精品解析：福建省泉州实验中学2025-2026学年高二上学期十月月考数学试卷

泉州实验中学2027届高二上学期月考数学试卷 一、单选题 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A. B. C. D. 4. 四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（ ） A. B. 为不可能事件 C. 事件 A，B 相互独立 D. 7. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体的棱长为3，空间中一点M满足，其中x，y，，且．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知事件A，B，且，，则（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若事件A与事件B互斥，则 C. 若，则事件A与事件B相互独立 D. 若事件A与事件B互斥，则 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 在长方体中，，，，空间中的点P满足，x，y，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为 三、填空题 12. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为______. 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 14. 如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 四、解答题 15. 甲、乙两人组成团队参加竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一次，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率； （2）求团队在两轮活动中猜对三次的概率． 16. 四棱锥，底面为平行四边形．H为棱的三等分点，且．设向量，，． （1）用、、表示向量、； （2）点G在上，，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值． 17. 在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点 （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离． 18. 在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. （1）若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率. （2）在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章. （ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率. 19. 如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． （3）求直线与平面夹角正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州实验中学2027届高二上学期月考数学试卷 一、单选题 1. 过点和点的直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2. 抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子有种情况， 则两个点数相等的情况有6种， 所以两个点数相等的概率为. 故选：A. 3. 若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 4. 四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 直角梯形 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出四边形四条边所在直线的斜率，利用对边和邻边斜率之间的关系从而确定直线的位置的关系，最后确定四边形的形状即可. 【详解】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以为基底向量，则， 所以 所以． 6. 从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（ ） A. B. 为不可能事件 C. 事件 A，B 相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 7. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解. 【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E， 则，，而， 因此，即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：A 8. 已知正四面体的棱长为3，空间中一点M满足，其中x，y，，且．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记，则，根据空间向量共面定理，知四点共面，所以长度的最小值为点到平面的距离，结合正四面体的性质求得长度的最小值，进而得到长度的最小值． 【详解】正四面体中，， 记，则， 因为，所以四点共面， 所以当平面时，长度最小，此时点为正的中心， ，， 所以长度的最小值为． 二、多选题 9. 已知事件A，B，且，，则（ ） A. 事件A与事件B互为对立事件 B. 若事件A与事件B互斥，则 C. 若，则事件A与事件B相互独立 D. 若事件A与事件B互斥，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件A与事件B互斥，则，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，则事件A与事件B相互独立，C正确； 若事件A与事件B互斥，则不可能同时发生，即，D错误. 故选：BC. 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：根据向量平行的坐标关系即可判断；B：根据向量模的公式即可计算并且作出判断；C：根据向量数量积进行判断；D：根据投影向量计算公式进行计算即可． 【详解】A：由题意得，，而，∴两向量不平行，A错误； B：∵，，∴，B正确； C：∵，∴两向量不垂直，C错误； D：在上的投影向量为，D正确． 故选：BD． 11. 在长方体中，，，，空间中的点P满足，x，y，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点P在平面上 B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，且P在长方体表面上，则P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当时，可得，可判断A；平面，可得的值最大时，与面所成角最小，可判断B；利用等体积法可求得最小值判断C；求得轨迹长可判断D. 【详解】对于A，当时，可得，所以， 所以点在平面上，故A正确； 对于B，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，且时，点在直线上，到平面的距离为定值， 要使与面所成角最小，则的值最大，由题意， 故，直线与所成角无限趋于零，故正切值无限趋于零，故B错误； 当时，点在平面内，的最小值即为点到平面的距离， 由勾股定理可得，， ， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设到平面的距离为，由， 得，所以， 解得，故C正确； 当，在表面内的轨迹是以为圆心，4为半径的一段圆弧， 圆弧交于点，可得，所以， 所以，所以， 当在表面内时，由，所以的轨迹是以为圆心， 2为半径的圆的，所以轨迹长度为， 在平面内的轨迹与在内的相同为， 在平面内轨迹是以为圆心，4为半径的圆的，所以轨迹长度为， 所以若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为，故D正确. 三、填空题 12. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由方向向量得斜率，从而得倾斜角． 【详解】由题意直线的一个方向向量是， 则直线的斜率为，因此倾斜角为. 故答案为：． 13. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出直线的一个单位方向向量,利用点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又, 则点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有，由题可得，然后由列举法可得答案. 【详解】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有.由题有. 由题可得可为 ，共24种情况. 满足的有共6种，则对应概率为：. 故答案为： 四、解答题 15. 甲、乙两人组成团队参加竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一次，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率； （2）求团队在两轮活动中猜对三次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式可求； （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式可求. 【小问1详解】 设甲在第轮中猜对事件为，乙在第轮中猜对事件为， 团队在第一轮活动中至少猜对一次事件为， 则， 所以团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率为. 【小问2详解】 设团队在两轮活动中猜对三次事件为， 则 ， 所以团队在两轮活动中猜对三次的概率为. 16. 四棱锥，底面为平行四边形．H为棱的三等分点，且．设向量，，． （1）用、、表示向量、； （2）点G在上，，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由给定空间向量的基底，结合向量线性运算求解. （2）由（1）中信息，利用四点共面的充要条件列式求解. 【小问1详解】 四棱锥的底面为平行四边形，向量， 因此，由， 得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，而， 则，由点平面，四点共面， 因此，解得，所以实数m的值为. 17. 在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点 （1）求与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【小问1详解】 如图建系，，，，，， 则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 18. 在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为，在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响. （1）若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率. （2）在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章. （ⅰ）若，，求甲、乙共获得3枚印章的概率； （ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为，两人都获得两枚印章的概率为.求甲、乙至少有1人获得印章的概率. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）（i）由独立乘法、互斥加法公式即可求解；（ii）先求得，再根据乘法公式、对立事件概率公式即可求解. 【小问1详解】 设“甲答对”为事件A，“乙答对”为事件B，设“到第4个问题甲胜”为事件G， 则 . 【小问2详解】 设表示甲在第i个模块答题中答对的事件，表示乙在第i个模块答题中答对的事件（其中，2）.设表示甲在两个模块答题中答对i个的事件，表示乙在两个模块答题中答对i个的事件（其中，1，2）. （i）根据独立性假定，得 ，， ，. 设”甲、乙共获得3枚印章“，则，且与互斥，与，与分别相互独立. 所以. （ii）设“甲、乙至少有一人获得印章”， ， ， 由已知， 所以， . 19. 如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． （3）求直线与平面夹角正弦值的最大值． 【答案】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知， 且，，即， 则四边形为菱形， 所以，故翻折后， 因为，且都在平面内， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题知，翻折后，根据面面垂直的判定即可证明； （2）以为原点建立空间直角系，根据平面法向量的求解方式，分别求出两平面的法向量，即可得到两平面夹角的余弦值； （3）由题知在平面上且，可设，求出平面的一个法向量，计算出直线与平面夹角正弦值，根据函数的性质可求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，平面， 则平面平面， 如图，在平面中过点作， 又平面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以为等边三角形，， 则，，，， 设平面与平面夹角为， 法向量分别为，， 则，取得； ，取得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）知在平面上且， 可设， 则，，， 设平面法向量为， 则， 取得， 设与平面夹角为， 则， 令，则， 当且仅当，即时成立， 所以直线与平面夹角正弦值的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $