专题13 垂直于弦的直径、圆心角 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题13垂直于弦的直径、圆心角同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线为对称轴。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对两条弧。 4.垂径计算模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，结合勾股定理计算。 5.圆心角概念：顶点在圆心的角；圆心角度数等于其所对弧的度数。 6.同圆或等圆中弧、弦、圆心角关系：一组量相等，其余对应量相等。 7.定理综合应用：线段求值、角度计算、几何证明、分类讨论。 本节依托圆的轴对称性学习垂径定理及其推论，掌握垂径定理基本计算模型；认识圆心角，掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角的等量转化，运用定理完成计算与证明，重点掌握平行弦分类讨论题型。 ✺学习目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，分清定理的条件与结论。 2.运用垂径定理求解弦长、半径、弦心距，掌握平行弦、同心圆模型的分类计算。 3.理解圆心角定义，明确弧、弦、圆心角关系定理的适用条件。 4.利用弧、弦、圆心角的关系求值、证明，会计算圆弧的度数。 5.会添加 “过圆心作弦的垂线” 辅助线，规范几何推理书写。 ✺题型归纳 题型1.利用垂径定理求值 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 题型4.利用垂径定理求解其他问题 题型5.垂径定理的推论 题型6.垂径定理的实际应用 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型10.求圆弧的度数 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点01圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 注意：直径是线段，直径不能称作圆的对称轴。 知识点02垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 备注：推论中 “弦不是直径” 为必要限制条件。 常用模型：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦端点，构造直角三角形，满足 r2=d2+。r为半径，d为弦心距，为弦长。 知识点03圆心角的概念 顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 知识点04弧、弦、圆心角的关系定理 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2.推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余对应各组量相等。 备注：定理成立的前提是同圆或等圆。 补充提醒：由弦相等推导弧相等时，两条弧必须同为劣弧或同为优弧。 ✺题型精讲 题型1.利用垂径定理求值 1．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用垂径定理即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ， ． 2．如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 3．根据题目条件，解答下列各题 (1)如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线得到圆心，以为半径画圆就得到的外接圆． （2）作等腰三角形底边上的高，由三线合一得，连接半径，在直角三角形中算出，分圆心在三角形内部、外部两种情况求出高为 9 或者 1，再用勾股定理算出长为或者． 【详解】（1）略． （2）解：过点作于点，连接． 是等腰三角形，，， ． ， ． 等腰三角形外接圆圆心在高上，外接圆半径． 在中，由勾股定理， ． 分两种情况讨论： ① 当圆心在内部时， ． 在中， ． ② 当圆心在外部时， ． 在中， ． 的长为或． 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 1．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 2．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 3．如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 2． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1) 证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 题型4.利用垂径定理求解其他问题 1．下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．如图，是 的弦，半径 于点 ，交 于点 ，已知 ，． (1)求证：； (2)求的半径． 【答案】(1)，是的半径， （垂径定理）． (2)5 【分析】（1）本题考查垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，直接利用定理即可证明弧相等； （2）设圆的半径为，结合表示出，由垂径定理得到，在中用勾股定理列方程求解半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，则， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 解得：， 的半径为． 题型5.垂径定理的推论 1．下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直），故原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直线不一定过圆心（只有平分弦的垂直直线才过圆心），故原说法错误，不符合题意； C、垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确，符合题意； D、平分弦的直径不一定平分弦所对的弧（当弦为直径时，弧平分不一定成立），故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2.《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理的推论，知，从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出，再求出，计算求出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴、N、M三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ． 3．如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 【答案】(1) 证明：连接， ∴， ∵分别为弦的中点，， ∴，， ∴ ∴； (2) 证明：∵分别为弦的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了垂径定理的推论，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）连接，则，根据中点的定义得到，根据垂径定理的推论得到，根据证明，即可得到； （2）根据垂径定理的推论得到，根据等边对等角得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2） 略 题型6.垂径定理的实际应用 1．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 【答案】 【分析】构造直角三角形，设半径为，利用垂径定理和勾股定理建立关于的方程求解． 【详解】解：设拱桥所在圆的圆心为，半径为米，连接、、，交于点． 如图： 点是拱桥最高点 ，且为弧的中点 ， ， 点到水面的距离为 ，即 ， ， 在中，由勾股定理得， ∴ ，解得， 故拱桥所在圆的半径为米． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 【答案】26寸 【分析】连接，由垂径定理可得寸，设寸，则寸，寸，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：连接． ，为的直径，寸， 寸． 设寸，则寸，寸． 由勾股定理得，即， 解得， 寸， 故直径的长为26寸． 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 1．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于点D，连结，．只要证明是等腰直角三角形，即可推出，再利用勾股定理即可求出，进而求出的半径． 【详解】解：如图，作交的延长线于点D，连结，． ∵ ，， ∴，， 又∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴的半径为． 2．如图，O为圆心，那么所对的圆心角是______，所对的圆心角是______． 【答案】 【分析】根据圆心角的定义解答即可． 【详解】解：所对的圆心角是，所对的圆心角是． 3．如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在同圆中等弧所对的圆心角相等，建立与的关系． 【详解】解：∵， ， ， ． 2．如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 【答案】/90度 【分析】先根据弧相等得出，再根据是的直径得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即的度数为． 3．如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据同圆中弧长与圆心角成正比的性质，弧与弧的关系由圆心角大小直接决定． 【详解】解：∵在同圆中，弧长与所对圆心角成正比， 又∵， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 3．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵于点， ∴， ∴， ∴点是的中点． (2) 【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系得出，根据垂径定理得出，进而得出，即可得出点是的中点； （2）根据垂径定理得出，利用勾股定理求出，进而得出，根据得出是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，连接、， ∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 题型10.求圆弧的度数 1．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 2．如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 【答案】/140度 【分析】根据在同圆中相等的弦所对的弧相等，可得 ，再结合圆周总度数为 进行计算即可． 【详解】解： 在 中， ， ， 圆周的度数为 ，且 的度数为 ， 的度数为 ． 3．如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接， ， ． ， ，． ． ； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系． （1）欲证弧弧，只需证明它们所对的圆心角相等，即． （2）利用圆周角、弧，弦的关系得，则． 【详解】（1）略 （2）解：的度数是， ． ． ， ， ． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 2．的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】过点O作于点C，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，如图： 则， 在中，． ∴圆心O到弦的距离为3． 3．如图，在中，是弦，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 二、填空题 4．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 5．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为___________． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 6．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 【答案】 【分析】过点作于，延长交于，连接、，根据垂径定理可得，，利用勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于，连接、， 由题意可知，，，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴油面上升了． 三、解答题 7．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． (2) 证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 8．如图，已知的两条弦和平分． (1)求证：． (2)若，求弦的弦心距． 【答案】(1)证明：如下图，过点O作，垂足为D，过点O作，垂足为E， 平分，，， ， ∴， ； (2) 【分析】（1）过点O作，，由角平分线的性质可得，根据在同圆中，两条弦的弦心距相等，则它们所对应的劣弧相等，即可得答案； （2）由垂径定理求出的长，再根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：略； （2）由（1）得，， ， ， ． 9．如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）． (1)求拱桥所在圆的半径； (2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）． 【答案】(1)10m (2) 【分析】（1）设圆心为，由垂径定理得，在中利用勾股定理列方程求出半径； （2）水位上升后拱高变小，仍用"半径、弦心距、半弦长"的直角三角形模型，以新弦心距代入勾股定理求新水面的宽度． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，半径为，连接、（如图），则、、三点共线，， ， 是弧的中点，且， （垂径定理）， 在中，，即， ， 解得， 拱桥所在圆的半径为． （2）解：水位上升后，设水面与弧交于点、，过作于（如图），则、、、四点共线，， 此时拱高为， ， 且过圆心， （垂径定理）， 在中，，， ， ， 水面的宽度为． 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用，关键是将拱桥问题化归为"半径、弦心距、半弦长"组成的直角三角形模型；水位变化只改变弦心距，模型不变，重新代入勾股定理即可求解． 10．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 【答案】(1) (2)四边形是菱形． 因为， 所以， 因为， 所以为等边三角形， 所以， 所以四边形是菱形 ② 【分析】第问，由弧的度数得到圆心角，判定等腰直角三角形求出弦长；看到两边中点，直接利用三角形中位线定理快速计算． 第通过弧相等得到圆心角为，结合半径相等证明等边三角形，根据四边相等判定菱形． 第采用构造中位线的思路，取中点，构造两条中位线、，借助菱形垂直关系推导出，在直角三角形中用勾股定理求． 【详解】（1）解：连接，如图1， 因为的度数为， 所以， 因为， 所以为等腰直角三角形， 所以， 因为为弦的中点，为弦的中点， 所以． （2）①略 解：如图2，取中点，连接，，连接交与点，      所以， 因为，为菱形且 所以， 所以， 所以， 因为菱形， 所以， 所以， 在中，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13垂直于弦的直径、圆心角同步培优讲义 ✺知识框架 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线为对称轴。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对两条弧。 4.垂径计算模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，结合勾股定理计算。 5.圆心角概念：顶点在圆心的角；圆心角度数等于其所对弧的度数。 6.同圆或等圆中弧、弦、圆心角关系：一组量相等，其余对应量相等。 7.定理综合应用：线段求值、角度计算、几何证明、分类讨论。 本节依托圆的轴对称性学习垂径定理及其推论，掌握垂径定理基本计算模型；认识圆心角，掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角的等量转化，运用定理完成计算与证明，重点掌握平行弦分类讨论题型。 ✺学习目标 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论，分清定理的条件与结论。 2.运用垂径定理求解弦长、半径、弦心距，掌握平行弦、同心圆模型的分类计算。 3.理解圆心角定义，明确弧、弦、圆心角关系定理的适用条件。 4.利用弧、弦、圆心角的关系求值、证明，会计算圆弧的度数。 5.会添加 “过圆心作弦的垂线” 辅助线，规范几何推理书写。 ✺题型归纳 题型1.利用垂径定理求值 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 题型4.利用垂径定理求解其他问题 题型5.垂径定理的推论 题型6.垂径定理的实际应用 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型10.求圆弧的度数 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点01圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 注意：直径是线段，直径不能称作圆的对称轴。 知识点02垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 备注：推论中 “弦不是直径” 为必要限制条件。 常用模型：过圆心作弦的垂线，连接圆心与弦端点，构造直角三角形，满足 r2=d2+。r为半径，d为弦心距，为弦长。 知识点03圆心角的概念 顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 知识点04弧、弦、圆心角的关系定理 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2.推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余对应各组量相等。 备注：定理成立的前提是同圆或等圆。 补充提醒：由弦相等推导弧相等时，两条弧必须同为劣弧或同为优弧。 ✺题型精讲 题型1.利用垂径定理求值 1．如图，是的直径，于，，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 3．根据题目条件，解答下列各题 (1)如图，用无刻度的直尺和圆规作出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若等腰的外接圆的半径为，底边，则的长为________． 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 1．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 2．已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 3．如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 题型3.利用垂径定理求同心圆问题 1．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 2． 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 3．如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 题型4.利用垂径定理求解其他问题 1．下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 2．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    3．如图，是 的弦，半径 于点 ，交 于点 ，已知 ，． (1)求证：； (2)求的半径． 题型5.垂径定理的推论 1．下列说法正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C．垂直于弦的直径平分弦 D．平分弦的直径平分弦所对的弧 2.《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 3．如图，在中，分别为弦的中点，，不平行于．求证： (1) (2)． 题型6.垂径定理的实际应用 1．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 2．如图是某圆弧形拱桥的截面示意图，水面宽，拱桥最高点到水面的距离为，则拱桥所在圆的半径为______m． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用现代语言表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．请你解答这个问题． 题型7.圆心角概念辨析及简单运算 1．如图，点、、在上，，，，则的半径为（） A． B． C． D． 2．如图，O为圆心，那么所对的圆心角是______，所对的圆心角是______． 3．如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 题型8.利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点E，D，C在上，已知，那么的度数为______． 3．如图，在中，且，垂足为．若，，求的半径． 题型9.利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．在同圆中，圆心角，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 3．如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，与交于点． (1)若，求证：点是的中点； (2)若，，，求的长． 题型10.求圆弧的度数 1．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若的度数为，则的度数为________． 3．如图，已知是的直径，点C、D都在上，． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 2．的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 3．如图，在中，是弦，，的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 5．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为___________． 6．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 三、解答题 7．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 8．如图，已知的两条弦和平分． (1)求证：． (2)若，求弦的弦心距． 9．如图，某圆形拱桥的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）． (1)求拱桥所在圆的半径； (2)水位上升，求水面的宽度（保留根号）． 10．在中，半径为． (1)如图，若为上一个点（不与，重合），且，若为弦的中点，为弦的中点，连结，求的长． (2)如图，若，为直径，连结，点为弦的中点，点为弦的中点，连结． ①判断四边形的形状，并说明理由． ②求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $