2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册期中练习卷（一）

2026-2027 学年沪教版九年级上学期期中精选练习卷（一） 数 学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150 分） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，把答案填写在题后的括号内；回答非选择题时，将答案写在题目下方的空白处。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册（相似三角形、二次函数） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知线段，作线段，使，那么正确的作法是（     ）． A． B． C． D． 3．已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 5．下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 6．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 二、填空题（本大题共 11 小题，每小题 4 分，满分 44 分） 7．二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 8．若实数x、y、z满足，则k的值为________． 9．如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是_____． 10． 在中，、分别在边、上，，如果的面积和四边形的面积相等，，那么的长为______． 11．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 12．如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP=_____． 13．如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则______．    14．中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 15．如图，在中，．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在上，则小正方形的边长为____________（用含n的代数式表示）． 16．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则_____． 17．如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共 6小题，满分 82 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本题 12分）1．已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为此抛物线上一点，且纵坐标为5，求点的坐标． 19．（本题 12分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． (3)在线段上找一点使得． 20．（本题14分）《周髀算经》是我国古代的一部天文学与数学著作，大约成书于公元前5到7世纪之间，其利用数学测算日月运行等，在唐代时成为国子监教材．其中记载了在夏至日利用日晷影长测算大地南北长度的方法，并归纳出“影差一寸，地差千里”的规律．学校数学社团“队”，为了验证该规律进行了以下的数学实验． 如图，为路灯灯泡，为地面，，米，当长为1米且垂直地面的木杆、分别放置在点、时，影长分别为、，、、、在一条直线上，为“影差”，为“地差”． (1)在路灯下，如果米，米，求这时的“影差”与“地差”． (2)在路灯下，对于任意的两点、，“影差”与“地差”的关系是否确定？如果确定，有怎样的关系？如果不确定，请说明理由． 21.（本题 12分）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 22．（本题 16分）如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． (1)求抛物线的表达式； (2)过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 23．（本题 16分）如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年沪教版九年级上学期期中精选练习卷（一） 数 学 （考试时间：100 分钟 试卷满分：150 分） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，把答案填写在题后的括号内；回答非选择题时，将答案写在题目下方的空白处。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册（相似三角形、二次函数） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】只需要判断最短的线段与最长的线段的乘积是否等于剩余两条线段的乘积即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 2．已知线段，作线段，使，那么正确的作法是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：由可得，， A、由平行线分线段成比例可得，，则，故A正确； B、由平行线分线段成比例可得，，则，故B错误； C、由平行线分线段成比例可得，，则，故C错误； D、由平行线分线段成比例可得，，则，故D错误． 3．已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】分和两类讨论，结合函数图象与轴有交点的条件求解 【详解】解：当时，函数为，是一次函数，与轴有交点，符合题意； 当时，函数为二次函数，图象与轴有交点，则， ， 解得， 综上，的取值范围是 4．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形性质，相似比为，对应边比为，对应点连线过位似中心，对应边互相平行，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此选出错误选项． 【详解】由题意知，与是位似图形，把放大为原图形的2倍得到， 因此相似比为． 选项A、因为相似图形的对应边成比例，所以，选项A正确； 选项B、因为位似图形的对应点的连线经过位似中心，因此点在同一直线上，选项B正确； 选项C、因为位似图形的周长比等于相似比，所以，选项C错误； 选项D、因为位似图形的对应边互相平行，所以，选项D正确． 5．下列图形，相似的一组是（  ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．有一个内角为的两个菱形 D．边长分别是2厘米和3厘米的两个菱形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，根据相似图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； C、有一个内角为的两个菱形对应边成比例，相似，符合题意； D、边长分别为2厘米和3厘米的两个菱形对应角不一定相等，不符合题意． 故选：C． 6．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 二、填空题（本大题共 11 小题，每小题 4 分，满分 44 分） 7．二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】已知函数为二次函数，因此二次项系数不为0，函数图像与轴有两个交点，因此判别式大于0，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴，即， ∵二次函数图像与轴有两个交点 ∴判别式， 其中，，， 代入得： 展开计算得： ， 令，即 解得． 综上，实数的取值范围是且． 8．若实数x、y、z满足，则k的值为________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得，从而得出，进而得出，即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，黄金分割点的比例为，由黄金分割点定义即可求解． 【详解】解：∵点、都是线段的黄金分割点， ∴ ∴ 故答案为：． 10．在中，、分别在边、上，，如果的面积和四边形的面积相等，，那么的长为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 由，可得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合的面积等于四边形的面积，得出与的面积比，从而求出相似比，再根据计算的长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 设的面积为S，则四边形的面积也为S， ∴的面积为， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴， 即， ∴， ∴（取正值）， ∴． 故答案为：． 11．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为____元． 【答案】 【分析】根据每件利润乘以总销售量得到利润的二次函数解析式，再结合二次函数的性质和给定的自变量取值范围求解最大利润． 【详解】解∶设每件玩具涨价x元， 则利润， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴，解得， ∵，抛物线开口向下，当时，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为， ∴最大利润w为2210元． 12．如图，Q为正方形ABCD的CD边上一点，CQ=1，DQ=2，P为BC上一点，若PQ⊥AQ，则CP=_____． 【答案】 【分析】证明△ADQ∽△QCP：已知的条件有∠C=∠D=90°，那么只要得出另外两组对应角相等即可得出两三角形相似，因为∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°，而∠DAQ+∠DQA=90°，因此∠CQP=∠DAQ，那么就构成了两三角形相似的条件；然后由相似三角形的对应边成比例、正方形的四条边都相等及已知条件CQ=1，DQ=2求解即可． 【详解】解：∵PQ⊥AQ， ∴∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°； 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAQ+∠DQA=90°， ∴∠CQP=∠DAQ， ∴ADQ∽△QCP， , ∵CQ=1，DQ=2， ∴AD=DC=3； ∴CP=， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质．在求相似比时，一定要找对相似三角形的对应边． 13．如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则______．    【答案】 【分析】先证明，得，，再运用，得出，结合勾股定理列式计算，再证明，得出，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图所示：延长交于点F，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 14．中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 15．如图，在中，．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在上，则小正方形的边长为____________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】作CF⊥AB，交DE于点H，利用面积法求出CF的长，证明△DEC∽△ABC，则CH:CF=DE:AB，进而即可求得 【详解】作CF⊥AB，交DE于点H，连接 依题意， CF= ∵CH⊥DE，CF⊥AB ∴CH:CF=DE:AB 设小正方形的边长为,则 ∴（-x）：=nx：5 解得x= 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，添加辅助线是解题的关键． 16．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则_____． 【答案】或 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 17．如图，在边长为4的正方形中，点E为边上的动点（不与点A、B重合），将沿着翻折得到，过点F分别作，，垂足分别为点M、N，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，过点F作于点H，根据折叠性质可得，垂直平分，从而、、三点共线且；延长交于，通过证明，建立与的数量关系，进而表示出，利用二次函数性质求解最大值． 【详解】解：如图所示，连接，过点F作于点H， 由折叠的性质可得 ，垂直平分， ∵， ∴、、三点共线，且， ∴ ； ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∴ ； 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴、、三点共线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值． 三、解答题（本大题共 6小题，满分 82 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（本题 12 分）已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为此抛物线上一点，且纵坐标为5，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为和 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）通过函数解析式求出点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得， ∴点的坐标为和． 19.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以点为位似中心的位似图形、点、、都在格点上，则点的坐标为__________． (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． (3)在线段上找一点使得． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，，并分别延长，相交于点P，即可得出答案； （2）根据位似的性质作图，运用位似比即可解答； （3）取格点，连接交于点，可得，则． 【详解】（1）解：如图，连接，，并分别延长，相交于点P， 则P点为位似中心， ∴点P的坐标为； （2）略 （3）略 20．（本题 12 分）《周髀算经》是我国古代的一部天文学与数学著作，大约成书于公元前5到7世纪之间，其利用数学测算日月运行等，在唐代时成为国子监教材．其中记载了在夏至日利用日晷影长测算大地南北长度的方法，并归纳出“影差一寸，地差千里”的规律．学校数学社团“队”，为了验证该规律进行了以下的数学实验． 如图，为路灯灯泡，为地面，，米，当长为1米且垂直地面的木杆、分别放置在点、时，影长分别为、，、、、在一条直线上，为“影差”，为“地差”． (1)在路灯下，如果米，米，求这时的“影差”与“地差”． (2)在路灯下，对于任意的两点、，“影差”与“地差”的关系是否确定？如果确定，有怎样的关系？如果不确定，请说明理由． 【答案】(1)“影差”为1米,“地差”为5米 (2)“影差”与“地差”有一定的数量关系，即“地差”是“影差”的5倍． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． （1）分别证明，，运用相似三角形的性质可得结论； （2）思路与方法同（1）可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵（米），（米），（米）， ∴， ∴（米）， ∴（米）； 同理可证， ∴， ∵（米），（米），（米）， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴这里的“影差”为（米）, “地差”为（米） （2）解：设，，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理，由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵为“影差”， 为“地差”， 所以，“影差”与“地差”有一定的数量关系，即“地差”是“影差”的5倍． 21．（本题 12分）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．（本题 16 分）如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． (1)求抛物线的表达式； (2)过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 ． (2)①存在，点 的坐标为 ； ②点 的横坐标为 或 ． 【分析】（1）由直线 与 轴、 轴的交点得 、，把两点坐标代入 ，用待定系数法求出 、； （2）①设过点 的直线为 ，分别与直线 、抛物线联立，用 表示点 、 的坐标；由 且 、、 共线，结合点 在第一象限时三点的位置关系，得点 是线段 的中点，再作垂线构造全等三角形，把中点转化为水平距离相等，列方程求出 ； （2）②先作 于 ，在等腰直角三角形与直角三角形中求出 ；再按点 在线段 上、点 左侧、点 右侧三类讨论：点 在线段 上时由三角形内角和得 ，直接解出点 ；点 左侧时由内角和得负角，舍去；点 右侧时作 的平分线构造 ，建立 与 的方程解出点 ，最后求直线 与抛物线的另一交点，得点 的横坐标． 【详解】（1）解：对于直线 ，当 时，；当 时，． ∵直线 经过点 、，点 在 轴上，点 在 轴上， ∴，． 把 、 代入 ，得 ，， ∴，解得 ， ∴抛物线的表达式为 ． （2）解：∵抛物线 与 轴交于 、 两点， ∴，． 设过点 的直线为 ． ①存在．理由如下： 由 与 联立，得 ， 解得 ， ∴． 由 与 联立，得 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴， ∴． ∵点 在第一象限， ∴ 且 ， ∴ 或 ． 当 时，，则 ，点 在线段 上， 则 ，与 矛盾，舍去． 当 时，，点 在线段 上， ∵， ∴， 分别过点 、 作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∵，， ∴， ∴， 解得 或 （舍去）， ∴，， ∴点 的坐标为 ． ②当 时， 过 作 于点 ， ∵，， ∴，， ∵点 在线段 上， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 在线段 上， ∴，即 ． 设 ，点 在直线 上，其位置分三种情况讨论： 情况一：点 在线段 上，此时射线 与 方向相反， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得 ，解得 ， ∴． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ， 由 ，得 ，即 ， 解得 或 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴点 的横坐标为 ． 情况二：点 在点 的左侧，即 ，此时射线 与 方向相同， ∴，， 则 ，不成立，舍去． 情况三：点 在点 的右侧，即 ，此时射线 与 方向相同， ∴，． 作 的平分线交 于点 ，则 ， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又 ， ∴， ∴，即 ， 其中 ，，， 设 ，则 ，， ∴，即 ， 两边平方，得 ， 即 ， ∵，两边同除以 ， ∴， ∴， 解得 ， 经检验， 时，，，等式成立， ∴． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ， 由 ，得 ，即 ， ∴， 解得 或 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴点 的横坐标为 ． 综上，点 的横坐标为 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的表达式、一次函数与二次函数的交点、等腰三角形的判定与性质、全等三角形、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数．解题关键：一是把 结合三点共线与位置关系转化为“点 是线段 的中点”，再作垂线构造全等三角形；二是对 按点 与线段 的位置关系分类，点 在线段上时转化为等腰三角形 ，点 在点 右侧时作角平分线构造相似三角形，建立 与 的方程． 23．（本题 16 分）如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； (2)，定义域为 (3)或或 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据、直角三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）延长交于K，先证明求得，再证明得到，再由得到，再代入求解即可； （3）先根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、解直角三角形求解即可得． 【详解】（1）略． （2）解：延长交于K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵矩形中，， ∴， ∴，又， ∴； 由（1）结论，得， ∴， 即，定义域为； （3）解：由题意，当为等腰三角形时，分以下三种情况： ①当时，为等腰三角形， ， ， ∴， ∵， ， ，即是的平分线， 过E作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴， 解得； ②当时，为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为等腰三角形， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由得， 解得， 综上，为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论，并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $