精品解析：天津市滨海新区天科高级中学2026-2027学年高二年级上学期第一次月考数学试卷

2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考 满分150.0分 22道题 单选题13道 多选题0道 非选择题9道 一、选择题（本大题共13题，每小题5分，共计65分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 相等向量其方向必相同 C. 若向量满足，则 D. 若，则的长度相等而方向相同或相反 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于B，由相等向量的概念可得相等向量其方向必相同，故B正确； 对于C，向量不能比较大小，故C错误； 对于D，模长相等的向量方向可以任意，故D错误. 2. 已知向量，其中，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以. 故选：A 3. 已知点、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中两点间的距离公式可求得结果. 【详解】由空间中两点间的距离公式可得. 故选：D. 4. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可. 【详解】因为直线经过点，，所以的斜率为， 又直线倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为. 故选：D 5. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 6. 已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（ ） A. B. 6 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】因为P，A，B，C四点共面， 所以有，解得. 7. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点关于x轴的对称点的坐标为. 8. 如图中的直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设直线、、 的倾斜角分别为、、. 由图象可知，直线  从左向右下降，其倾斜角  为钝角，即，所以斜率. 直线 和 从左向右上升，其倾斜角、均为锐角，即. 观察图象可知，直线比直线更陡峭，即. 因为正切函数在区间上单调递增，所以，即. 综上，. 9. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】由可得. 10. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可得. 【详解】，点为中点，故， 又，，，故. 故选：B 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 12. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断方法进行逐一判断即可. 【详解】A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确， 故选：D 13. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得 则点C到直线AB的距离为 故选：A 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.） 14. 在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标即可. 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 15. 若向量，向量，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，向量，所以. 16. 已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 17. 若直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的对应关系，结合正切函数的单调性分区间求解斜率范围. 【详解】 ① 当时，在该区间单调递增，因此，即； ② 当时，在该区间单调递增，因此，即， 综上，直线的斜率的取值范围是. 18. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，19题12分，20题12分，21题18分，22题18分.） 19. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2）2或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 【小问2详解】 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 20. 在正四棱柱中，E为的中点.，． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线与DE所成角的余弦值. 【答案】（1）连接交于点F，连接， ∵正四棱柱，为AC中点， 又为的中点， ∴在中有， 而平面，平面，平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接EF，根据线面平行定理证明； （2）取中点G，连接，，确定异面直线与DE所成角即为直线与所成角，根据异面直线夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点G，连接，， 是正四棱柱，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴异面直线与DE所成角即为直线与所成角， ，，， ∴在中，， 所以异面直线与DE所成角的余弦值． 21. 如图，在直三棱柱中，，E是BC中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为，E是BC中点，所以， 因为直三棱柱，易得平面平面，且平面平面，不在平面内， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）由（2），利用点到平面距离的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，底面，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 易得平面，则可作为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以点到平面的距离. 22. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点Q（除去端点），使得平面与平面所成角的大小为？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接. 因为为梯形，且，， 所以四边形为矩形，所以，所以， 所以，所以， 又因为四边形为矩形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） （3）在线段上存在一点Q（除去端点），使得平面与平面所成角的大小为，且点为线段上靠近点的一个三等分点 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用已知可得，，进而可证平面，可证结论； （2）由已知可证得两两垂直，所以分别以所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在点，满足题意，且此时，然后利用空间向量求二面角即可求解 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以， 又因为，所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意，则有， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则， 所以平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则有． 【小问3详解】 假设存在点，满足题意，且此时， 即得，所以， 则有，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又因为平面平面的一个法向量为， 根据题意，则有， 解之可得，即得， 即点为线段上靠近点的一个三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考 满分150.0分 22道题 单选题13道 多选题0道 非选择题9道 一、选择题（本大题共13题，每小题5分，共计65分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 相等向量其方向必相同 C. 若向量满足，则 D. 若，则的长度相等而方向相同或相反 2. 已知向量，其中，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知点、，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，（ ） A. B. C. D. 6. 已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则实数m的值是（ ） A. B. 6 C. D. 1 7. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图中的直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.） 14. 在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 15. 若向量，向量，则__________． 16. 已知两条直线：，：，若，则实数______. 17. 若直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是__________． 18. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 三、解答题（本大题共4小题，19题12分，20题12分，21题18分，22题18分.） 19. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 20. 在正四棱柱中，E为的中点.，． （1）求证：平面BDE； （2）求异面直线与DE所成角的余弦值. 21. 如图，在直三棱柱中，，E是BC中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 22. 已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点Q（除去端点），使得平面与平面所成角的大小为？若存在，请说明点Q的位置；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $