精品解析：黑龙江哈尔滨顺迈学校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

顺迈初中2026-2027学年度（上）学期八年级 数学学科学情监测试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 10或14 5. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 6. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，在中，，是斜边上的高，若，，则长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤若，则四边形的面积．其中正确的结论有几个（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 计算： _______． 12. 在中，，则的度数为__________ ． 13. 计算：______． 14. 已知，则______________． 15. 如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折，若，则的度数为_________ 16. 如果，那么我们规定，例如：因为，所以，若，那么______． 17. 如图，在中，，，，则的度数是______． 18. 如图，在中，，，垂足为D，已知，，则______． 19. 在等腰直角三角形中，，，过点A、点B分别作垂直于经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F，且，，则的长是______． 20. 如图，已知和均为等边三角形，且B、C、D三点共线，连接和，在和上截取，连接、、，则①平分；②；③；④是等边三角形，以上说法正确的是______（填写正确语句的序号）． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 先化简，再求值： ，其中，． 23. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，，作以为腰的等腰三角形，使点在格点上； （2）在图2中，在上确定一点，使得； （3）已知，，，直接写出（2）中的长． 24. 如图①，，，点在上，且． （1）求证：． （2）如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 25. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 26. 已知，和均为等腰直角三角形，连接，交于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点C，D，E在同一条直线上时，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，F为上一点，连接，若，求的长． 27. 已知：如图，中，，点A在y轴上，点B、点C分别在x轴的负半轴与正半轴上，，． （1）求点B的坐标． （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作轴，交直线于点M，设线段的长为d，点P的运动时间为t秒，求d与t的关系式（用t表示d，不用写出t的取值范围）． （3）在（2）的条件下，动点Q从点B向终点C运动（与点P同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边（点Q、P、H按顺时针顺序排列），连接，若，求t值和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺迈初中2026-2027学年度（上）学期八年级 数学学科学情监测试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁、不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：，运算错误； B选项：，运算错误； C选项：，运算正确； D选项：，运算错误． 3. 点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 4. 已知等腰三角形的一边长为2，一边的长为6，则此等腰三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 10或14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一边长为2，一边的长为6， ∴等腰三角形的三边长为2，2，6或2，6，6， 当三边为2，2，6时，，三角形不存在，无法计算周长； 当三边为2，6，6时，，三角形存在， 故周长为； 故选A． 5. 如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　） A. 18° B. 20° C. 30° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝2∠BAD，再根据三角形外角性质得出∠ADC＝3∠BAD，根据三角形内角和列出方程即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝2∠BAD， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B， ∵∠B＝2∠BAD， ∴∠ADC＝3∠BAD， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC+∠C＝90°， ∴3∠BAD+2∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝18°， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，有三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A. 两内角的平分线的交点处 B. 两边高线的交点处 C. 两边中线的交点处 D. 两边垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查运用线段垂直平分线的性质来确定超市的位置，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴超市应建在两边垂直平分线的交点处， 故选：D． 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 8. 如图，在中，，是斜边上的高，若，，则长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，求出，运用所对直角边等于斜边的一半 求出，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴； ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线；先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得的长，即为的最小值． 【详解】连接， 等边中，是边上的高 ∴垂直平分 ， 当，， 三点共线时，， 等边中，是边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ， 的最小值为， 故选：B． 10. 如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点、，当在内绕顶点旋转时（点不与重合），给出以下个结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤若，则四边形的面积．其中正确的结论有几个（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形的性质与判定，观察全等三角形，寻找条件证明，根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断，即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； ∵是定值，随着点，在的位置变化而变化，当，分别为，中点时，， ∴在其他旋转位置下，，故④错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， ∴四边形的面积，故⑤正确； ∴正确的结论为：①②③⑤，共个． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 计算： _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则，准确进行计算．根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在中，，则的度数为__________ ． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：50. 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】观察到两个幂的指数相差1，可拆分高次幂构造同指数幂，利用积的乘方逆运算简化计算． 【详解】解： 14. 已知，则______________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用以及幂的乘方的逆用求解即可． 【详解】解：． 15. 如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折，若，则的度数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】依据角的和差关系即可得到的度数，再根据折叠的性质即可得到的度数． 【详解】解：，， ， 由折叠可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16. 如果，那么我们规定，例如：因为，所以，若，那么______． 【答案】81 【解析】 【分析】根据新定义规则将有序数对转化为乘方等式求出a，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题中规定，由可得， .∵， ∴； 将代入待求式，得． 17. 如图，在中，，，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的内角和，求出，根据，求出，再根据等边对等角，三角形的内角和，即可求出． 【详解】解：∵是直角三角形且， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，，垂足为D，已知，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】延长至点E，使得，则，由三角形外角的性质得到，从而，因此，再由等腰三角形的“三线合一”求解即可． 【详解】解：延长至点E，使得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19. 在等腰直角三角形中，，，过点A、点B分别作垂直于经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F，且，，则的长是______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】结合等腰直角三角形的直角条件与垂直关系，通过角的等量代换证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段和差关系计算的长度 【详解】解：如图1，∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 此时； 如图2，∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 此时． 20. 如图，已知和均为等边三角形，且B、C、D三点共线，连接和，在和上截取，连接、、，则①平分；②；③；④是等边三角形，以上说法正确的是______（填写正确语句的序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由等边三角形的性质得到，求出，即可判断①．根据即可判断②；证明得到，再证，得到，，推出即可判断④；结合的长是等边的边长，的长度取决于点M的位置，即可判断③． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∵B、C、D三点共线， ∴， ∴平分，故①正确． ∵， ∴，故②正确． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，故④正确． 的长是等边的边长，的长度取决于点M的位置，不一定等于，故③错误． 综上所述，说法正确的是①②④． 三、解答题（共计60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 22. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简的结果：，值为： 【解析】 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 23. 如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，，作以为腰的等腰三角形，使点在格点上； （2）在图2中，在上确定一点，使得； （3）已知，，，直接写出（2）中的长． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）如图，点即为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）取点向右5个单位长度处的格点即为点，连接、即可； （2）取点向右1个单位长度，向上4个单位长度处的格点，连接，与的交点即为点； （3）由可得，利用等面积法求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由图可知，，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 24. 如图①，，，点在上，且． （1）求证：． （2）如图②，连接，设交于点，过点作于点，在不添加辅助线的前提下，直接写出图②中的4对全等三角形[（1）中已证明过的除外]． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ， ； （2） ，，， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题意可证，然后根据定理可证，进而可得； （2）由图可知，对全等三角形分别为，，，，然后根据定理、定理、定理、定理依次证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 图②中的对全等三角形分别为，，，，证明如下： ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． 综上所述，图②中的对全等三角形为，，，． 25. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元 （2）该商场最少购进甲种纪念品件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元． 【小问2详解】 设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该商场最少购进甲种纪念品件． 26. 已知，和均为等腰直角三角形，连接，交于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点C，D，E在同一条直线上时，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，F为上一点，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵,,， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明得，然后根据三角形内角和可证，从而； （2）由等腰直角三角形的性质得，进而可求出的度数； （3）连接，延长交于点G，证明得，，进而可证，设，则，再求出，，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点C，D，E在同一条直线上， ∴； 【小问3详解】 解：连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵，， ∴，． ∵，， ∴四边形是梯形． ∵， ∴， 解得， ∴． 27. 已知：如图，中，，点A在y轴上，点B、点C分别在x轴的负半轴与正半轴上，，． （1）求点B的坐标． （2）动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作轴，交直线于点M，设线段的长为d，点P的运动时间为t秒，求d与t的关系式（用t表示d，不用写出t的取值范围）． （3）在（2）的条件下，动点Q从点B向终点C运动（与点P同时出发），速度为3个单位长度/秒，作等边（点Q、P、H按顺时针顺序排列），连接，若，求t值和的长． 【答案】（1） （2） （3），或， 【解析】 【分析】（1）根据点C的坐标得出的长度，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半，得出各条边的长度，最后根据勾股定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质可知，再结合含角的直角三角形，角所对的边是斜边的一半即可得出关系式； （3）分两种情况进行讨论，当点H在x轴下方时和当点H在x轴上方时，画出辅助线，根据等边三角形的性质构建全等三角形即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴． 【小问2详解】 解：如图： ∵点P的速度每秒1个单位长度，运动时间为t秒， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点H在x轴下方时，如图：在x轴上截取，连接 ∵，， ∴为等边三角形，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得：， 当时，， 根据勾股定理得：， ∴，． 当点H在x轴上方时，如图：在x轴上截取，连接， ∵，， ∴为等边三角形，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，解得：， 当时，， 根据勾股定理得：， ∴，． 综上：，或，． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，含角的直角三角形三边之间关系，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $