精品解析：山东省济南市历城区济南稼轩学校2026-2027学年上学期八年级期中前测试数学试题

济南稼轩学校八年级期中前测试数学试题 2026.10 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 在下列各数中是无理数的有（ ） 0、、、、、3.1415926、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，是一局象棋残局，若表示棋子“车”的坐标为（-2，2），“马”的坐标为（1，2），则“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三条边的长分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 若点关于y轴的对称点是，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 8. 已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点A的横坐标为，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接，现将沿折叠，点B落在第一象限的处，边所在直线交y轴于点C，交x轴于点D，若C的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 的算术平方根是______． 12. 在平面直角坐标系中，点是轴上一点，则点的坐标为______. 13. 如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ____________________． 14. 如图，分别以的三条边向外作三个正方形，连接、，若设，，，则，，之间的关系是_______． 15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”，在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2025次运算后得到点________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） （3） （4）． 17. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 18. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出关于轴对称的． （2）在轴上找一点，使的值最大，请直接写出点的坐标是 ． （3）在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； 20. 书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容．某校为准备举行现场书法大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张（），该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 设方案A的总费用为元，方案B的总费用为元． （1）请分别求出，与x之间的函数关系式． （2）若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 21. 2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 22. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简： ． （2）计算：． （3）已知，求的值． 23. 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有、、三个快递网点，甲车由网点驶往网点，乙车由网点驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是 千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式． （3）当两车距网点的路程之和是340千米时，直接写出乙车的行驶时间； 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过、两点． （1）求直线的函数表达式； （2）设点是轴上的一点，若是等腰三角形，求出点的坐标； （3）设是第一象限内直线上一点，连接，有．，分别是直线，上的动点，连接，，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校八年级期中前测试数学试题 2026.10 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 在下列各数中是无理数的有（ ） 0、、、、、3.1415926、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再根据无理数的定义筛选各数． 【详解】解：． 0、是整数，是分数，3.1415926是有限小数，均为有理数． 、、2.010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加）是无理数． 无理数共有3个． 2. 象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏，如图，是一局象棋残局，若表示棋子“车”的坐标为（-2，2），“马”的坐标为（1，2），则“炮”的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：表示棋子“炮”的点的坐标为：（3，1）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一计算即可. 【详解】A选项中，，错误； B选项中，，错误； C选项中，，正确； D选项中，，错误； 故答案为C. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，熟练掌握，即可解题. 4. 已知三条边的长分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．选项A是勾股数，选项C通过角的关系推出直角，选项D通过等式变换得到勾股定理形式，都能判定直角三角形；选项B通过角度比计算发现没有90度角，故不能判定． 【详解】解：选项A：，且，∴ 满足勾股定理，是直角三角形． 选项B：设， ， ，则，解得，∴ ， ， ，无角，∴ 不是直角三角形． 选项C：，又，∴ ，即，∴ ，∴ 是直角三角形． 选项D：，∴ ，∴ 满足勾股定理，是直角三角形． 故选B． 5. 若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．先根据点可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：， 解得， 随的增大而减小， ∵点，点都在一次函数的图象上，且， ， 故选：C． 6. 如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理算出AC的长度，进而得到AE的长度，再根据A点表示的数是-1，可得E点表示的数． 【详解】∵ ∴ ∴ = ∵点表示的数是 ∴ 点表示的数是 【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性． 7. 若点关于y轴的对称点是，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点是， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 8. 已知点在第四象限内，一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，解题的关键是根据一次函数中、的符号确定函数图象所经过的象限．根据点在第四象限内，确定、的符号，进而得到，的符号，然后确定两个一次函数图象所经过的象限，逐项判断即可． 【详解】解：点在第四象限内， ，， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象经过第一、三象限， 观察选项中的图象，同时满足的为选项B． 故选：B． 9. 如图，已知点A的横坐标为，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接，现将沿折叠，点B落在第一象限的处，边所在直线交y轴于点C，交x轴于点D，若C的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，折叠的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，树形结合．过点C作于点E，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，根据等校对等边得出，根据勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，求出． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： 根据题意可知：， ∵C的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点B落在第一象限的处， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：D． 10. 定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，点是轴上一点，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的横坐标为0列式计算，即可求出m的值，再求出解即可． 【详解】解：∵点P（m-1，2m+1）在y轴上， ∴m-1=0， 解得m=1， ∴2m+1=2×1+1=3， ∴点P的坐标为（0，3）． 故答案为（0，3）． 【点睛】本题考查了点的坐标，解决问题的关键是利用了y轴上的点的坐标特征． 13. 如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两直线与二元一次方程组的解，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标求得结论即可． 【详解】解：∵经过， ∴， 解得， ∴ ∴一次函数与的图像相交于点， ∴可有方程组的解为， 故答案为：． 14. 如图，分别以的三条边向外作三个正方形，连接、，若设，，，则，，之间的关系是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理；连接，根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，根据平行线的面积转化得到， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ，， ∴， ， ，， ， ； 故答案为：． 15. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”，在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2025次运算后得到点________． 【答案】 【解析】 【分析】按照题目给定的运算规则逐次计算点的坐标，找到循环规律，结合周期计算2025次运算后的对应点． 【详解】解：逐次计算每次运算后的点坐标： 初始点为． 第1次运算：为奇数，；为偶数，，得点． 第2次运算：为偶数，；为偶数，，得点． 第3次运算：为奇数，；为偶数，，得点． 第4次运算：为偶数，；为奇数，，得点． 第5次运算：为偶数，；为偶数，，得点． 第6次运算：为偶数，；为偶数，，得点． 第7次运算：为偶数，；为奇数，，得点． 第8次运算：为奇数，；为偶数，，得点． ∵第5次运算得到的点与第8次运算得到的点相同 ∴从第5次运算开始，点进入循环，循环序列为，循环周期为3． ∵第5次运算对应循环的起始点，2025次运算与第5次运算的间隔次数为 ∵ ∴2025次运算后的点为循环序列中间隔1次对应的点，即． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】 （1）先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式． （2）利用二次根式的运算法则拆分计算，再合并结果． （3）分别计算立方根、算术平方根、绝对值项，再合并． （4）利用乘法公式展开式子，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 【小问3详解】 原式 ． 【小问4详解】 原式 ． 17. 解下列二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得， 把代入①得，， 解得， ∴ 【小问2详解】 解： 由①得，③ 得， 解得 把代入②得， 解得， ∴ 18. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】（1）旗杆距地面处折断； （2）行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）设AC长为，则长，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，由题意可得，求得．根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 设AC长为，则长， 在中，由勾股定理可得， ， 解得． 答：旗杆在距地面处折断； 【小问2详解】 如图，由题意可得， ∴． 在中，， 因为， 答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，， （1）画出关于轴对称的． （2）在轴上找一点，使的值最大，请直接写出点的坐标是 ． （3）在轴上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由； 【答案】（1） （2），； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）找到点关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到； （2）当三点共线时，取得最大值，则延长线段交轴于点，求出直线的解析式，再求出点的坐标即可； （3）设，根据Q列方程并解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据三角形的三边关系可得，, ∴当三点共线时，取得最大值， ∴延长线段交轴于点，点即为所求， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 当， 解得， ∴点的坐标是； 【小问3详解】 解：设，作于点D，则，， ∵， ， ∵ 解得或， ∴点的坐标为或． 20. 书法是指用毛笔书写汉字的方法和规律，包括执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，书法是中华民族的文化瑰宝，是我国基础教育的重要内容．某校为准备举行现场书法大赛，要在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张（），该超市给出以下两种优惠方案． 方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸； 方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折． 设方案A的总费用为元，方案B的总费用为元． （1）请分别求出，与x之间的函数关系式． （2）若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 选择方案B更划算． 理由：当时， 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴， ∴若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． （1）根据题意额题目中的数据，可以分别写出，与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的y的值，再比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得： 方案A：； 方案B：． 【小问2详解】 略 21. 2025年1月7日西藏定日县发生6.8级地震，自治区应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表： 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨 第一次 3 4 27 第二次 4 5 35 （1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？ （2）据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车辆．求货车所需总费用与之间的函数关系式；当所需总费用为2350元，该如何安排拉货？ 【答案】（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． （2）；安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；由解方程即可解答． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨， 由表格可得：， 解得． 答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨． 【小问2详解】 解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆， 由题意可得：， 即货车所需总费用w与a之间的函数关系是； 当时，由得， ， 故当所需总费用为2350元，安排甲种货车2辆，乙种货车3辆参与运货． 22. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简： ． （2）计算：． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过分母有理化求解； （2）对每一项分母有理化后，通过裂项相消抵消中间项简化计算； （3）设两个根式为整体，利用完全平方公式结合平方和的定值求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：设，， 可知，， 则，， ， ， ， ， ，， ， 即． 23. 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有、、三个快递网点，甲车由网点驶往网点，乙车由网点驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是 千米/时； （2）求图象中线段的函数解析式． （3）当两车距网点的路程之和是340千米时，直接写出乙车的行驶时间； 【答案】（1）70 （2）（） （3）小时或 小时 【解析】 【分析】（1）根据图像得到甲车走完全程 420 千米用时 6 小时，用路程除以时间算出甲车速度． （2）先由图像算出乙车速度，求出乙车从 到 一共用时 9 小时，得到、两点坐标，代入一次函数一般式求出的解析式以及自变量范围． （3）先写出甲、乙两车距离 网点路程的分段函数，分乙未过 、乙过 但甲未到 、甲已经到达 三种情况，根据路程之和等于 340 列方程，检验解是否在对应自变量取值范围，得到符合条件的行驶时间． 【小问1详解】 解：∵ 甲车从 到 全程 420 千米，用时 6 小时 ∴ 甲车速度 = （千米 / 时） ∴ 甲车的速度是 70 千米 / 时． 【小问2详解】 解：∵ 由图象可知，乙车 2 小时行驶了 120 千米 ∴ 乙车的速度为 （千米 / 时） ∵ 到 的距离是 120 千米，A 到 B 距离 420 千米 ∴ 到 的距离为 千米 ∴ 乙车从 到 行驶总时间为 （小时） ∴ 点坐标为，D 点坐标为 设线段 的函数解析式为 把， 代入解析式，得 ， 解得 ． ∴ 线段 的函数解析式为 （）． 【小问3详解】 解：由题意，先写出两个函数表达式 甲车距离 网点的路程： ，当时，甲车已经到达 点，， 乙车距离 网点的路程： 当时， 当时， 设乙车行驶小时后，两车距 网点的路程之和是 340 千米，分三种情况讨论： ① 当（乙车还没有经过 点） ， ， ，符合范围，保留． ② 当（乙车经过 点，甲车还没有到达 点） ， 不在范围内，舍去． ③ 当（甲车已经到达 点，，乙车继续向 行驶） ， 符合范围，保留． 答：乙车的行驶时间为小时或 小时． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于、两点，直线经过、两点． （1）求直线的函数表达式； （2）设点是轴上的一点，若是等腰三角形，求出点的坐标； （3）设是第一象限内直线上一点，连接，有．，分别是直线，上的动点，连接，，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）点 的坐标为 、、、 （3） 【解析】 【分析】（1）由 的表达式求出它与两坐标轴的交点 、，再用待定系数法求 的表达式； （2） 的长已定，按 、、 三种情形分别列方程，并排除使 不存在的情况； （3）先用 的面积确定点 的位置，再把 、 分别关于 、 作对称点，把折线 转化为两点之间的线段． 【小问1详解】 解：在 中， 令 ，得 ；令 ，得 ， ∴ ，． 设直线 的表达式为 ， 把 、 的坐标代入，得 ， ∴ ，， ∴ 直线 的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ． 设点 ． ① 当 时，， ∴ 或 ． ② 当 时，， ∴ ， ∴ 或 ． ∵ 时点 与点 重合， 不存在， ∴ ． ③ 当 时，， ∴ ， ∴ ． ∴ 点 的坐标为 或 或 或 ． 【小问3详解】 解：∵ ，， ∴ ． 设 ，其中 ． ∵ 、 都在直线 上， ∴ 线段 与 轴的交点就是 ， 轴把 分成 与 ，这两个三角形都以 为底，高分别为点 、 到 轴的距离 与 ． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，点 的坐标为 ． ∵ ，， ∴ 在 中，， 如图，作的中点为，连， ∴， ∴， ∴为等三角形， ∴， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴，， ∴ ． 设点 是点 关于直线 的对称点． ∵ 点 与点 关于直线 对称， ∴ ，，且点 与点 在直线 的两侧， ∴ ，射线 与射线 重合，即点 在 轴上点 的右侧， ∴ 点 的坐标为 ． 设点 是点 关于直线 的对称点． ∵ 点 在直线 上， ∴ ， ∴ ． ∵ 点 与点 关于直线 对称， ∴ ，，且点 与点 在直线 的两侧， ∴ ，即 轴，且点 在 轴上方． ∵ ，， ∴ ， ∴ ，点 的坐标为 ． ∵ 点 在直线 上，点 与点 关于 对称， ∴ ． ∵ 点 在直线 上，点 与点 关于 对称， ∴ ． ∴ ，当点 、、、 依次在同一条直线上时取等号． ∵ 点 在直线 、 的下方，点 在两条直线的上方， ∴ 线段 与 、 都相交，连接 ，交点依次为 、（如图），此时 取最小值 ． ∵ ，， ∴ ． ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、待定系数法、等腰三角形的分类讨论，以及把折线长转化为两点间线段长的对称构造；关键是由 的面积用割补法确定点 ，再把 、 分别关于 、 作对称点，用“两点之间线段最短”求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $