2026-2027学年上学期高三期中模拟数学试卷（辽宁省适用）

辽宁省2026-2027学年上学期11月名校联盟期中模拟卷2 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（     ） A． B． C．1 D． 2．已知向量，，，满足，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若，则（   ） A．3 B． C． D． 4．“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 5．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元. A． B． C． D． 6．函数的解析式为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，“六芒星”是以中心为的正三角形各边的两个三分点为顶点再向外作正三角形而形成的，点为该“六芒星”边上的动点，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为复数，则下列说法中正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知不等式，下列说法正确的是（     ） A．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 B．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 11．已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，，则（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某新能源电池的电极设计为矩形薄片，其周长固定为 24 厘米．为提升导电效率，需在矩形中心镶嵌一个最大面积的圆形电极（如图所示），则矩形长与宽的比值为______． 13．18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体的统一体积公式)(其中分别为的高、上底面面积、中截面面积、下底面面积)，我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为，可得该球的体积为；已知正四棱锥的底面边长为，高为，可得该正四棱锥的体积为.类似地，运用该公式求解下列问题:如图，已知球的表面积为，若用距离球心都为的两个平行平面去截球，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为________.    14．已知定义在上的函数的导数为，且满足，，则的解析式为_______；若关于的不等式在内仅有一个整数解，则实数的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，且的图象过点. (1)求的值及函数的单调递增区间; (2)将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 16．如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，点在棱上，，点是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．已知数列的前n项和为，，． (1)求的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和． 18．在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)证明：； (2)若，且的面积等于4． （ⅰ）求内切圆半径的取值范围； （ⅱ）当内切圆半径最大时，若点，，分别是边，和上的动点，且为等边三角形，求边长的最小值． 19．已知函数 ，过点作曲线的切线有且只有一条． (1)求的值； (2)已知为图像上的点，过作轴的垂线交直线于点，再过作轴的垂线与图像交于点，设的纵坐标为，且． （i）求的通项公式； （ii）若，并且，，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 则 2．D 【分析】先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标关系求解． 【详解】因为，又，，所以，解得． 3．A 【分析】利用余弦二倍角公式，结合因式分解、同角三角函数关系式中的商关系、正弦的诱导公式、两角和的正切公式进行求解即可. 【详解】 . . 4．A 【分析】先求出一次函数在上单调递增的充要条件为，再判断各选项对应的集合与的推出关系可得. 【详解】因为一次函数，其在上单调递增的充要条件为斜率. 所以函数单调递增的充要条件为： ， 解得，即充要条件对应集合为. 选项A：，但， 所以是的充分不必要条件，A正确； 选项B：，， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 选项C：，但， 所以是的必要不充分条件，C错误； 选项D：，， 所以是的既不充分也不必要条件，D错误. 5．B 【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数． 【详解】设每年应还万元，则有， 得 ， 解得． 故选：B． 6． D 7．C 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，结合韦达定理即可求解. 【详解】，定义域为. 令， 当时，，，单调递减，值域为； 当时，，，单调递增，值域为. 因为有4个实数根，，，（）， 所以有两个大于的不等实根， 所以，则；，则. 由得，即，则. 所以. 由得. 则，即. 所以，解得. 由得. 所以. 8．C 【分析】将目标向量拆分为定点向量与动向量之和，把数量积分离为常数项与含动点的投影项，利用动点轨迹的边界约束求投影的最值，从而得到数量积的取值范围. 【详解】正三角形边长为6，中心为其重心与外心，由正弦定理得外接圆半径， 由六芒星的构造对称性，向外所作正三角形的顶点到的距离也为，即，， 所以，，且六芒星上任意点满足， ， 由图形对称性，与夹角为，故与夹角为， 所以， 根据数量积的几何意义，等于在方向上的投影乘以， 由于，当与同向时投影最大，反向时投影最小； 结合六芒星顶点分布，最值可在顶点处取到，因此， 得，故， 所以. 9．ABC 【分析】本题考查复数的基本概念与运算性质，选项A、B直接利用复数模的运算性质即可判断；选项C可利用绝对值不等式（三角不等式）放缩或通过复平面的几何意义求解；选项D通过举反例证伪. 【详解】对于选项A：设，则,， ，两者相等，所以A正确； 对于选项B：若，则，两边取模得，所以B正确； 对于选项C：根据复数模的三角不等式， 可得，即，所以C正确； 对于选项D：取，，满足 ，但，所以D错误. 10．BCD 【分析】对于A，分三种情况讨论，结合二次函数的图像，以及判别式判断根的情况，列出不等式，即可求解；对于B，对分离参数，求不等式右边的函数最小值即可；对于C，将看作主元，将不等式看作关于的不等式，再分离参数后求最值，列出不等式即可求解；对于D，对的正负，分三种情况讨论，后分离参数，针对只能是正整数，即可列出关于的不等式，即可求解. 【详解】对于A，当时，不等式为，对恒成立，所以符合要求； 当时，对应二次函数开口向上，不等式不可能对恒成立，故此情况舍去； 当时，判别式，即，解得， 综上的取值范围为，故A错误. 对于B，可化为， 因为，所以， 所以，对恒成立， 对于二次函数，开口向上，对称轴为直线， 所以当时，取最大值5， 此时分式最小值为， 所以，故B正确. 对于C，将看作主元，不等式为，对恒成立， 对于函数， 当时，不等式为恒成立，此时， 当时，不等式可化为， 当时，取最小值， 所以，解得，故C正确. 对于D，当时，不等式为，对恒成立， 此时有无数个整数解，不合题意， 当时，对应二次函数开口向下， 此时不等式有无数个整数解，不合题意， 当时，不等式可化为， 设， 二次函数开口向上，对称轴为直线， 所以当为整数时，时，取最小值， ， 因为，恰有一个整数使得不等式成立， 所以这个整数解只能是， 即， 解得，故D正确. ②假设当时，命题成立，即， 当时，， 在斐波那契数列中，可得，所以， 所以， 即当时，成立． 由①②知，对于任意的，命题都成立， 所以． 11．ABD 【分析】先判断，结合赋值法判断A，根据导数运算结合赋值法求和周期后判断BCD. 【详解】由是奇函数，得，且的图象关于点中心对称， 即，由，知， 而，所以，A正确； 由，知，且， 从而，故，B正确； 已知，故（为常数）， 又由，得， 因为，所以，将其代入，得， 因此，由和， 得，即，结合， 得， 所以，即是周期为的周期函数. 因为，，，， 所以， 所以 ，故C错误； 也是周期为的周期函数， ，，，， 一个周期的和为， 所以 ，故D正确. 12．1 【分析】设矩形长为 a 厘米，宽为 b 厘米（），可得，利用放缩法即可求解． 【详解】设矩形长为 a 厘米，宽为 b 厘米（），圆形电极的半径为 r厘米．所以矩形周长 得：． 圆形电极的直径受限于矩形的宽：2r≤ b． 所以为了圆面积最大，取 2r=b（圆直径等于宽）． 对于矩形满足，且，，所以， 当且仅当时，b最大，此时r=3， 圆形电极的面积最大． 所以矩形长与宽的比值为1． 故答案为：1. 13． 【分析】先由球的表面积求得球的半径，再由勾股定理求出截面小圆的半径，最后代入万能求积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设上下截面小圆的圆心分别为，上底面截面小圆上一点，连接， 因为球的表面积为，解得，所以， 又因为且， 所以截面小圆半径, 根据“万能求积公式”可得，所求几何体的体积为： . 故答案为：.    14． 【分析】空一：依题意可得，可得，为常数，再根据求解即可； 空二：利用导数分析函数在上的单调性，进而结合图象求解即可. 【详解】空一：由， 得， 则，为常数，即， 所以，则，即. 空二：由， 得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 画出函数在上的图象： 要使关于的不等式在内仅有一个整数解， 则，解得， 故实数的取值范围为. 15．(1)，的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，代入已知点求出参数，再根据正弦函数单调区间列不等式即可得到递增区间； （2）依据三角函数图象平移规则得到新函数，再结合正弦图象与轴交点情况确定的范围即可. 【详解】（1）因为 ， 因为的图象过点，所以， 即，所以，得， 因为，所以取符合条件，所以， 令，则， 故的单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， 得， 因为在上的图象与轴有且仅有3个交点， 即方程在上恰有3个解， 因为 ，则，所以 ， 解得，故的取值范围为. 16．(1)因为平面，平面，所以，. 又因为四边形为矩形，所以． 因此两两互相垂直， 所以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，. 因为，所以， 又，所以，即是的中点，所以. 因为，，, 所以，， 所以，即，， 又因为，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线面垂直可得； （2）直接用向量的方法计算线面角可得. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为． 因为，， 所以，令，得，． 设直线与平面所成的角为，，， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系直接求通项公式即可； （2）根据（1）中的通项公式得到，分奇偶讨论并整合即可得到答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， 当时，上式也符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，，所以，． （ⅰ）当n为偶数时，； （ⅱ）当n为奇数时，； 综上所述，. 18．(1)证明：∵，∴， 即．∵，∴， ∴． 由正弦定理知（R为△的外接圆半径）， ∴． (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）用二倍角公式化简已知条件，得到角正弦的等量关系，结合与正弦定理，证出边的不等式； （2）（i）先反证推出C为直角，结合面积定值，将内切圆半径转化为关于的函数，利用单调性与基本不等式求范围； （ii）先确定r最大时三角形为等腰直角三角形，引入角度参数，结合正弦定理表示边长，通过三角函数最值求等边边长的最小值． 【详解】（1）略 （2）（i）由余弦定理结合（1）有． 又∵,∴， 当时，，又，，且， ∴，∴． 又在上单调递增， ∴， ∴，∴， 即，矛盾， 故C＝，满足，所以△ABC为直角三角形． 由△ABC的面积等于， 且，． 令，则（当且仅当时取等号）， 即，∴． ∵在上单调递增且函数值恒正， ∴在上单调递减， 所以，当时，；当t→＋∞时，r→0，故． （ii）解：由（i）知：当，即A＝B＝时，r最大． 如图，设等边△DEF边长为t，，， 在中，，，． 因为，所以， 在中，， ， 由正弦定理，得． 因为，即， 整理得： 因为，所以时，， 即边长的最小值为． 19．(1) (2)(i) (ii). 【分析】（1）先设切点写出切线方程，将已知点代入得到关于切点横坐标的方程；“切线有且只有一条”等价于该方程仅有一个有效切点解，转化为方程有重根，据此建立等式求出参数即可； （2）(i)先根据题目中点的作图规则，找到前后项的函数递推关系；通过换元简化三次递推，识别指数型递推结构，利用指数运算得到的通项，进而求出；（2）(ii)先把乘积转化为指数求和形式，通过相邻项之比判断的增减性，找到数列的最大项；再根据对所有正整数都满足的恒成立要求，确定参数的取值下限即可. 【详解】（1）∵ 设切点为，切线方程：， 代入：， ， ， ， 解得： 或 ， 由题意：切线有且只有一条，∴， ， （2）(i)设，则 ， 则 ， ， 令 ，则 递推变形：， ， ， . 验证：，成立， . (ii)， 则， ∴， 则：， 当：， 当：单调递减， ∴ ∴ ∵，∴， 取值范围：. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $