精品解析：广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

高二数学9月月考试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. 3. 函数是 A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 4. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 60 D. 62 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（ ）． A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. l与斜交 8. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 二、多选题（每小题6分） 9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ） A. B. C. D. 10. 随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ） A. 均值为101 B. 极差为9 C. 方差为8 D. 第60百分位数为101 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. 在上的投影向量的模为 三、填空题（每小题5分） 12. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则________ 13. 已知向量，，，若，，共面，则______． 14. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 四、解答题（五个大题共77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 17. 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面. （1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面； （2）若，求六面体的体积. 18. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 19. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学9月月考试题 一、单选题（每小题5分） 1. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用复数乘除法运算化简. 【详解】. 故选：A. 2. 函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由偶次根号下的被开方数大于等于零、对数真数大于零，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】要使函数有意义，则 ，解得：； 故答案选A 【点睛】本题考查函数定义域的求法，根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，解出不等式组即可得到答案，属于基础题． 3. 函数是 A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数． 考点：二倍角公式，诱导公式． 4. 若函数是定义在上的奇函数，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 60 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 5. 已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量概念求解即可. 【详解】因为空间向量，， 所以 则在上的投影向量坐标是： 故选：B 6. 在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 7. 在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. l与斜交 【答案】C 【解析】 【分析】 由可得，所以或，即可得正确选项. 【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为， 因为， 所以， 所以或， 故选：C. 8. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 二、多选题（每小题6分） 9. 三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面法向量的定义与二面角的定义即可判断答案 【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补， 二面角的大小可能为或. 故选：BC. 10. 随机抽取8位同学对2024年数学新高考Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ） A. 均值为101 B. 极差为9 C. 方差为8 D. 第60百分位数为101 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用均值定义进行求解；B选项，利用极差定义进行求解；C选项，在A选项基础上，利用方差公式进行求解；D选项，，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，得到答案. 【详解】A选项，均值为，A正确； B选项，极差为，B正确； C选项，方差为，C错误； D选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101，D正确. 故选：ABD 11. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与向量方向相同的单位向量坐标是 C. 与夹角的余弦值是 D. 在上的投影向量的模为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出向量坐标，，，由空间向量共线定理判断A，求出判断B，根据向量夹角公式计算判断C，求出在上的投影，其绝对值为投影向量的模，判断D． 【详解】由已知，，， ，因此与不共线，A错； ，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确； ，， ，C错； 在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确 故选：BD． 三、填空题（每小题5分） 12. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义可求得的解析式，从而可求得，，进而可得答案. 【详解】令，则，所以． 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以，， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，，，若，，共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共面定理得到存在使得，从而得到方程组，求出答案. 【详解】由题意得，存在使得，即， 故，解得. 故答案为： 14. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 四、解答题（五个大题共77分） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且. （1）求与的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率． 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且，利用相关公式建立方程组，即可求得与的值； （2）根据题意，可知不低于4分包括了得分为4分、5分、6分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得结果. 【详解】（1）依题，解得 （2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为， 获得本选修课学分分数不低于4分为事件， 则；；. 故. 【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键. 17. 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面. （1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面； （2）若，求六面体的体积. 【答案】（1） 连接，由四边形是正方形，故， 又平面，平面，故， 由，，平面，故平面， 又为棱的中点，，故， 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，故， 所以，，，四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直的性质定理与判定定理可得平面，再借助面面垂直性质定理可得平面，即可得，即可得证； （2）结合题意，借助线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可得，即可得四边形为矩形，最后借助割补法分别计算出与即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点，连接，则， 又平面，平面，则平面， 又因为六面体，平面平面， 又平面，故，则四边形为矩形， 且平面，故， 则. 18. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果? （3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率. 【答案】（1）kg （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1，所有矩形的面积乘以其底端中点之和即为平均值. （2）能地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的分位数，通过矩形的面积和确定分位数在，再利用公式计算即可． （3）由分层抽样确定来自日销售量中的有2个，来自日销售量为的苹果有4个，再列出基本事件，由古典概型求解. 【小问1详解】 由直方图可得，样本落在，，…，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3， 由，解得． 则样本落在，，…，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3， 所以，该苹果日销售量的平均值为: . 【小问2详解】 为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数． 依题意，日销售量不超过的频率为， 则该店苹果日销售量的分位数在， 所以日销售量的分位数为． 所以，每天应该进苹果． 【小问3详解】 由日销售量为的频率分别为0.2，0.4知， 抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为， 来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为， 任意抽取2个苹果，有，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得. 19. 如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $