辽宁省普通高中2026-2027学年高三上学期期中考试模拟卷（4）数学试题

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（4） 高三数学 考试范围：高考范围（除立体几何、解析几何） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．若向量与同向，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行向量（共线向量）、由向量共线（平行）求参数 【分析】先根据平面向量共线的坐标运算求得的可能取值，再结合向量同向的性质即可求解. 【详解】因为向量与同向，故，解得或， 当时，，，此时，两向量方向相反， 当时，，，此时，两向量方向相同，故. 2．书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（   ） A．5种 B．11种 C．27种 D．45种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【详解】分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法种数分别为5、3、3， 所以不同的选法种数共有. 3．已知定义在上的奇函数满足，，则（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、求函数值 【分析】根据所给函数性质求出函数周期即可得解. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数周期为， 所以. 4．自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】把代入本利和公式得，两边取自然对数，利用、化为已知数据，算得对数约为，从而确定选项. 【详解】当时，一年后本金与利息之和为. 对取自然对数得. 代入参考数据得， 所以. 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、由不等式的性质比较数（式）大小、比较余弦值的大小、比较正弦值的大小 【分析】根据题意，先求得，由，利用正弦函数与余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为，可得，， 所以，，且，且， 又因为，且，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以. 6．已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较指数幂的大小、判断命题的充分不必要条件 【分析】先利用对数的运算性质和换底公式化简，并估算的取值范围，比较与的大小关系，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为， 则， 且，所以. 又因为 且，，则，可得. 综上所述，可得. 记命题：，命题：. 因为，所以当时，一定有，即， 所以“”是“”的充分条件； 反之，当时，不一定有.即， 所以“”是“”的不必要条件. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 7．若曲线关于直线对称，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、由函数对称性求函数值或参数 【分析】先求出函数的定义域，结合题设可得，设，进而由可得，进而求解即可. 【详解】由，得，则，解得或， 则函数的定义域为， 要使函数关于直线对称，则， 设，其图象关于对称， 则，即 则对于恒成立， 故，则，所以. 8．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】将拆成，拆成，利用两角和差正弦公式展开化简，得到与的关系式；再用正切和角公式，把表示成关于的函数，结合范围确定，换元后用基本不等式求函数最小值. 【详解】， ， 代入，得， 整理得， 验证，若，则或，但，， 若，则，代入上式左边为，右边为，矛盾，故， ，两边同时除以得， 设，，在第二象限，， 代入上式：，利用正切和角公式得， 整理得， ，令，则，，， . 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是偶函数 D．曲线的对称中心为 【答案】ABD 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的定义域 【分析】利用正切函数的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于选项A，由题意得，所以的最小正周期为，故A正确； 对于选项B，令，解得，所以的定义域为，故B正确； 对于选项C，由的定义域为，则的定义域为. 则的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于选项D，令，解得， 所以的对称中心为，故D正确. 10．关于三次函数，下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．的极小值为 C．有2个不同零点 D．的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【知识点】函数对称性的应用、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数分析单调性求解极值，结合极值正负判断零点个数，利用可得中心对称. 【详解】由得， 令，得和. 当或时，；当时，. 所以函数在区间，上单调递增；在区间上单调递减. 对于选项A，当时，取得极大值，极大值为，故A正确； 对于选项B，当时，取得极小值，极小值为，故B正确； 对于选项C，由时，；时，；极大值；极小值，所以有3个不同零点，故C错误； 对于选项D，因为，所以的图象关于点中心对称，故D正确. 11．已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，，，其中，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．， 【答案】ACD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用、利用导数研究函数的零点、多项式的展开式、导数的运算法则 【分析】选项A：当时，为二次函数，展开后求导得一次导函数，求解导数零点，结合二次函数顶点的横坐标性质即可验证等式成立. 选项B：分别将与按多项式形式展开，利用韦达定理表示出两类零点的和，对比项的系数推导两者关系，判断等式不成立. 选项C：由的个互异零点，结合函数在相邻零点区间符号交替的特性，根据零点存在定理得每个区间内各存在一个导数零点；再结合为次多项式，确定导数零点总数，得到与的数量关系. 选项D：利用多个因式乘积的求导法则写出的表达式，代入导数零点，两边同除以非零的乘积项，化简后得到倒数和为0的结论. 【详解】选项A： 当时，， 求导得. 令，解得唯一零点，即，A正确. 选项B： 是首项系数为的次多项式，由因式展开得完整形式： 对求导： 因为有个零点， 因此也可写成： 展开后项的系数为 . 对比两个表达式中项的系数： 整理得 ，显然，故B错误. 选项C： 已知是的个不同零点，因此在相邻零点区间内函数值符号交替变化： 当时，所有因式均为正，； 当时，，其余因式为正，； 以此类推，每个区间内的符号唯一且与相邻区间相反. 因此在每个区间内必有一个极值点（先增后减或先减后增），即在每个区间内至少有1个实根，共至少个实根. 又是次多项式，最多有个实根，因此恰好有个不同实零点，即，故，C正确. 选项D： 类比两个因式的乘积求导法则，可推广到个一次因式的求导：每次对其中一个因式求导，其余因式保持不变，再把所有结果相加，得： 因为是的零点，故，代入上式得： 由于在相邻的之间，故不等于任意一个，因此.将上式两边同时除以这个乘积，每一项化简后可得： 即对任意，都有，故D正确. 【点睛】本题围绕多项式函数的零点与导函数零点展开，综合考查韦达定理、乘积求导法则、零点存在性定理，是导数与多项式性质结合的经典题型. 核心结论：首一次多项式若有个互异实零点，则其导函数恰有个互异实零点，且分别落在原函数相邻零点之间，这是零点存在性定理在多项式中的直接应用. 多个一次因式乘积的求导可采用“逐项求导、其余因式不变再求和”的法则，代入零点后同除整体乘积项，是推导零点倒数和等式的常用技巧. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，若函数为偶函数，则________． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】令，通过已知条件得出为奇函数，再根据即可求出. 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 为奇函数，即， ， 即， 即， ，解得，. 13．已知为等差数列，，为公差，为的前项和，若中至少有两项位于之间，则公差的取值范围为________. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】首先利用等差数列前项和公式写出的表达式，由且确定公差，从而得知数列为单调递增数列，因此只需前两项中排除，令第二项且第三项 ，解不等式组即可求得的取值范围. 【详解】由题意知，等差数列 的首项，公差为， 所以其前项和公式为， 因为中至少有两项位于区间之间，即至少存在两个不相等的正整数，使得， 由于，且当时，， 所以对于，必有，此时数列为单调递增数列， 要使得数列中至少有两个项位于之间，只需且必须满足第二项和第三项位于 之间即可， 因此，需满足 ， 即 ，解得 ， 所以，即. 14．若，，则的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】将不等式变形，可得，再由的单调性可得，构造函数，由，即可得到的范围. 【详解】由题意可得对恒成立，则， 由可得， 即， 令，则，则函数在上单调递增， 即由可得， 令，即对恒成立， 可得，令，则， 当时，即，，在单调递增， 可得，要使，则，即, 又因为，所以不满足； 当时，即，，在单调递增， 得到，符合要求，则； 当时，即，当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值， 所以，解得，所以； 综上所述，的取值范围为. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在边长为 2 的正方形区域内随机投一点，记该点落在其内切圆内的概率为 . (1)求 ； (2)独立重复投点 3 次，记落在内切圆内的次数为 ，求 的分布列与 . 【答案】(1) (2)的分布列为： 【知识点】独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、几何概型-面积型、二项分布的均值 【详解】（1）正方形边长为 2，其面积为 . 正方形的内切圆半径为 ，其面积为 . 由几何概型的概率公式，点落在内切圆内的概率为：. （2）独立重复投点 3 次，每次落在内切圆内的概率均为 ，且各次投点相互独立，故随机变量 服从二项分布，即 . X 的可能取值为 0, 1, 2, 3. 当 时，三次都未落在圆内： . 当 时，恰有一次落在圆内： . 当 时，恰有两次落在圆内： . 当 时，三次都落在圆内： . 的分布列为： 由二项分布的期望公式 ，得： . 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形 【详解】（1）由两边平方，得. 代入，，得： 由正弦定理边化角： 整理得. 由，得. 在中，故，即. 又，因此. （2）由周长为19，，得. 由余弦定理： ， 代入，， 得： ； 是角平分线， 由面积关系： ， 代入，， 约分化简得， 因此. 17．（15分）已知正项数列，是的前项和，且满足． (1)求的通项公式； (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1)； (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用进行求解，结合等差数列的性质求出通项公式； （2）化简得到，相加可得 【详解】（1）①， 则②， 故②-①得， 因为，所以，所以， 所以当时，为等差数列，公差为1， 中，令得，即， 其中，则，解得或（舍去）， 所以时，， 显然满足， 综上：； （2） ， 故 . 18．（17分） （1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由余弦的和差角公式：①， ②， （②①），得 . 由正弦的和差角公式：③， ④， （③④），得. （2） （3）不存在，理由如下： 由 ， 设，， 则，所以在上单调递增， 故对于任意的恒成立，则有， 则， 故不存在正整数使得. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给角求值型问题、用和、差角的正弦公式化简、求值、积化和差公式、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据两角和与差的余弦、正弦公式求证即可； （2）将式子分子分母同时乘以，再用积化和差公式化简求解即可； （3）结合积化和差公式及三角恒等变换公式化简可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2） . （3）略 19．（17分）已知函数，，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，和的几何平均数为，算术平均数为． ①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ②当恒成立时，求的范围． 【答案】(1) (2)①， 证明：， 先证右边，即证， 令，即证：， 令， 则， 则在上单调递增，得， 所以有，则有，得证； 再证左边，即证，令， 即证，令， 则， 则在上单调递减，所以， 所以有，则有，综上，. ② 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对函数求导，代入切点横坐标求得切线斜率，结合切点用点斜式即可写出切线方程； （2）①通过比值换元将双变量不等式转化为单变量问题，分别构造函数，利用导数研究单调性，即可证明对数平均不等式； ②令，对函数求导，先做隐点探路得出，然后证明结论，方法一：固定将表达式视作关于的减函数，由单调性放缩到得到无参数函数，换元后对分子多项式多次求导分析单调性，确定分子符号，进而完成不等式证明；方法二：同样先切换主元放缩得到，换元后对分子因式分解，判断导函数符号，求得的最大值即可完成不等式证明. 【详解】（1）当时，，所以， 所以在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即． （2）①略. ②令， 则， 先做隐点探路： 令，，解得， （必要性）， 下证：当时，， 方法一：令， 则关于单调递减，则， 则，令， 则， 令， 则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 则，所以在上单调递减， 又，则时，，时，， 所以时有，时， 则有在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，得． 方法二：证明：当时， 令， 则关于单调递减，则， 则，令， 则， 由，则时，；时， 所以时有，时， 则有在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，得， 综上所述，当恒成立时，的取值范围为. 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（4） 高三数学 考试范围：高考范围（除立体几何、解析几何） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．若向量与同向，则（    ） A． B． C． D． 2．书架的第一层放有5本不同的文学类书，第二层放有3本不同的社科类书，第三层放有3本不同的工具类书，分别从该书架的第一、二、三层中任选1本书，不同的选法共有（   ） A．5种 B．11种 C．27种 D．45种 3．已知定义在上的奇函数满足，，则（    ） A．0 B．4 C． D．2 4．自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若曲线关于直线对称，则（     ） A． B． C． D． 8．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．是偶函数 D．曲线的对称中心为 10．关于三次函数，下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．的极小值为 C．有2个不同零点 D．的图象关于点中心对称 11．已知函数，其中，，且．是的导函数，的所有零点分别为，，，，其中，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B． C． D．， 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数，若函数为偶函数，则________． 13．已知为等差数列，，为公差，为的前项和，若中至少有两项位于之间，则公差的取值范围为________. 14．若，，则的取值范围为__________． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在边长为 2 的正方形区域内随机投一点，记该点落在其内切圆内的概率为 . (1)求 ； (2)独立重复投点 3 次，记落在内切圆内的次数为 ，求 的分布列与 . 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； 17．（15分）已知正项数列，是的前项和，且满足． (1)求的通项公式； (2)数列满足，是的前项和，求． 18．（17分） （1）证明积化和差公式：和； （2）求值：； （3）是否存在正整数，使得？若存在，请求出的所有值组成的集合，若不存在，请说明理由． 19．（17分）已知函数，，其中为正实数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，和的几何平均数为，算术平均数为． ①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明； ②当恒成立时，求的范围． 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $