ 为递增数列，故 D错误. 故选：BC 3．等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前项和为________． 【答案】 【分析】求出，可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得数列的前项的和. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以， 所以是公差为，首项为的等差数列， 所以数列的前项和为． 故答案为：. 4．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 题型二 两个等差数列前n项和之比问题 5．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 故选：D． 6．已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．数列是单调递减数列 B．中的最大项只有 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据数列的通项公式知数列为等差数列，进而分析数列的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题可知，数列为等差数列，首项，公差， A，公差，则数列是单调递减数列，A正确； B，当时，当时，则中的最大项为或，B错误； C，，，C正确； D，当时，当时， ，D正确. 故选：ACD 7．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则____________． 【答案】 【详解】. 8．设等差数列{an}， {bn}的前n项和分别为An，Bn，且求这两个数列的第9项之比 【答案】 【分析】根据等差数列的下标性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可. 【详解】. 题型三 等差数列前n项和的其他性质及应用 9．已知为公差不为零的等差数列的前n项和，若，且，则（   ） A．4 B．5 C．10 D．11 【答案】A 【详解】因为，所以，即 所以. 又因为， 所以. 对于A，，故选A. 对于B，，因为，所以，错误. 对于C， ，因为，所以，错误. 对于D，，因为，所以，错误. 故选：A． 10．设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（    ） A． B． C． D．时，的最小值为14 【答案】AC 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确， 而，D错误； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：AC 11．等差数列的前项和是，若，则______． 【答案】 42 【分析】利用等差数列的性质求得，再根据等差数列的前项和的性质求解. 【详解】因为等差数列，，所以，故，解得， 所以. 12．已知等差数列的前项和为. (1)请用倒序相加法证明； (2)若，，，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的性质倒序相加即可. （2）根据等差数列前项和公式、通项公式列方程，因式分解消元即可得证. 【详解】（1）证明：由题意得①， ②， ①+②得， 由等差数列的性质得， 所以， 所以. （2）因为，， 所以①，②， ①-②得. 整理得， 因，所以， 所以 题型四 等差数列前n项和的二次函数特征 13．在等差数列中，是其前项和，且，，则正整数为（   ） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数， 所以由二次函数的对称性及， 可得，解得． 故选：D． 14．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是(    ) A． B． C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14 【答案】ACD 【详解】A选项：因为，所以A正确； B选项：因为，，所以，所以B错误； C选项：因为，是一个递减等差数列，当时，，所以当时，，故与均为的最大值，故C选项正确； D选项：因为，，所以，而，所以满足的的最小值为14,故D选项正确. 故选：ACD 15．设等差数列的前项和为，．若，则的值为______． 【答案】12 【分析】写出，由二次函数的对称性得到，求出答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以可看成二次函数， 由二次函数图象的对称性及， 可得，解得． 故答案为：12 16．设等差数列的前n项和为，且． (1)求及数列的通项公式； (2)求的最小值及对应的n的值． 【答案】(1)， (2)，n＝8或n＝9 【分析】（1）由等差数列的前n项和的性质可得k＝0，再由与的关系，求数列中的项和通项公式. （2）由的函数特征，求最小值及对应的n的值. 【详解】（1）由等差数列的前n项和公式可知，所以k＝0， 即，所以， 当时，． 当n＝1时也符合上式，故． （2）由（1）可得，所以是关于n的二次函数， 又，所以当n＝8或n＝9时，取得最小值，故． 题型五 二次函数法求等差数列前n项和的最值 17．已知数列，通项公式为，那么的最小值是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出首项，再利用等差数列前项和公式，求出关于的二次函数表达式，根据二次函数的性质求出的值，最后确定答案即可. 【详解】因为，则， 则， 所以当时，取得最小值，即. 故选：B． 18．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】根据条件可得，结合，利用二次函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故，又，所以， 所以， 而，所以n取值是6或7时，取最大. 故选：BC 19．记为数列的前项和，且，当取最大值时，__________. 【答案】9 【分析】方法一：根据求出数列通项，利用等差数列的定义证其为等差数列，再由等差数列的前项和的公式，利用二次函数的最值即得；方法二：同法证明数列为等差数列，由条件判断公差为负，结合推出，得到即可判断. 【详解】方法一：（利用二次函数的最值） 由，当时，； 当时，， 显然时满足上式，故， ， 可知数列为等差数列，其首项为17，公差为. 又由可得，解得， 故，即当时，取得最大值. 方法二：（利用等差数列的性质） 仿照方法一，由证明数列为等差数列， 由首项为17和可得数列公差为负数，且，即， 因，故数列的前9项和最大，即当时，取得最大值. 故答案为：9. 20．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 题型六 求等差数列前n项和的最值 21．已知等差数列的前项和为，若，，则当取最大值时，（   ） A．6或7 B．7 C．8 D．7或8 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式的性质及符号法求解即可. 【详解】由题可知．因为，所以， 所以当取最大值时． 故选：B． 22．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（     ） A．是递减数列 B． C．，，成等差数列 D．当或4时，取得最大值 【答案】ACD 【分析】由的关系求得通项公式，再结合等差数列的性质逐项判断即可. 【详解】当时，， 又，所以，则是递减数列，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故数列为等差数列， 所以，，成等差数列，故C正确； 因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远， 所以当或时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD 23．已知等差数列前项和为，，，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】由等差数列的性质以及等差数列的前项和的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，，， ，解得． ． 令，解得， 时，前项和取得最小值，为． 24．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：设等差数列的公差为，由，得， ，解得，所以． 方法二：设等差数列通项公式为，易得. 由,即，即. 解得：，，所以． （2）方法一：由题意知，， 当时，取得最小值，为． 方法二：由可得． 当，即，解得. 所以的最小值为，所以的最小值为． 题型七 根据等差数列前n项和的最值求参数 25．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 26．已知数列是等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若，且时最小，则 B．若，，则的最大值为56 C．若，则的最大值为 D．若，且最小，则 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式，逐项计算分析即可. 【详解】对于A，因为时最小，所以，即，所以，故A错误； 对于B，设的公差为，则由得，由得， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 把该式看作关于的一元二次方程，则， 解得，所以，故C正确； 对于D，由题意得，故，因为最小，所以，即，故D正确． 故选：BCD． 27．已知数列满足，，且数列的前项和为，若的最大值为，则实数的最大值是______. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第项的关系求出，进而求出数列的通项，再结合等差数列性质列出不等式组，求解即得. 【详解】数列中，， 当时，， 两式相减得，解得， 而满足，因此， 令， 因，则数列是等差数列， 由的最大值为，得，解得， 故实数的最大值是. 故答案为：. 28．记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值．以及此时的的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)当或时，取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意，化简得到，则，两式相减，求得，结合等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）和，列出方程，求得，结合等差数列的求和公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 所以， 两式相减，可得，整理得， 所以数列是公差为2的等差数列． （2）解：由（1）知：数列的公差， 因为，可得，解得， 则， 因为，所以当或时，取得最小值，最小值为． 题型八 等差数列的简单应用 29．为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意得每一圈的人数构成等差数列，结合等差数列前项和的公式即可求解. 【详解】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 故选：C． 30．已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是公差为的等差数列； B．当取得最大值时，； C．数列的前项和是， D．数列也是首项为9，公差为等差数列 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义判断A、D；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断B；利用赋值法判断C; 【详解】由，则， 所以数列是公差为的等差数列，故A对； 因为数列是公差为的等差数列，所以， 当时，当取得最大值时，故B对； 取时，，而，故C错 由，所以， 所以， 且，所以数列也是首项为9，公差为等差数列，故D对； 故选：ABD 31．甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后______分钟相遇？ 【答案】6 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得关于时间n的方程，从而可得n的值. 【详解】设n分钟后相遇，依题意得， 整理得，解得或 (舍去)， 所以甲、乙开始运动后分钟相遇． 故答案为：6. 32．某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 【答案】(1)322 (2)12 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算即可. （2）根据等差数列前项和公式列不等式求解即可. 【详解】（1）设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. （2）由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 1 学科网（北京）股份有限公司 $