2026-2027学年人教版九年级数学上册期中教学质量监测试卷

2026-2027学年第一学期九年级数学期中教学质量监测 人教版新课标第二十五章~第二十八章 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 2.一元二次方程配方后，结果正确的是(   ) A. B. C. D. 3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(     ) A. B. C. D. 4.二次函数的顶点坐标是(     ) A. B. C. D. 5.中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为(     ) A. B. C. D. 6.如图，将绕点逆时针旋转得到当点，，在同一直线上，，(     ) A. B. C. D. 7.已知二次函数的与的部分对应值如表： 则下列判断中正确的是(     ) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在与之间 8.如图，点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则、两点的坐标分别为(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 9.函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(     ) A. B. C. D. 10.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数的图象与轴的交点是         ． 12.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则使的的取值范围是        ． 13.若方程的两个根分别是与，则       ． 14.一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离单位：米与滑行时间单位：秒之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为       秒 15.如图，正方形，边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为         ． 16.抛物线交轴于点和点在点左侧，抛物线的顶点为，下列四个结论： 抛物线过点； 当时，是等腰直角三角形； ； 抛物线上有两点和，若，且，则． 其中结论正确的序号是             ． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解下列方程： 配方法 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，， 画出关于原点对称的，并写出点的坐标 画出绕原点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标； 19.本小题分 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为 求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离； 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 20.本小题分 综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，单位：随滚动时间单位：变化的数据，整理得下表． 滚动时间 滚动速度 一解决问题： 小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围：______； 黑球在滑道上滚动用了多少秒？ 二拓展提升： 求黑球在滑道上滚动的最远距离． 提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度 21.本小题分 如图所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． 如图所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； 如图所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接若，，求线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期九年级数学期中教学质量监测 人教版新课标第二十五章~第二十八章 (满分：100分，限时：90分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.下列图形是中心对称图形的是() 2.一元二次方程x2一4x-9=0配方后，结果正确的是() A.(x-2)2=5 B.(区-3)2=0 C.x-2)2=9 D.(x-2)2=13 3.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 4.二次函数y=5x-1)2+2的顶点坐标是() A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(1,2) 5.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十 步，问长多阔几何其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步， 问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为() A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60]=864 6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ABC'.当点B,C,B在同一直线上，∠BAC= 100°，∠C'=() A.60° B.65 C.70° B D.75° 第1页，共7页 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： X -1 0 3 y -3 3 则下列判断中正确的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴 C.当x=4时，y>0 D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 8如图，点A的坐标为(-2W3,2),点B的坐标为(-1，-V3),菱形ABCD的对角线交于坐标原 点O,则C、D两点的坐标分别为() A.(2V3,2),(1,V3) B.(2V3,-2),(1,V3) C.(-23,-2),(-1,V3) D.(-2W3,2),(-1,-V3) 9.函数y=ax+b与y=ax2+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是() 10.如图，直线y=x与抛物线y=x2-2x+交于A,B两点，点P是 y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，△PAB的面积为() A号 B号 C.3 D 第2页，共7页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数y=-(x+3)2+1的图象与y轴的交点是 12.如图，一次函数y1=x-1与反比例函数y2=的图象交于点A(2,1),B(-1,-2),则使y1<y2 的x的取值范围是 13.若方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m-4与3m-8,则= 14.一种大模型飞机模型表演中，己知该种飞机登陆后滑行的距离y(单位：米)与滑行时间（单位： 秒)之间的函数关系表达式为y=80t一2tP,则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间 为 秒 15.如图，正方形ABCD,边长AB=2,对角线AC、BD相交于点O,将直角 A 三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F 两点，当三角板绕点O旋转时，线段E℉的最小值为 16.抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A(a,0)和B(b,0)(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D, 下列四个结论： ①抛物线过点(2，m)： ②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形： ③a+b=4; ④抛物线上有两点Px1,y1)和Q&2,y2),若x1<X2,且x1+X2>2,则y1>y2 其中结论正确的序号是 第3页，共7页 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分)解下列方程： (1)x2-8x+1=0(配方法) (2)x2+10x+16=0 (3)(2x-1)2=(3-x)2 18.(本小题6分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-3,4),B(-5,1),C(-1,2) -5434241 6 (I)画出△ABC关于原点对称的△A1BC1,并写出点A1的坐标， (2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△ABC2,并写出点C,的坐标： 第4页，共7页 19.(本小题10分) 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐 标系，抛物线可以用y=-x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到 地面OA的距离为号m 17 B. (1I)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离： (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6，宽为4m,如果隧道内设双向行车道，那么这辆货 车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8,那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 第5页，共7页 20.(本小题12分) 综合与实践 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A处 开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度v,(单位：cs随滚动时间t(单位： s)变化的数据，整理得下表. 滚动时间s) 0 1 2 3 4 滚动速度v(cm/s)10 9.5 9 8.5 8 (一)解决问题： (1)小明探究发现，黑球的滚动速度V与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出关于t的函数 解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)黑球在滑道上滚动64cm用了多少秒？ (二)拓展提升： (3)求黑球在滑道上滚动的最远距离. (提示：距离s=平均速度vx时间t,V=。+v),其中vo是开始时的速度，Y是t秒时的速度) 黑球 第6页，共7页 21.(本小题12分) 如图①所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD 上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明. B B A D D C D 图① 图② 图③ (I)如图②所示，将△ADE绕点A逆时针旋转a(0<a<90),连接BD和CE,此时BD=CE是否 依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由： (2)如图③所示，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.若 AB=AC=2V3,CD=V6,求线段DE的长. 第7页，共7页2026-2027学年第一学期九年级数学期中教学质量监测 人教版新课标第二十五章~第二十八章 (满分：100分，限时：90分钟) 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.下列图形是中心对称图形的是() 【答案】c 【解析】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意： B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意： C、选项图形是中心对称图形，符合题意： D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意. 故选：C 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出. 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键。 2.一元二次方程x2一4x一9=0配方后，结果正确的是() A.(x-2)2=5 B.&-3)2=0 C.(x-2)2=9 D.(X-2)2=13 【答案】D 【解析】解：原方程移项得x2-4x=9, 两边加4得x2-4x+4=9+4, 即(x-2)2=13. 故选：D. 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的 平方. 本题考查配方法的基本操作，关键是通过添加常数项完成平方. 3.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 第1页，共15页 【答案】C 【解析】解：关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根， △=0且a≠0. .22-4a=0且a≠0. ∴a=1. 故选：C 先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于a的方程，求解即可. 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题 的关键， 4.二次函数y=5x-1)2+2的顶点坐标是() A.(-1,2) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(1,2) 【答案】D 【解析】解：二次函数y=5(区-1)2+2， 该函数的顶点坐标(1,2)， 故选：D 根据函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标. 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以写出顶点坐标， 5.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六 十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60 步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为() A.x(60-x)=864 B.xx-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 【答案】A 【解析】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： x(60-x)=864, 故选：A. 根据题意，设宽为x步，则长为(60-x)步，利用矩形面积公式即可列出方程， 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键 6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ABC'.当点B,C, B在同一直线上，∠BAC=100°，∠C() A.60° B 第2页，共15页 B.65° C.70° D.75 【答案】B 【解析】解：由题意可得： ·AB=AB',∠BAB=150°， ÷∠B=∠ABB=(180°-150)÷2=15， ÷.∠AB'C=∠B=15°，∠BAC=∠BAC=100°， .∠C=180°-100°-15°=65°， 故选：B. 根据图象旋转的性质，得AB=AB,∠BAB'=150°，从而得∠B=15°，结合∠AB'C=∠B=15°， ∠B'AC'=∠BAC=100°，即可求解. 本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质 是解题的关键， 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： X 0 1 3 -3 1 3 则下列判断中正确的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴 C.当x=4时，y>0 D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 【答案】D 【解析】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线x=:-号有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误， 抛物线与y轴的交点为(O,1),故选项B错误， x=-1和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=3<0,故选项C错误， 方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故选项D正确， 第3页，共15页 故选D 根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法 是否正确，从而可以解答本题， 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需 要的条件，利用二次函数的性质解答 8.如图，点A的坐标为(-2V3,2),点B的坐标为(-1，-√③)，菱形 ABCD的对角线交于坐标原点O,则C、D两点的坐标分别为() A.(23,2),(1,V3) B.(2V3,-2),(1,V3 C.(-2V3,-2),(-1,V3) D.(-2V3,2),(-1,-V3 【答案】B 【解析】解：：四边形ABCD为菱形， ..OA=OC,OB=OD, :点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， :点A的坐标为(-2V3,2),点B的坐标为(-1，-V3, ·C点坐标为(2V3,-2),D点坐标为(1，√③) 故选：B. 由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，B、D关于原点对称，结合条件可求得点C,D点 的坐标. 本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键。 9.函数y=ax+b与y=ax2+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是() B 第4页，共15页 【答案】A 【解析】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下： A、此选项由函数y=ax+b图象可得a>0,b>0,由y=ax2+b(a≠0)图象可得a>0,b>0, 符合题意： B、此选项由函数y=ax+b图象可得a>0,b<0,由y=ax2+b(a≠0)图象可得a>0,b>0, 不符合题意： C、此选项由函数y=ax+b图象可得a>0,b=0,由y=ax2+b(a≠0)图象可得a<0,b>0, 不符合题意： D、此选项由函数y=ax+b图象可得a>0,b>0,由y=ax2+b(a≠0)图象可得a<0,b>0, 不符合题意； 故选：A. 根据三次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性 质是解题的关键。 本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，熟练掌握以上知识点是关键。 10.如图，直线y=x与抛物线y=x2-2x+交于A,B两点，点P是 y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，△PAB的面积为() A号 B号 C.3 D吕 【答案】A (y=x 【解析】解：联立得 y=2x2-2x+ 2 解得1 (=5 可或 y=1y=5' 点B的坐标为(5,5)，点A的坐标为(1,1)， AB=√5-12+(5-1)P=4V2, 作点A关于y轴的对称点A',连接AB与y轴的交于P,则此时△PAB的周长最小， 点B的坐标为(5,5)，A的坐标为(-1,1)， 设直线AB的函数解析式为y=kx+b, 第5页，共15页 -k+b=1 5k+b=5 解得 b=5' 3 y=ix+ 2 B 当x=0时，y= 3 即点P的坐标为0，， 过点P作PD 1 OB于点D, 将y=1代入直线y=x中，得x=1, A(1,1), 直线y=x与y轴的夹角是45°， △PDO是等腰直角三角形， PD=PO _5V2 26 当△PAB的周长最小时，△PAB的面积AB:PD=×要×4W-号 6 故选：A. 根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和 AB的长度，即可求得△PAB的面积 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称一最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角 形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数y=-(x+3)2+1的图象与y轴的交点是一· 【答案】(0，-8) 【解析】解：二次函数图象与y轴的交点坐标可得： 当x=0时，y=-(0+3)2+1=-8, 图象与y轴的交点为(0，-8). 故答案为：(0，-8)： 求二次函数图象与y轴的交点，令x=0,代入函数解析式计算y的值即可. 本题考查了二次函数图象与一元二次方程的联系，关键是图象与y轴交点的横坐标为0. 第6页，共15页 12.如图，一次函数y1=x-1与反比例函数y2=的图象交于点A(2,1),B(-1,-2),则使y1<y2 的x的取值范围是· 【答案】0<x<2或x<-1 【解析】解：~一次函数y1=x-1与反比例函数y2=2的图象交于点A(2,1),B(-1,-2), 从图象可知：使y1<y2的x的取值范围是x<-1或0<x<2, 故答案为0<x<2或x<-1. 求得一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值即可. 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键. 13.若方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m-4与3m-8,则=一 【答案】1 【解析】解：：x2-片ab>0 方程的两个根互为相反数， m-4+3m-8=0,解得m=3, ∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是1与-1， b=1. a 故答案为：1. 利用直接开平方法得到x=士 得到方程的两个根互为相反数，所以m-4+3m-8=0,解得 m=3,则方程的两个根分别是1与-1，则有}-1，然后两边平方得破1， 本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或x+m)P=p①≥0)的一元二次方程可 第7页，共15页 采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=pp>0)的形式，那么可得x=±√D: 如果方程能化成x+m)=pp≥0)的形式，那么nx+m=±√下. 14.一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离y(单位：米)与滑行时间（单位： 秒)之间的函数关系表达式为y=80t一2t,则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间 为秒 【答案】20 【解析】解：由题意，函数为y=80t-2t2=-2(t2-40t+400-400)=-2t-20)2+800, 当t=20时，y取得最大值. 该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为20秒. 故答案为：20. 依据题意，先将函数关系表达式化为y=80t-2t2=-2t-20)2+800,由飞机停止时，y取得最 大值，即可得到答案 本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，y取得最大值. 15.如图，正方形ABCD,边长AB=2,对角线AC、BD相交于点O,将直 角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、 F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为一· 【答案】√2 【解析】解：四边形ABCD是正方形， ÷OC=OD,∠ODC=∠OCB=45°，OC1OD, :∠EOF=90°=∠COD, ·∠DOF=∠COE,且OC=OD,∠ODC=∠OCB=45°， ∴△OEC≌△OFD(ASA) OE=OF,且∠EOF=90°， .EF=20E, ∴OE取最小值，EF有最小值， 当OE1BC时，OE有最小值， OB=OC,∠BOC=90°，OE1BC, 0E=BC=1, ·.EF的最小值为√2， 故答案为：√2 第8页，共15页 由“ASA”可证△OEC≌△OFD,可得OE=OF,可得EF=√2OE,则OE取最小值，EF有最 小值，当OE1BC时，OE有最小值，由等腰三角形的性质可求解. 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明 △OEC≌△OFD是本题的关键 16.抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A(a,0)和B(b,0)(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D, 下列四个结论： ①抛物线过点(2，m): ②当m=0时，△ABD是等腰直角三角形： ③a+b=4; ④抛物线上有两点P区1，y1)和Qx2,y2),若x1<x2,且x1+X2>2,则y1>y2 其中结论正确的序号是 【答案】①②④ 【解析】解：①把x=2代入y=-x2+2x+m得，y=m, D 抛物线过点(2，m), 故①正确： ②当m=0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)、(2,0)， 对称轴为x=1, ∴△ABD是等腰直角三角形， 故②正确： ③：抛物线y=-x2+2x+m交x轴于点A(a,0)和Bb,0)(点A在点B左侧)， ·.a、b是方程=-x2+2x+m=0的两个根， a+b=2=2, -1 故③错误； ④观察二次函数图象可知： 当x1<X2,且x1+X2>2,则y1>y2: 故④正确 故答案为：①②④. ①把x=2代入解析式，求得函数值即可判断： ②当=0时，根据抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断： ③根据根与系数的关系即可判断： ④根据二次函数图象即可判断. 第9页，共15页 本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、 等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识. 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题12分) 解下列方程： (1)x2-8x+1=0(配方法) (2)x2+10x+16=0 (3)(2x-1)2=(3-x)2 【答案】(1)x2-8x+1-0, 移项可得：x2-8x=1, 配方可得：x2-8x+16一1+16， 开方可得：(x-4)=15, x-4=V15或x-4=-√15， x1=4+√15，x2=4-√15 (2)x2+10x+16-0, 因式分解可得：(x+2)(x+8)0, 化为一元一次方程可得：x+2=0或x+8=0, x1=2,X3=-8 (3)(2x-1)3=(3-x)2, 2x-1=3-x或2x-1X-3, 3x=4或x一2， 冰1=7X9-2 4 第10页，共15页 18.(本小题6分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-3,4),B(-5,1),C(-1,2) -5434241 0 (I)画出△ABC关于原点对称的△A1B,C1,并写出点A1的坐标， (2)画出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的△A2B2C2,并写出点C2的坐标 【答案】(1)如图，△A1BC1即为所求.点A1的坐标为(3，-4 (2)如图，△AB2C,即为所求.点C2的坐标为(-2，-1) 19.(本小题10分) 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐 标系，抛物线可以用y=一名x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到 第11页，共15页 地面OA的距离为名m. D 17 2 B B : (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离： (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道，那么这辆货 车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8,那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】解：()根据题意得B0,4),C6,), 把B0,0,c3号代入y=-言x+bx+e得名x32+3b+c=号 c=4 2 解得化子 所以抛物线解析式为y= 名x2+2x+4 则y=一-6+10， 所以D(6,10), 所以拱顶D到地面OA的距离为10m: (2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0)， 当x=2或x=10时，y=号>6， 所以这辆货车能安全通过： 3)令y=8,则-x-6+10=8,解得x1=6+2W3,x3=6-2W3, 则x1-x2=4W3, 所以两排灯的水平距离最小是4v3m 第12页，共15页 20.(本小题12分) 综合与实践， 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在A处 开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度v,(单位：cs随滚动时间t(单位： s)变化的数据，整理得下表. 滚动时间s) 10 2 3 4 滚动速度v(cm/s)10 9.5 9 18.5 8 (一)解决问题： (1)小明探究发现，黑球的滚动速度V与滚动时间t之间成一次函数关系，直接写出v关于t的函数 解析式（不要求写出自变量的取值范围）： (2)黑球在滑道上滚动64cm用了多少秒？ (二)拓展提升： (3)求黑球在滑道上滚动的最远距离. (提示：距离s=平均速度v×时间t,V=(v。+v),其中v是开始时的速度，v,是t秒时的速度) 黑球 【答案】(1M=-t+10: (2)8秒： (3)黑球滚动的最远距离为100cm. 【解析】解：(1)设关于t的函数解析式为v,=at+b, 根据题意得： 2a+b=9 6=10 解得： b=10 v关于t的函数解析式为y=-t+10, 故答案为：一+10： ②)：y=一t+10,v。=10,v=iwo+) =10-t+10)=-t+10, .8=v.t, 第13页，共15页 8=(-4t+10t一+10t=64, 解得：t1=8,t=32(舍去)， 答：黑球在滑道上滚动64cm用了8秒： (③)：8=-4+10t=-4-209+100,-40, 当t=20时，s最大，最大值为100， 答：黑球滚动的最远距离为I00cm. 21.(本小题12分) 如图①所示，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD 上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明. B B C A D B D 图① 图② 图③ (1)如图②所示，将△ADE绕点A逆时针旋转a(0<a<90),连接BD和CE,此时BD=CE是否 依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③所示，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.若 AB=AC=2V3,CD=V6,求线段DE的长. 【解析】(I)BD=CE成立，证明如下： :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ·AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ..BD=CE; (2):AB=AC=2V3,∠BAC=90°， ÷BC=√AB2+AC=2V6,∠ABC=∠ACB=45°， 同上可得△ACE≌△ABD, ∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE, ·∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，CE=BD=BC+CD=2V6+√6=3V6: 第14页，共15页 DE=√CE2+CD= (3V62+(W62=2V15. 第15页，共15页 2026-2027学年第一学期九年级数学期中教学质量监测 人教版新课标第二十五章~第二十八章 （满分：100分，限时：90分钟） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 2.一元二次方程配方后，结果正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：原方程移项得 ， 两边加得 ， 即 ． 故选：． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 本题考查配方法的基本操作，关键是通过添加常数项完成平方． 3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且． 且． ． 故选：． 先计算根的判别式，再根据方程解的情况得关于的方程，求解即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式和方程解的关系是解决本题的关键． 4.二次函数的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：二次函数， 该函数的顶点坐标， 故选：． 根据函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，由函数的顶点式可以写出顶点坐标． 5.中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： ， 故选：． 根据题意，设宽为步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程． 本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键． 6.如图，将绕点逆时针旋转得到当点，，在同一直线上，，(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可得： ，， ， ，， ， 故选：． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 7.已知二次函数的与的部分对应值如表： 则下列判断中正确的是(    ) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴 C. 当时， D. 方程的正根在与之间 【答案】D  【解析】解：由图表可得， 该函数的对称轴是直线，有最大值， 抛物线开口向下，故选项A错误， 抛物线与轴的交点为，故选项B错误， 和时的函数值相等，则时，，故选项C错误， 方程的正根在与之间，故选项D正确， 故选：． 根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 8.如图，点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则、两点的坐标分别为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【解析】解：四边形为菱形， ，， 点为坐标原点， 点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， 点的坐标为，点的坐标为， 点坐标为，点坐标为 故选：． 由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标． 本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 9.函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下： A、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； B、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； C、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； D、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，熟练掌握以上知识点是关键． 10.如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 解得， ， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点， 将代入直线中，得， ， 直线与轴的夹角是， 是等腰直角三角形， ， 当的周长最小时，的面积， 故选：． 根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.二次函数的图象与轴的交点是        ． 【答案】  【解析】解：二次函数图象与轴的交点坐标可得： 当时，， 图象与轴的交点为． 故答案为：． 求二次函数图象与轴的交点，令，代入函数解析式计算的值即可． 本题考查了二次函数图象与一元二次方程的联系，关键是图象与轴交点的横坐标为． 12.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则使的的取值范围是       ． 【答案】或  【解析】解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， 从图象可知：使的的取值范围是或， 故答案为或． 求得一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量的取值即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 13.若方程的两个根分别是与，则      ． 【答案】  【解析】解：， ， 方程的两个根互为相反数， ，解得， 一元二次方程的两个根分别是与， ， ． 故答案为：． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到． 本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 14.一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机登陆后滑行的距离单位：米与滑行时间单位：秒之间的函数关系表达式为，则该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为      秒 【答案】  【解析】解：由题意，函数为， 当时，取得最大值． 该种模型飞机登陆后滑行停止所需要的时间为秒． 故答案为：． 依据题意，先将函数关系表达式化为，由飞机停止时，取得最大值，即可得到答案． 本题主要考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时，取得最大值． 15.如图，正方形，边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为        ． 【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ，，， ， ，且，， ≌ ，且， ， 取最小值，有最小值， 当时，有最小值， ，，， ， 的最小值为， 故答案为：． 由“”可证≌，可得，可得，则取最小值，有最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求解． 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明≌是本题的关键． 16.抛物线交轴于点和点在点左侧，抛物线的顶点为，下列四个结论： 抛物线过点； 当时，是等腰直角三角形； ； 抛物线上有两点和，若，且，则． 其中结论正确的序号是            ． 【答案】  【解析】解：把代入得，， 抛物线过点， 故正确； 当时，抛物线与轴的两个交点坐标分别为、， 对称轴为， 是等腰直角三角形， 故正确； 抛物线交轴于点和点在点左侧， 、是方程的两个根， ， 故错误； 观察二次函数图象可知： 当，且，则． 故正确． 故答案为：． 把代入解析式，求得函数值即可判断； 当时，根据抛物线与轴的两个交点坐标和对称轴即可判断； 根据根与系数的关系即可判断； 根据二次函数图象即可判断． 本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识． 三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解下列方程： 配方法 【答案】(1)x2-8x+1=0， 移项可得：x2-8x=-1， 配方可得：x2-8x+16=-1+16， 开方可得：（x-4）2=15， 或， ∴，  (2)x2+10x+16=0， 因式分解可得：（x+2）（x+8）=0， 化为一元一次方程可得：x+2=0或x+8=0， ∴x1=-2，x2=-8  (3)（2x-1）2=（3-x）2， 2x-1=3-x或2x-1=x-3， 3x=4或x=-2， ∴，x2=-2  18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，， 画出关于原点对称的，并写出点的坐标 画出绕原点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图,即为所求.点的坐标为(3,-4).  (2)如图,即为所求.点的坐标为(-2,-1). ​​​​​​​  19.本小题分 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是，宽是按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为 求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离； 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】解：根据题意得，， 把，代入得， 解得． 所以抛物线解析式为， 则， 所以， 所以拱顶到地面的距离为； 由题意得货运汽车最外侧与地面的交点为或， 当或时，， 所以这辆货车能安全通过； 令，则，解得，， 则， 所以两排灯的水平距离最小是  20.本小题分 综合与实践． 实验操作：物理实验课上小明做一个实验，在一条笔直的滑道上有一个黑球以一定的速度在处开始向前滚动，并且均匀减速，测量黑球减速后的滚动速度，单位：随滚动时间单位：变化的数据，整理得下表． 滚动时间 滚动速度 一解决问题： 小明探究发现，黑球的滚动速度与滚动时间之间成一次函数关系，直接写出关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围：______； 黑球在滑道上滚动用了多少秒？ 二拓展提升： 求黑球在滑道上滚动的最远距离． 提示：距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度 【答案】； 秒； 黑球滚动的最远距离为．  【解析】解：设关于的函数解析式为， 根据题意得：， 解得：， 关于的函数解析式为， 故答案为：； ，，， ， ， ， 解得：，舍去， 答：黑球在滑道上滚动用了秒； ，， 当时，最大，最大值为， 答：黑球滚动的最远距离为． 21.本小题分 如图所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． 如图所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； 如图所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接若，，求线段的长． 【解析】成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ≌， ； ，， ，， 同上可得≌， ，， ，； ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $