辽宁省普通高中2026-2027学年高三上学期期中考试模拟卷（1）数学试题

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（1） 高三数学 考试范围：高考范围（除立体几何、解析几何） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常用数集或数集关系应用、列举法表示集合、交集的概念及运算 【详解】因为集合， 又因为集合，所以． 2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的坐标表示、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的几何意义可得，再根据复数的除法运算求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 3．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中的系数为（   ） A． B．135 C． D．28 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数 【详解】因为二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以，解得， 又二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式中，第五项含，其系数为. 4．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】根据两函数的关系化简分段函数式，求出的解析式，代入目标不等式，求解即得. 【详解】因，， 当时，； 当时，， 即当时，都有， 则等价于，解得. 所以不等式的解集为. 5．在中，，分别是线段，上的点，且，，，是线段上的两个动点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量 【分析】利用平面向量共线定理得到上点对应的向量表达式系数和为1，结合向量线性运算与相等向量的性质求解. 【详解】 设， 所以， 因为， ，，， 则， 所以，解得. 6．设函数图象的两条相邻对称轴为，，若，，则正整数的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】由辅助角公式和最小正周期得到方程，求出，并根据得到的范围，验证后可得时，，满足要求，得到答案 【详解】， 因为为正整数，所以的最小正周期为， ，为图象的两条相邻对称轴，所以， 因为，所以，解得，故， 由题意得， 因为，所以， 所以，， 解得， 当时，，无解，舍去； 当时，，无解，舍去； 当时，，故，满足要求； 综上，，正整数的取值有个 7．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题、等差中项的应用 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得：， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则， 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 8．已知函数，正数，满足，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数奇偶性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数的奇偶性与单调性推得，再用“的代换”结合基本不等式求的最小值，进而解得取最小值时. 【详解】已知函数：对任意，有 因此是定义在上的奇函数. 求导得，由基本不等式可知，因此是上的单调递增函数. 正数，满足，移项得： 结合是奇函数的性质，，因此： 又因为是单调递增函数，函数值相等则自变量相等，可得： 整理得约束条件：. , 由基本不等式，有： ,当且仅当（即，）时，等号成立， 此时取得最小值，. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列选项中说法正确的是（      ） A．若幂函数在区间上单调递减，则 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、根据对数函数的值域求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数、抽象函数的定义域 【分析】利用幂函数系数为1求出参数，再结合单调性筛选m的值，判断选项A；利用抽象函数定义域整体取值范围不变，解不等式得到新自变量范围，判断选项B；利用复合函数同增异减，同时保证内层函数在区间上恒大于0，判断选项C；根据对数函数值域为R，则真数能取遍全部正数，分情况讨论求出的范围判断选项D． 【详解】由幂函数定义得，则， 解得或， 已知函数在区间上单调递减，则，故， 综上可得，故A正确； 定义域，中，令，则， 故函数的定义域为，故B正确； 外层函数在上单调递减， 复合函数整体在单调递增，则内层函数在上必须单调递减， 且恒成立，故， 最小值在处，，解得， 综上可得，，故C错误； 函数的值域为，则能取遍所有大于0的实数， 若，，一次函数可取全部正数； 若，，解得； 若，开口向下，无法取得所有正数，舍去； 综上可得，，故D正确． 10．某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（     ） A．从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案 B．从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案 C．8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案 D．8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案 【答案】BCD 【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题 【分析】对于A：相当于求从8个人中取2个人的排列数；对于B：先从人中选人参加语文知识竞赛，再选两人参加余下两科竞赛；结合分步乘法计数原理求解，对于C：先排甲乙，再排其余学生；对于D：先排男生，再排女生甲，最后排其余女生即可. 【详解】对于选项A：从个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误； 对于选项B：从个人中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人 的选法共有种，故B正确； 对于选项C：满足条件的安排方法可分两步完成， 第一步先排甲乙，因为甲乙间隔2人，故甲乙的位置可能为，且甲乙可交换， 故甲和乙的排列方法有种； 第二步，将剩余6人排入余下的位置，满足条件的排法有种； 由分步乘法计数原理可得8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人的总方案数为，C正确， 对于选项D：满足条件的安排方法可分三步完成， 第一步，先排名男生，有种排法，个男生产生个空（含两端）， 第二步，将女生甲排入两端空位中的一个，共种排法； 第三步，将剩余两名女生从剩下个空位选个排列，共有种排法； 由分步乘法计数原理可得总方案数为，D正确. 11．如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则角 C．若，，则 D．的最小值为 【答案】BCD 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得A；由边角关系及可得B；借助三角恒等变换公式及正弦定理与面积公式计算可得C；结合正弦定理可将原式化为与角有关的等式，再利用换元法及基本不等式计算可得D. 【详解】对于选项A：由题意得，， 因为，， ， 所以， 所以，故A错误； 对于选项B：由，则，则， 由A知，，故，故，故B正确； 对于选项C：由，则，故， 由，则，则， 故，； 由，，则， 由正弦定理可得，则， ， 故，故C正确； 对于选项D：由正弦定理得， 又， 故， 令，因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的一个取值为______________． 【答案】（答案不唯一，满足均可） 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、已知三角函数值求角、辅助角公式 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数的性质，联立三角方程求解的通式即可得到符合条件的取值. 【详解】由题意得：，解得， 而， 所以， 所以. 13．已知数列，的通项公式分别为，．将，中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，若与都是中的项，则正整数________． 【答案】38 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、数列新定义、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】，中没有公共项，分析与两项中间数字的情况求解. 【详解】中的项都是奇数，中的项都是偶数，，中没有公共项， 设，，两项之间共32项， 若，取，，此时两项之间共32个奇数，符合题意， 小于64的项包含共32项，共5项，所以； 若，此时和两项之间总项数不会等于32项，不符合题意， 综上， 14．在中，， ，，点是内一点，且满足 ，则 的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量加法法则的几何应用、利用函数单调性求最值或值域、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】取中点为，则，可得点三点共线，以为原点，为轴的负方向建立平面直角坐标系，利用坐标法转化为二次函数求值域即可求解. 【详解】取中点为，则， 所以，所以， 所以点三点共线， 如图，以为原点，为轴的负方向建立平面直角坐标系， 则， 所以， 设， 所以， 所以， 又因为， 二次函数在上单调递减，在上单调递增， ， 所以 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】(1) (2). 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先由图像求振幅、周期得到，代入最高点求出，得到的解析式；按照 “先平移、再横向伸缩” 完成图像变换得到，利用整体换元法求正弦型函数的单调递增区间. 【详解】（1）由图象可知，，故. 最高点在处，得，即，故，解得，. 由，得.因此. （2）将的图象向左平移个单位，得， 再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 由，解得，. 故的单调递增区间为. 16．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理，得. 所以. 由余弦定理， 因为，故. （2）由，所以. 由正弦定理， 得， 所以（）. 由余弦定理， 得，即 所以（）. 所以的周长为. 17．（15分）已知等差数列的前n 项和为，且，，数列为等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)求证：. 【答案】(1)，； (2) (3)证明：， 所以 . 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）求出公差和首项，得到等差数列的通项公式，进而求出首项和公比，求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列公差为，由，得，整理得， 由，得，整理得， 联立解得，因此数列的通项公式； 由，得，， 则等比数列的公比，所以数列的通项公式. （2）由（1）得，， ， 两式相减得， 所以 （3）略 18．（17分）设，函数． (1)讨论的单调性； (2)过点作曲线的切线，恰好存在两条不同的切线，求的范围. 【答案】(1)若，在单调递增； 若，在单调递减，在单调递增. (2) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对求导并化简，分类讨论判断的正负即可判断的单调性； （2）过点曲线的切线，恰好存在两条不同的切线，即有两个不同的解，化简得到有两个不同的正解，根据二次函数的性质即可求出的取值范围. 【详解】（1）对求导得， 因为，所以， 若，，则，则在单调递增； 若， 当时，，，则在单调递减； 当时，，，则在单调递增， 综上所述，若，在单调递增； 若，在单调递减，在单调递增. （2）设切点为，该点导数为， 由题可得切线方程为， 因为过点作曲线的切线，恰好存在两条不同的切线， 所以有两个不同的解， 即有两个解， 因为，所以原式化简得， 又因为，所以有两个不同的正解， 则，解得， 所以若过点作曲线的切线，恰好存在两条不同的切线，则的取值范围为. 19．（17分）甲、乙两人投掷一枚质地均匀的硬币，正反两面的概率均为．由甲开始，重复如下操作： ①轮到甲投掷时，抛出正面甲得1分，可以继续投掷，抛出反面时两人都不得分，换乙投掷； ②轮到乙投掷时，抛出正面乙得1分，可以继续投掷，抛出反面时两人都不得分，换甲投掷； ③当甲、乙中任意一方得到2分时，得2分的一方获胜． (1)求乙恰好投掷三次后获胜的概率； (2)设甲、乙两人共投掷n次后甲获胜的概率为， （ⅰ）求的表达式； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）注意到，设为偶数，将求和按奇偶项分列，所以设 ， 所以，则 ， 所以； ， 又因为，则 ， 所以， 所以， 若为奇数，则，所以得证. 【知识点】独立事件的乘法公式、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）由若乙获胜时甲得0分以及若乙获胜时甲得1分求解即可； （2）（i）记甲投掷次，乙投掷次，由只要有一方投出正面就会额外获得一次投掷机会，得到或即可求解； （ii）设为偶数，将求和按奇偶项分列，即可求解. 【详解】（1）设事件为甲投出正面；事件为乙投出正面，事件为乙恰好投掷三次后获胜因为乙获胜时得两分， 故必定投出两个正面，一个反面，且第三次投掷时投出正面，可按以下方式分类， ①若乙获胜时甲得0分，则可表示为 ②若乙获胜时甲得1分，则可表示为， 由于每次投掷彼此独立且，所以. （2）当甲乙任意一方胜利时，双方总得分为2分或3分，即双方共次投掷中硬币正面的次数为2次或3次，且最后一次为正 （ⅰ）记甲投掷次，乙投掷次，所以， 因为只要有一方投出正面就会额外获得一次投掷机会，所以或2； 易知，，， 当时， ①若，硬币正面次数为3次，此时为奇数，甲获胜时，第次抛出正面， 且前次中甲、乙分别各有一次正面，显然两人不可能在连续两次分别投出正面， 若甲比乙先投出正面，则两人是在第1，3，5，⋯中的某两次投出正面，此时有种情况； 若乙比甲先投出正面，则两人是在第2，4，6，⋯中的某两次投出正面，此时有种情况； 因此共有种情况，所以此时 ②当时，硬币正面向上次数为2次，全部由甲投出，此时为偶数，前次甲仅有一次抛出正面， 可能在第1，3，5⋯次抛出，共有种情况，所以此时 所以综上，． （ii）略 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期期中考试模拟卷（1） 高三数学 考试范围：高考范围（除立体几何、解析几何） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数（     ） A． B． C． D． 3．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中的系数为（   ） A． B．135 C． D．28 4．已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，分别是线段，上的点，且，，，是线段上的两个动点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．设函数图象的两条相邻对称轴为，，若，，则正整数的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，正数，满足，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列选项中说法正确的是（      ） A．若幂函数在区间上单调递减，则 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 10．某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（     ） A．从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案 B．从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案 C．8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案 D．8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案 11．如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则角 C．若，，则 D．的最小值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的一个取值为______________． 13．已知数列，的通项公式分别为，．将，中的所有项从小到大依次排列构成一个新数列，若与都是中的项，则正整数________． 14．在中，， ，，点是内一点，且满足 ，则 的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递增区间． 16．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 17．（15分）已知等差数列的前n 项和为，且，，数列为等比数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)求； (3)求证：. 18．（17分）设，函数． (1)讨论的单调性； (2)过点作曲线的切线，恰好存在两条不同的切线，求的范围. 19．（17分）甲、乙两人投掷一枚质地均匀的硬币，正反两面的概率均为．由甲开始，重复如下操作： ①轮到甲投掷时，抛出正面甲得1分，可以继续投掷，抛出反面时两人都不得分，换乙投掷； ②轮到乙投掷时，抛出正面乙得1分，可以继续投掷，抛出反面时两人都不得分，换甲投掷； ③当甲、乙中任意一方得到2分时，得2分的一方获胜． (1)求乙恰好投掷三次后获胜的概率； (2)设甲、乙两人共投掷n次后甲获胜的概率为， （ⅰ）求的表达式； （ⅱ）求证：． 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 高三数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高三数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $