精品解析：黑龙江哈尔滨市英才学校2026-2027年学年上学期期中八年级数学试卷（五四制）

2026-2027（上）期中考试试题试卷初三数学学科 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC≌△DEF，AD=2，CD=1，则DF的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，在中，，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 能够完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等腰三角形全等 8. 等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 9. 数学活动课中，小王同学和小李同学分别画了和，尺寸如图，如果把小王同学画的三角形面积记作，小李同学画的三角形面积记作，那么你认为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，为中点，连接，为中点，连接，的面积为，为上一动点，连接，则的最小值为（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在中，是的角平分线，，则的度数为______． 12. 在中，，则的度数为______． 13. 三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的取值范围是________． 14. 如图，在中，，，则的度数为______． 15. 如图，在中，平分，交于点E，过点E作交于点D，若，，则的长为______． 16. 如图，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝____度． 17. 如图，中，为边的中线，E为的中点，连接，若的面积为20，则______． 18. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______． 19. 如图，在中，，是边上的高，则______． 20. 已知中，，，垂足为D，E为上一点，连接，且，F为上一点，连接，且，有如下结论：①；②；③连接，则；④若四边形的面积为15，，则，其中正确的是______（填序号）． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 解方程组及不等式组： （1）解方程组； （2）解不等式组． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图、图中分别画出和，使得和都与全等（要求点和点的位置不相同），并直接写出的面积______． 23. 如图，的边和的边在同一条直线上，， （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 如图，于点，于点，与交于点，连接，且． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等的三角形． 25. 某汽车店销售汽车，上周售出1辆A型汽车和3辆B型汽车，销售额为96万元；本周售出2辆A型汽车和1辆B型汽车，销售额为62万元． （1）求每辆A型汽车和B型汽车售价各多少万元； （2）甲公司需要向该汽车店购买A、B两种型号的汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进A型汽车多少辆？ 26. 已知中，于点，于点，交于点． （1）如图，若，请直接写出的度数； （2）如图，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，在上取点，使，在上取点，使，连接，若的面积为，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为第二象限一点，过点作轴于点，且，． （1）如图1，直接写出点坐标______． （2）如图2，点为射线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的关系式，不要求写出的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上时，在轴正半轴上取点，使，过点作交轴于点，在上取点，使，连接，为上一点，连接并延长交轴于点，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027（上）期中考试试题试卷初三数学学科 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的特性，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：因为三角形具有稳定性，所以四个选项中的图形具有稳定性的是直角三角形． 故选：C． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，对各选项图形逐一判断即可． 【详解】解： 、该图形沿过圆心的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； 、该图形无论沿哪条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形，符合题意； 、该图形沿过中心的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意； 、该图形沿过顶点的直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，不符合题意. 3. 如图，△ABC≌△DEF，AD=2，CD=1，则DF的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】AC＝AD＋CD＝3，再根据△ABC≌△DEF，可得DF＝AC， 即可求解． 【详解】解：∵ AC＝AD＋CD，AD＝2，CD＝1， ∴ AC＝2＋1＝3， ∵ △ABC≌△DEF， ∴ DF＝AD＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等的性质． 4. 如图，在中，，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 6. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 周长相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 能够完全重合的两个三角形全等 D. 所有的等腰三角形全等 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.周长相等的两个三角形对应边不一定相等，不一定全等，错误； B.面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，错误； C.能够完全重合的两个三角形全等，正确； D.所有等腰三角形的边长不一定对应相等，不一定全等，错误． 8. 等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分腰长为和两种情况讨论，结合三角形三边关系取舍后计算周长． 【详解】解：当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴这个三角形的周长为． 综上所述，这个三角形的周长为． 9. 数学活动课中，小王同学和小李同学分别画了和，尺寸如图，如果把小王同学画的三角形面积记作，小李同学画的三角形面积记作，那么你认为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，证明，则，结合底边相等得出面积相等． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即． 10. 如图，中，，为中点，连接，为中点，连接，的面积为，为上一动点，连接，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用三角形中线平分面积的性质求出的面积，再根据垂线段最短可知当时最小，此时为边上的高． 【详解】解：∵为中点， ∴， ∵为中点，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， 解得， ∵为上一动点， ∴当时，取得最小值，最小值为，如图， ∴的最小值为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 在中，是的角平分线，，则的度数为______． 【答案】 70∘ 【解析】 【分析】已知是的角平分线，给出半角的度数，根据角平分线的定义，全角为半角的2倍，直接计算即可． 【详解】解：如图： ∵是的角平分线． ∴， ∵， ∴． 12. 在中，，则的度数为______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．由三角形内角和定理可得，结合已知，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 三角形的两边长分别为4和6，那么第三边的取值范围是________． 【答案】2＜a＜10． 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为4和6，第三边的长为a， ∴根据三角形的三边关系，得：6-4＜a＜6+4，即：2＜a＜10． 故答案为：2＜a＜10． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和． 14. 如图，在中，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质得，结合条件即可计算出的度数． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为． 15. 如图，在中，平分，交于点E，过点E作交于点D，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据线段的和差关系.即可求解. 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 点在上，  ， ，，  . 16. 如图，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝____度． 【答案】108 【解析】 【详解】在△ABF中,∵∠A=60°,∠B=24° ∴∠AFB=180°−∠A−∠B=180°−60°−24°=96° 在△ABF与△ACE中：AE=AF，AB=AC，∠A为公共角 ∴△ABF≌△ACE，∠AFB=∠AEC=96° 在四边形AFOE中：∠EOF=360°−∠AFB−∠AEC−∠A=360°−96°−96°−60°=108° ∵∠EOF与∠BOC是对顶角 ∴∠EOF=∠BOC=108°， 故答案为108． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据三角形全等及四边形的内角和定理解答本题，要求∠BOC的大小，只要求得对顶角∠EOF的大小就可以了，可以利用四边形的内角和为360°来求解即可． 17. 如图，中，为边的中线，E为的中点，连接，若的面积为20，则______． 【答案】 10 【解析】 【分析】利用三角形中线平分三角形面积的性质，首先根据是的中线，得出和的面积；然后根据是的中点，得出和的面积，最后求和即可． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中点， 在中，是中线，；在中，是中线，， ． 18. 在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论． 【详解】解：分两种情况： ①如图1，当∠ADC=90°时， ∵∠B=20°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠BCD=90°－∠B=90°－20°=70°； ②如图2，当∠ACD=90°时， ∵∠A=60°，∠B=20°，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠ACB=180°－∠B－∠A=180°－20°－60°=100°， ∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=100°－90°=10°， 综上，∠BCD的度数为70°或10°， 故答案为：70°或10°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，能够分情况画出图形进行讨论是解决本题的关键． 19. 如图，在中，，是边上的高，则______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题关键是利用三角形内角和求出的度数，再结合直角三角形的性质求出． 【详解】解：，三角形内角和为， ， 即， ， 在中，是边上的高， ， ， 故答案为：． 20. 已知中，，，垂足为D，E为上一点，连接，且，F为上一点，连接，且，有如下结论：①；②；③连接，则；④若四边形的面积为15，，则，其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可判断①；证明垂直平分，可得，可判断②；连接，，证明点F在的垂直平分线上，可得平分，可判断③；过点F作于点G，证明，可得，证明，可得，再由，可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接，， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴平分，即， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 如图，过点F作于点G， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故④错误； 综上所述，正确的为①②③． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25~27题各10分，共60分） 21. 解方程组及不等式组： （1）解方程组； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得， 解得， 把代入得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长为，的三个顶点均在小正方形的顶点上．在图、图中分别画出和，使得和都与全等（要求点和点的位置不相同），并直接写出的面积______． 【答案】如图所示，和即为所求： ； 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质：对应边、对应角相等，方式一：以为对称轴，作的轴对称图形，即为所求；方式二：以线段的垂直平分线为对称轴，作的轴对称图形，也符合题意；根据割补法计算的面积． 【详解】解：∵在的正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴． 故答案为：. 23. 如图，的边和的边在同一条直线上，， （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴． ∴； （2） 证明：∵ ∴即 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由平行得到，再根据外角证明，即可证明； （2）先证明，再根据证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，于点，于点，与交于点，连接，且． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等的三角形． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2），，， 【解析】 【分析】（1）利用角角边的判定定理证明，即可得到； （2）利用全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 综上，全等的三角形为，，，． 25. 某汽车店销售汽车，上周售出1辆A型汽车和3辆B型汽车，销售额为96万元；本周售出2辆A型汽车和1辆B型汽车，销售额为62万元． （1）求每辆A型汽车和B型汽车售价各多少万元； （2）甲公司需要向该汽车店购买A、B两种型号的汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进A型汽车多少辆？ 【答案】（1） 每辆A型汽车售价为18万元，每辆B型汽车售价为26万元 （2） 至少购进A型汽车2辆 【解析】 【分析】（1）根据两周的销售数量与销售额的等量关系，列二元一次方程组求解两种车型的售价； （2）根据购车总费用的限制条件，列一元一次不等式求解A型汽车的最小购进数量. 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车售价为万元，每辆B型汽车售价为万元， 根据题意，得  ， 解得， 答：每辆A型汽车售价为18万元，每辆B型汽车售价为26万元； 【小问2详解】 解：设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆， 根据题意，得，  解得， ∵ 为正整数，且为正整数， ∴ 的最小值为2， 答：至少购进A型汽车2辆. 26. 已知中，于点，于点，交于点． （1）如图，若，请直接写出的度数； （2）如图，若，求证：； （3）如图，在（2）的条件下，在上取点，使，在上取点，使，连接，若的面积为，求的长． 【答案】（1） （2）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得到； （2）根据等角的余角相等可得，继而根据可证，继而得到； （3）过点作于点，过点作于点，连接，通过证明是等腰直角三角形，继而根据证明，得到，，通过证明，得到，，从而得到，解得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：（舍去负值）． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为第二象限一点，过点作轴于点，且，． （1）如图1，直接写出点坐标______． （2）如图2，点为射线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的关系式，不要求写出的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上时，在轴正半轴上取点，使，过点作交轴于点，在上取点，使，连接，为上一点，连接并延长交轴于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求出，从而得到点的坐标； （2）先表示出，再利用三角形面积公式表示出； （3）延长至点，使得，连接，作轴于点，容易证明，则，，进而可证明，则，．利用一线三等角模型可证明，则，，由可得，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 将，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴由图可知，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接，作轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $