2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册期中模拟卷01（范围：必修第一册第一章～第三章）

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知集合，，且．命题；命题．若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（　　） A． B． C． D． 4．设，，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数在R上单调递增，则下列a的值可以是（    ） A．2.3 B．3 C．3.5 D．4 6．已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选）若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．的值域为 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若对任意的，都有，则称是完美集合，若不是完美集合，则称是不完美集合.集合的所有非空子集中的不完美集合有______个． 13．已知正数，满足，则的最小值为________ 14．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有____________ ①    ②是奇函数 ③关于中心对称    ④ 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 设集合， 命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. (3)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16．（本小题满分15分） 已知集合，集合. (1)是否存在实数，使得是的必要不充分条件，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围. 17．（本小题满分15分） 求下列不等关系 (1)已知，，求和的取值范围； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且，求的最小值． 18．（本小题满分17分） （1）已知，求的最小值. （2）已知集合， 若命题 是真命题，求实数m的取值范围； 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中为实数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)给定实数，若存在两个不相等的实数，（且）使得，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章~第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知集合，，且．命题；命题．若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 由，则或，所以或. 所以由命题为真命题，可得. 由， 所以命题为假命题，可得或. 所以为真命题，为假命题，则实数的取值范围为. 2．已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其分子为全体奇数； ，其分子为除以 余 的整数，都是奇数， 所以 ；又 （ 时），但 （ 无整数解）， 所以 ． 3．已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解第一个不等式，再把第二个不等式分解为 ，按两根大小分类，用数轴数整数点，最后逐项检验． 【详解】由 得 或 ． 又 ，其两根为 与 ． 当 ,不等式的解集为空集不符合题意， 当 时，即，解集为 ，与 的交集为 ， 其中恰有一个整数解当且仅当 ，即 ；符合题意 当 时，即，解集为 ， ①当时，即，它与 的交集含于 ，不含整数，且 它与 的交集为空；不符合题意， ②当时，即，它与 的交集中有唯一的整数是 ，它与 的交集为；此时解集中不能有整数，符合题意， ③当时，即时，它与 的交集含于 ；解集中唯一的整数是 ，它与 的交集为，至少含有整数5，不符合题意， 综上可知关于 的不等式组 仅有一个整数解， 的取值范围是 或， 结合选项可知，ABC不可能，D可能. 4．设，，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，两边同乘，得， 即，两边加 1 得. 令，则，且. 若同为负数，则，于是，与矛盾，故必同为正数. 于是， 当且仅当，即时取等号. 故的取值范围为. 5．已知函数在R上单调递增，则下列a的值可以是（    ） A．2.3 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增， 所以需满足以下三个条件： ①当时，函数单调递增，则，解得； ②当时，函数单调递增，则，解得； ③在分段点处，必须保证左侧函数值不大于右侧函数值，即， 解得. 综上所述，实数的取值范围是，即. 观察各选项，只有选项的2.3满足该范围. 6．已知偶函数的定义域为，满足，，，，且，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干结合函数单调性定义判断出函数在上的单调性，根据函数奇偶性判断函数图象在定义域上的大致形状，结合不等式取负的条件得到关于x的不等式组求解，注意有两种情况. 【详解】由题意得，在上单调递减， 又是定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 故有时，，时，， 已知，即或， ，解得， ，解得， 综上所述，. 7．已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出命题的否定，注意内层区间非空. 【详解】原命题为假，等价于存在，使得对任意都有. 这需要的最小值小于的下界，即； 同时内层区间非空，，即. 故，即实数的取值范围为 8．设函数为与中较大的数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价于两个函数同时不大于0，先由得，则需要在上的最小值不大于0，对二次函数的对称轴进行分类讨论即可求解． 【详解】等价于且， 由得， 记． 当时，在上递减，，得， 当时，， 解得或，与无公共部分， 当时，在上递增，，得， 综上，或． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知两集合相等且右边含0，则，，故A 错误、B正确； 此时，故且，则，故C正确； ，故D正确． 10．（多选）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质、作差法及特殊值法证明即可. 【详解】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，. 所以，即，故B正确； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误． 11．（多选）若函数的定义域为R，且对任意恒成立，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】采用赋值法求解，通过对赋予特殊值先计算特殊点的函数值，排除错误选项，再推导得到的解析式，进一步验证函数的奇偶性、值域，判断剩余选项是否正确. 【详解】令，得，得或． 令，得，则，所以，A错误． 令，得，所以，B正确． 令，得，则，所以是偶函数， 的值域为，C，D均正确． 第II卷（非选择题） 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若对任意的，都有，则称是完美集合，若不是完美集合，则称是不完美集合.集合的所有非空子集中的不完美集合有______个． 【答案】 【详解】集合有9个元素，非空子集共个. 因为含0或含（其倒数不在集合中）的子集都不完美， 完美子集只能由组合，共个，其中非空7个， 所以不完美集合有个. 13．已知正数，满足，则的最小值为________ 【答案】 / 【分析】先对已知等式变形得到，再通过“1”的代换结合基本不等式求解最小值. 【详解】因为正数满足，所以可得，且，， 则 因为 当且仅当，即时等号成立， 联立，解得，满足，符合题意. 因此，即最小值为. 14．已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有____________ ①    ②是奇函数 ③关于中心对称    ④ 【答案】①③④ 【分析】对①，令得或，令得，结合求得；对②，令，结合利用偶函数定义判断；对③，令得，即可判断；对④，由②、③的解析可得函数的周期为4，从而可判断④. 【详解】对于①，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故①正确； 对于②，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故②错误； 对于③，由①的推导知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故③正确； 对于④，因为为偶函数，所以， 又由③得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故④正确. 故选：①③④ 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 设集合， 命题p：，命题q：. (1)若p是q的充要条件，求实数m的值； (2)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. (3)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由是的充要条件可知集合与集合相等，对应端点相等建立方程组求解； （）由是的充分条件可知，结合非空，利用集合端点关系列不等式组求解； （）由是的必要不充分条件可知  ，利用集合关系列不等式组，并排除的情况即可求解. 【详解】（1）已知，. 若是的充要条件，则， 所以，解得（符合的条件）. 故实数的值为. （2）若是的充分条件，则. 因为，所以，即集合非空. 要使，需满足， 解得. 故实数的取值范围是. （3）若是的必要不充分条件，则 ，即且. 要使，需满足， 解得（已知）. 又因为，所以. 综上，实数的取值范围是. 16．（本小题满分15分） 已知集合，集合. (1)是否存在实数，使得是的必要不充分条件，并说明理由； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由如下： 假设存在实数使得是的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集， 则，此不等式组无解， 所以假设不成立，即不存在， 故不存在实数使得是的必要不充分条件， (2) 【分析】（1）由题意可得集合是集合的真子集，列出不等式，求解即得； （2）先考虑的情况，再取其补集，即得所求结果． 【详解】（1）略 （2）先考虑的情况：　 当时，则，解得； 当时，则或，解得， 即当时，实数的取值范围为， 所以当时，实数的取值范围为． 17．（本小题满分15分） 求下列不等关系 (1)已知，，求和的取值范围； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且，求的最小值． 【答案】(1) 的取值范围为，的取值范围为； (2) 最小值为； (3) 8. 【分析】（1）利用不等式同向可加性求解； （2）先配凑变形后，再用基本不等式求最小值，检验等号成立条件； （3）采用乘 1 法并结合基本不等式求最小值，最后检验等号成立条件. 【详解】（1）由，得；又， 两式相加得，即， 由，得， 与相加得，即. （2）由得，将所求式配凑为， 根据基本不等式， 当且仅当即时等号成立，因此，最小值为. （3）已知且， 故 ， 根据基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 将代入，解得，满足题设条件， 因此，最小值为. 18．（本小题满分17分） （1）已知，求的最小值. （2）已知集合， 若命题 是真命题，求实数m的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由且，得， 于是， 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 故， 当时，，解得，满足，等号成立， 所以的最小值为1. （2）命题p：，为真，即， 当时，，解得，此时成立， 当时，，解得，由， 需满足，解得， 结合，得， 综上，m的取值范围是. 19．（本小题满分17分） 已知函数，其中为实数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)给定实数，若存在两个不相等的实数，（且）使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值，根据分界点分段讨论，求出函数在每段上的最小值，两段比较即可求得函数的最小值； （2）根据与的相对位置：，，分类讨论求出符合题意的的取值范围，最后取并集即可； （3）去绝对值求出的解析式，数形结合求解，由可知点可能在左侧抛物线上，也可能在右侧射线上，分类讨论，根据可得到之间的关系，代入化简，构造函数求值域即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，，此时，的最小值为4； 当时，，此时，的最小值为. 因为，所以函数的最小值为. （2）①当，即时，， 所以，，抛物线的对称轴为直线， 要使在上单调递减，需，解得. ②当，即时， 由知在处连续. （i）在上，，，要使单调递减，需； （ii）在上，，，要使在上单调递减，需，解得. 由上知，当时，满足题意. ③当，即时，， 所以，， 由一次函数的性质可知，在上单调递减，即满足题意. 综上，实数的取值范围为. （3）因为， 所以，又，作出的图象，如图： 由，可知. ①若点也在左侧抛物线上，则， 由抛物线的对称性及可得，所以， 所以. 令， 因为在上均单调递减，所以在上单调递减， 所以的值域为， 而， 所以的值域为. ②若点在右侧射线上，则，由二次函数的对称性可知. 由得，所以， 所以，由得. 令， 由可知均为正数，，所以， 由对勾函数的性质可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，而， 所以. 由可知均为负数，下面比较两者的大小关系： 因为，所以. 综上，的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $