29.2.1垂直于弦的直径 6大题型·一题三变 专项讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，以圆的对称性为基础，系统梳理垂径定理（垂直于弦的直径平分弦及所对弧）、推论（平分非直径弦的直径垂直弦）及半径、半弦长、弦心距的勾股定理模型，结合易错点解析与技巧总结，构建从概念到应用的学习支架。 该资料亮点在于题型设计覆盖求值、平行弦、同心圆及实际应用等6大类型，通过筒车、拱桥等实例培养几何直观与应用意识，借助辅助线作法与推理训练提升运算能力和推理能力。课中辅助教师系统授课，课后例题变式助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题29.2.1垂直于弦的直径 【新人教版】 【题型1 利用垂径定理求值】...............................................................................................................................2 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】...............................................................................................................5 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】...............................................................................................................9 【题型4 利用垂径定理求其他问题】.................................................................................................................13 【题型5 垂径定理的推论】.................................................................................................................................17 【题型6 垂径定理的实际应用】.........................................................................................................................19 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3.垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.常用基本模型 过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形： 半径r、弦长一半、圆心到弦的距离d，满足勾股 定理： 易错1：推论缺少限制条件 直接写“平分弦的直径垂直于弦”，忽略弦不能是直径；两条直径互相平分但不一定垂直。 易错2：不会构造直角三角形 已知弦长、圆心距、半径，不做垂线，无法利用勾股定理计算。 易错3：理解弧平分出错 垂径定理同时平分弦所对优弧、劣弧，容易只写一条弧。 易错4：漏考虑双解情况 一条弦与圆心位置不确定，部分题型存在两种距离、两种弧的情形。 技巧1：速记口诀 直径垂直一条弦，平分弦还平分弧；平分弦时要留意，弦为直径不成立；弦心距，半径，半弦构成直角三。 技巧2：通用辅助线作法 遇到弦的相关计算与证明：过圆心作弦的垂线。 技巧3：计算固定流程 作出弦心距→得到直角三角形→套用列式求解。 技巧4：定理灵活记忆 一条直线只要满足以下五条中任意两条，可推出其余三条：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对劣弧；⑤平分弦所对优弧。（注意：由②③推导时，弦不能为直径） 题型一 利用垂径定理求值 【例1】（2026·江苏徐州·三模）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 【变式1-2】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       【变式1-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 【例2】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 【例3】（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 题型四 利用垂径定理求其他问题 【例4】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧；以为直径画半圆交弧于点，连接，．若，则的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，垂径定理，勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握以上性质和定理是解题的关键．作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理： （1）由圆周角定理得到，结合平行得到，进一步由垂径定理即可得出结论； （2）设半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆的直径，是圆上的两点， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ∴为的中点； （2）解：设半径为，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得； ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理． 根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可知，等量代换可证结论成立； 【详解】证明：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ； 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 题型五 垂径定理的推论 【例5】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． (1)求证：； (2)求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)弦的长为． 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理． （1）连接，利用垂径定理即可证明； （2）由题意得：，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理得到，，接着计算出得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴； （2）解：设与的交点为， 为直径， ， 在中，， 点是中点． ， ， ， ， 在中，． 题型六 垂径定理的实际应用 【例6】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 【变式6-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． 【答案】2 【分析】如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作，利用垂径定理和勾股定理求出的长，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作， ∵， ∴，， ∴，， ∵，, ∴O、E、F三点共线， ∴，即油面上升了． 【变式6-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【答案】 【分析】连接，由为中点，为最高点可得，，设圆半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入数据整理即可得到与的关系 【详解】解：连接， ∵为中点，为月亮门最高点， ∴，， ∴， 设圆的半径长为，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∵为月亮门底部的宽度， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.2.1垂直于弦的直径 【新人教版】 【题型1 利用垂径定理求值】...............................................................................................................................2 【题型2 利用垂径定理求平行弦问题】...............................................................................................................3 【题型3 利用垂径定理求同心圆问题】...............................................................................................................3 【题型4 利用垂径定理求其他问题】...................................................................................................................4 【题型5 垂径定理的推论】...................................................................................................................................5 【题型6 垂径定理的实际应用】...........................................................................................................................6 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD 3.垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.常用基本模型 过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形： 半径r、弦长一半、圆心到弦的距离d，满足勾股 定理： 易错1：推论缺少限制条件 直接写“平分弦的直径垂直于弦”，忽略弦不能是直径；两条直径互相平分但不一定垂直。 易错2：不会构造直角三角形 已知弦长、圆心距、半径，不做垂线，无法利用勾股定理计算。 易错3：理解弧平分出错 垂径定理同时平分弦所对优弧、劣弧，容易只写一条弧。 易错4：漏考虑双解情况 一条弦与圆心位置不确定，部分题型存在两种距离、两种弧的情形。 技巧1：速记口诀 直径垂直一条弦，平分弦还平分弧；平分弦时要留意，弦为直径不成立；弦心距，半径，半弦构成直角三。 技巧2：通用辅助线作法 遇到弦的相关计算与证明：过圆心作弦的垂线。 技巧3：计算固定流程 作出弦心距→得到直角三角形→套用列式求解。 技巧4：定理灵活记忆 一条直线只要满足以下五条中任意两条，可推出其余三条：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对劣弧；⑤平分弦所对优弧。（注意：由②③推导时，弦不能为直径） 题型一 利用垂径定理求值 【例1】（2026·江苏徐州·三模）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京东城·期中）已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【变式1-2】（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【变式1-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 【例2】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（25-26九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 【例3】（25-26九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 题型四 利用垂径定理求其他问题 【例4】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧；以为直径画半圆交弧于点，连接，．若，则的面积为______． 【变式4-1】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． (1)求证：为的中点． (2)若，求的长度． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，，求证：． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 题型五 垂径定理的推论 【例5】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【变式5-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． (1)求证：； (2)求弦的长． 题型六 垂径定理的实际应用 【例6】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． 【变式6-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____． 【变式6-3】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 1 学科网（北京）股份有限公司 $