精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

彭山一中2026～2027学年度上期高2028届10月月考 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】空间直角坐标系中，点关于平面对称的坐标变换规则如下， 为对称点的横坐标、纵坐标与原坐标相同，竖坐标为原坐标竖坐标的相反数， 已知点，则对称点坐标为. 2. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， . 4. 若空间内一组基底为且四点共面则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为是空间内的一组基底，四点共面， 则四点共面向量的性质， 由题可知 5. 已知点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，得 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（     ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知， 则点到的距离为. 7. 若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交， 或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【解析】 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各项表述正确的是（   ） A. 若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 表示，两事件恰有一个发生 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，任意两个事件的通用加法公式为，故A错误； 对于B，互斥事件的概率和满足，故B错误； 对于C，事件与相互独立的定义就是两事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积， 即，故C正确； 对于D，表示发生、不发生，表示不发生、发生， 二者的并集就是两事件恰有一个发生，故D正确． 10. 已知直线，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线平行，则 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 原点到直线的距离可能为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将直线整理成，则有， 解出这个方程组的解就是直线恒过的定点；选项B，求出直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线平行得到，代入和计算得解；选项C，第一种情况：当直线存在斜率时，求出直线的斜率为和在轴上的截距，由不过第二象限，得到且在轴上的截距小于等于0，计算得到的范围；第二种情况：当直线不存在斜率时，，，不经过第二象限，符合题意，这两种情况求并集得到的范围；选项D，利用点到直线的距离求出原点到直线的距离，这个距离等于2，得到的一元二次方程，利用判别式与0的大小关系判断这个一元二次方程是否有解，得到判断. 【详解】选项A，， ，， ，直线恒过定点，故选项A正确； 选项B，的斜率为， 直线的斜率为，这两条直线平行， ，，，故选项B正确； 选项C，第一种情况：当直线存在斜率时， ，当时，， 在轴上的截距为， 不过第二象限， ，，， 第二种情况：当直线不存在斜率时， ， ，，不经过第二象限，符合题意， 综上，若直线不经过第二象限，则，故选项C错误； 选项D，， 原点到直线的距离为 ，，， 有根，原点到直线的距离可能为2，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知棱长为1的正方体，下列说法正确的是（ ） A. 若点为的中点，平面与正方体的截面面积为 B. 若点为平面上一点，直线与直线所成角的正切值为，则点在内的轨迹长度为 C. 若为等边三角形且平面，点是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为 D. 点为空间中一动点，若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则三棱锥体积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，为BC中点，证明截面为等腰梯形，求面积即可；B选项，直线与直线所成角为，求出，得到Q的轨迹，求出在内的长度即可；C选项，作M关于平面ABC的对称点 ，的最小值转化为求到平面QAC的最短距离；D选项，过点Q作平面，由已知条件求出点轨迹，由的取值范围求三棱锥体积的取值范围. 【详解】A选项，记为BC中点，连接， 由点为的中点，正方体中有，则截面为等腰梯形， ， 梯形的高为， 所以截面面积为，A选项正确； B选项，，直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 正方体中，平面，平面，则， 则直线与直线所成角为，，得， 故所求点Q的轨迹为以B为圆心，为半径的圆弧在内的部分， 点为的中点，则有，，， ，圆弧在内的两段，圆心角之和为， 所求弧长，B选项错误； C选项：为等边三角形且平面， 则点与重合或与关于平面ABC的对称点重合，由对称性不妨取点与重合， 因为平面， 且， 以B为原点，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，因为，得， 所以作M关于平面ABC的对称点 ，则，， 的最小值即求到平面QAC的最短距离. 平面QAC的一个法向量，由， 则有，令，则，法向量， ， 所以点到平面QAC的距离， 即的最小值为，C选项正确； D选项，过点Q作平面，连接， 若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为， 由题意知，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则有，设，由， 化简得， 则点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以， 得，D选项正确. 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则__________. 【答案】18 【解析】 【详解】由题意得， 13. 方程表示圆，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的一般式方程，即可求出的范围． 【详解】解：方程表示圆，所以 即，，解得的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力，属于基础题． 14. 已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作图分析，结合对称性将转化为，则点与在同一直线时，最小，求得此时点坐标即可. 【详解】解：如图， 设关于直线的对称点为，因为 所以，解得，则 所以，结合图形则当三点共线时，此时取得最小值，即在点位置时， 则，直线为 于是，解得，即，故取得最小值时点坐标为. 故答案为：. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分）． 15. 已知的三个顶点分别为． （1）求边中垂线所在直线的方程； （2）求的外接圆方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的斜率和的中点坐标，再根据垂直直线的斜率关系得到中垂线斜率，使用点斜式写出直线方程； （2）方法一：设圆的一般方程，代入顶点坐标即可求出外接圆的方程. 方法二：求线段的垂直平分线方程，与的垂直平分线方程联立求出圆心坐标，再求半径，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以直线的斜率，又中点的坐标为， 设线段的中垂线的斜率为，则， 所以 由点斜式得线段的中垂线方程为， 整理得. 【小问2详解】 方法一：设外接圆一般方程为，代入三点坐标得， 解得， 即的外接圆方程为， 即. 方法二：因为，， 所以直线的斜率，又中点的坐标为， 设线段的中垂线的斜率为，则， 所以，所以线段的中垂线方程为，即， 联立方程得圆心坐标，所以圆的半径， 所以圆方程为：. 16. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）分别求事件A，B，C发生的概率； （3）求事件AB和事件AB的概率. 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据 “不放回有序摸球” 的试验规则，按第一次摸球的标号分类枚举所有有序结果，得到全部 12 个等可能基本事件构成的样本空间； （2）分别找出每个事件对应的所有有序样本点，用符合条件的样本点数除以总样本点数 12，得到对应古典概型的概率； （3）先通过 “同时满足两个事件” 找出交事件的样本点算概率，再利用概率加法公式，用两事件概率之和减去交事件概率，得到和事件的概率. 【小问1详解】 样本空间，共有12个基本事件； 【小问2详解】 事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以， 事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以， 【小问3详解】 事件AB的基本事件为：共2个基本事件，所以 所以. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面的距离． 【答案】（1）取的中点，连接，， 由是的中点，得，而，则 又，于是四边形是平行四边形，则， 在中，，，有， 而平面，，则平面， 因为平面，得， 而，，平面， 因此平面，又，所以平面. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得； （2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，设与平面的夹角为，则，将向量代入求解； （3）利用向量法，点C到平面的距离，将向量代入求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）已知平面，而，则直线，，两两垂直， 如图，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 于是，，，，， ，则，，， 设是平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面的夹角为， 因此， 所以与平面所成角的正弦值是. 【小问3详解】 由（2）知平面的一个法向量为，， 则点到平面的距离. 18. 如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，为线段中点． （1）求证：平面； （2）过点作平面，使得平面与平面平行，求平面与线段的交点所在的位置； （3）若底面，在线段（不含端点）上是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取中点，连接, 因为，， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面， 平面， 所以平面； （2）是的四等分点（靠近于）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由线面平行的判定定理即可完成证明； （2）结合（1）利用面面平行的判定定理，作出平面即为平面，为中点，为过作与的交点，结合三角形的中位线即可得点的位置； （3）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知四边形为平行四边形， 取中点，连接， 则， 因为平面,平面, 所以平面, 过作交于, 因为平面,平面, 所以平面, 又因为平面且, 所以平面平面， 所以此时的平面即为平面， 又因为为中点，， 所以为中点， 又因为为中点， 所以为的四等分点（靠近于）， 所以平面与线段的交点是的四分点（靠近于）； 【小问3详解】 存在，. 因为为正方形，，底面， 所以底面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系： 设，则， 所以，, , , , , 所以, 设， 所以， 因为,, 设平面的法向量为， 则，从而得， 取， 又因为, 平面的法向量为， 则，从而得， 取， 设二面角的大小为， 则， 由题意可得， 解得， 所以. 19. 乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立. （1）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束. （i）求事件“”的概率； （ii）求事件“且甲获胜”的概率； （2）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）一小问讨论甲乙分别获胜的概率再相加；二小问分类讨论前两球甲先得分还是乙先得分的概率再相加； （2）讨论乙的最终得分，计算需要再打几场并讨论每场的得分情况，分别求概率再相加 【小问1详解】 （ⅰ）比分平后，两人又打了2个球后比赛结束，则这两个球均由甲得分，或均由乙得分，且两者互斥，所以. （ⅱ）若，则最终比分为，且这4个球中前两个球甲、乙各胜1球，第3，4个球均由甲胜.设双方平后的第个球甲获胜为事件，则事件“且甲获胜”，且与互斥. ， ， 所以事件“且甲获胜”的概率为. 【小问2详解】 甲、乙的比分暂时为，若甲得11分时比赛结束，则共有3种情形：①甲以胜，即甲接下来连赢3球，设为事件；②甲以胜，即双方接下来共打4个球，且甲前3球赢2球，且赢第4个球，设为事件；③甲以负，即双方接下来共打8个球，且前4球甲乙各赢2球，第5，6球各赢1球，第7，8球乙赢，设为事件， 因为双方打每个球的结果相互独立，且，，互斥，所以 ， ， ， 则. 所以甲得11分时比赛结束的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中2026～2027学年度上期高2028届10月月考 数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回） 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效． 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 点关于平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 若空间内一组基底为且四点共面则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 或 6. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到的距离为（     ） A. 3 B. 2 C. D. 1 7. 若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ） A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各项表述正确的是（   ） A. 若事件与事件为同一样本空间的两个事件，则 B. 若事件与事件互斥，则 C. 若事件与事件相互独立，则 D. 表示，两事件恰有一个发生 10. 已知直线，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线平行，则 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 原点到直线的距离可能为2 11. 已知棱长为1的正方体，下列说法正确的是（ ） A. 若点为的中点，平面与正方体的截面面积为 B. 若点为平面上一点，直线与直线所成角的正切值为，则点在内的轨迹长度为 C. 若为等边三角形且平面，点是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为 D. 点为空间中一动点，若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则三棱锥体积的取值范围是 第II卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则__________. 13. 方程表示圆，则的取值范围是__________ 14. 已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分）． 15. 已知的三个顶点分别为． （1）求边中垂线所在直线的方程； （2）求的外接圆方程； 16. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. （1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； （2）分别求事件A，B，C发生的概率； （3）求事件AB和事件AB的概率. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点C到平面的距离． 18. 如图，在多面体中，四边形为正方形，，且，为线段中点． （1）求证：平面； （2）过点作平面，使得平面与平面平行，求平面与线段的交点所在的位置； （3）若底面，在线段（不含端点）上是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 乒乓球运动是常见的大众运动项目之一.已知11分制乒乓球比赛中，每一局比赛的规则如下：参加比赛双方的起始比分为0∶0，任何一方每赢得一球该方增加1分，对方不增加分；若双方比分未出现10∶10，参赛双方每打完两球交换一次发球权，直至某一方先得11分且至少领先对方2分时，该方获胜，该局比赛结束；若双方比分出现10∶10，立即交换发球权，且接下来每打完一球交换一次发球权，直至某一方领先对方2分，该方获胜，该局比赛结束.现甲、乙双方进行乒乓球比赛，设甲发球并赢得该球的概率为，乙发球并赢得该球的概率为，且双方打每个球的结果相互独立. （1）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为10∶10，接下来由甲发球，双方又打了个球后该局比赛结束. （i）求事件“”的概率； （ii）求事件“且甲获胜”的概率； （2）已知甲、乙在某局比赛中目前的比分为8∶8，接下来由甲发球，求“该局比赛结束时甲得11分”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $